1、數列11、 已知數列n a 滿足1232n n n a a +=+,12a =,求數列n a 的通項公式。2、 已知數列n a 滿足11211n n a a n a +=+=,求數列n a 的通項公式。3、 已知數列n a 滿足112313n n n a a a +=+=,求數列n a 的通項公式。4、 已知數列n a 滿足1132313n n n a a a +=+=,求數列n a 的通項公式。5、 已知數列n a 滿足112(153n n n a n a a +=+=,求數列n a 的通項公式。6、 已知數列n a 滿足11231123(1(2n n a a a a a n a n -=+

2、- ,求n a 的通項 公式。數列2 1. 已知數列n a 滿足211=a ,nn a a n n +=+211,求n a 。2:已知數列n a 滿足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a3、已知數列a n ,滿足a 1=1,13211(32-+=n n a n a a a a (n 2,則a n 的通項4、已知在數列n a 中,若111,23(1n n a a a n +=+,則該數列的通項n a5、 已知數列n a 中,651=a ,1121(31+=n n n a a ,求n a 。6、已知數列n a 中,11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=

3、+,求na7、已知數列n a 前n 項和2214-=n n n a S .(1求1+n a 與n a 的關系;(2求通項公式n a .8、已知數列n a 中,2111,1n n a aa a =+0(>a ,求數列.的通項公式n a9、已知數列a n 滿足:1,13111=+=-a a a a n n n ,求數列a n 的通項公式。10、.已知數列n a 中,n S 是其前n 項和,并且1142(1,2,1n n S a n a +=+= ,設數列,2,1(21 =-=+n a a b n n n,求證:數列n b 是等比數列;設數列,2,1(,2=n a c n nn,求證:數列n

4、c 是等差數列; 求數列n a 的通項公式及前n 項和。數列1:答案1、 已知數列n a 滿足1232n n n a a +=+,12a =,求數列n a 的通項公式。解:1232n n n a a +=+兩邊除以12n +,得113222n n n n a a +=+,則113222n n n n a a +-=,故數列2nna 是以1222a 11=為首項,以23為公差的等差數列,由等差數列的通項公式,得31(122n n a n =+-,所以數列n a 的通項公式為31(222nn a n =-。2、 已知數列n a 滿足11211n n a a n a +=+=,求數列n a 的通項公

5、式。(累加法解:由121n n a a n +=+得121n n a a n +-=+3、已知數列n a 滿足112313n n n a a a +=+=,求數列n a 的通項公式。解:3 1.n n a n =+-評注:本題解題的關鍵是把遞推關系式1231n n n a a +=+轉化為1231n n n a a +-=+,進而求出11232211(n n n n n a a a a a a a a a a -=-+-+-+-+ ,4、已知數列n a 滿足1132313n n n a a a +=+=,求數列n a 的通項公式。解21133.322n n na n =+- 評注:本題解題的關

6、鍵是把遞推關系式13231n n n a a +=+轉化為111213333n n n n n a a +-=+,進而求出112232111122321(333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+-+-+ ,即得數列3n n a 的通項公式,最后再求數列n a 的通項公式。5、 已知數列n a 滿足112(153n n n a n a a +=+=,求數列n a 的通項公式。解:n a 的通項公式為(112325!.n n n na n -=評注:本題解題的關鍵是把遞推關系12(15n n n a n a +=+轉化為12(1

7、5nn na n a +=+,進而求出13211221n n n n a a a a a a a a a - ,即得數列n a 的通項公式。 6、已知數列n a 滿足11231123(1(2n n a a a a a n a n -=+- ,求n a 的通項公式。解:n a 的通項公式為!.2nn a =評注:本題解題的關鍵是把遞推關系式1(1(2n n a n a n +=+轉化為11(2n n a n n a +=+,進而求出132122n n n n a a aa a a a - ,從而可得當2n n a 時,的表達式,最后再求出數列n a 的通項公式。求數列通項公式方法歸納類型1(1n

8、 f a a n n +=+解法:把原遞推公式轉化為(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法求解。 如:已知數列n a 滿足211=a ,nn a a n n +=+211,求n a 。類型2 n n a n f a (1=+ 解法:把原遞推公式轉化為(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法求解。 如:已知數列n a 滿足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+1(n ,求n a 。類型3q pa a n n +=+1(其中p ,q 均為常數,01(-p pq 。 解法(待定系數法

9、:把原遞推公式轉化為:(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用換元法轉化為等比數列求解。 如:已知數列 a n 中， a1 = 1 ， a n +1 = 2a n + 3 ，求 a n . 類型 4 a n +1 = pan + q （其中 p， 均為常數， pq( p - 1(q - 1 ¹ 0 ） q 。 an +1 = pan + rq , （或 ( n n 其中 p，q, r 均為常數） 。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 q n +1 ，得： a n+1 p a n 1 = · + 引入輔助數列 q n+1 q q n q b

10、n （其中 bn = a n ） ，得： bn +1 = n q 如:已知數列 a n 中， a1 = p 1 bn + 再待定系數法解決。 q q 5 1 1 n+1 , an+1 = an + ( ，求 a n 。 6 3 2 類型 5 遞推公式為 an+ 2 = pan+1 + qan （其中 p，q 均為常數） 。 解法一(待定系數法：先把原遞推公式轉化為 an + 2 - sa n+1 = t (an +1 - sa n 其中 s，t 滿足 ìs + t = p í îst = -q 解法二(特征根法： 對于由遞推公式 a n + 2 = pan +1

11、+ qan ， 1 = a , a 2 = b 給出的數列 a n ， a 方程 x - px - q = 0 ， 叫做數列 a n 的特征方程。 x1 , x 2 是特征方程的兩個根， x1 ¹ x2 若 當 2 時，數列 a n 的通項為 a n = Ax1 n -1 n + Bx2 -1 ，其中 A，B 由 a1 = a , a 2 = b 決定（即把 n 代入 得到關于 A、 的方程組）當 x1 = x2 時， B ； a1 , a 2 , x1 , x2 和 n = 1,2 ， a n = Ax1n -1 + Bx2 -1 ， 數列 a n 的通項為 an = ( A +

12、Bn x1 ， 其中 A， 由 a1 = a , a 2 = b 決定 B （即把 a1 , a 2 , x1 , x2 n -1 和 n = 1,2 ，代入 a n = ( A + Bn x1 ，得到關于 A、B 的方程組） 。 如：數列 a n ： 3a n + 2 - 5a n +1 + 2a n = 0(n ³ 0, n Î N ， a1 = a, a2 = b ，求數列 a n 的通 項公式。 n -1 類型 6 遞推公式為 S n 與 a n 的關系式。(或 S n = f (an 解 法 ： 這 種 類 型 一 般 利 用 ìS1 × &#

13、215; × × × × × × × × × × × × × ×(n = 1 an = í îS n - S n-1 × × × × × × × (n ³ 2 與 an = S n - S n-1 = f (an - f (an-1 消去 S n (n ³ 2 或與 S n = f ( S n - S n-1 (n ³ 2 消去 a n

14、進行求解。 如：已知數列 a n 前 n 項和 S n = 4 - a n - 1 2 n-2 . （1）求 an+1 與 a n 的關系； （2）求通項公式 a n . 類型 7、 an+1 = pan ( p > 0, an > 0 r 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為 an+1 = pan + q ，再利用待定系數法求解。 如：已知數列 a n 中， a1 = 1, a n+1 = 1 2 的通項公式. × an (a > 0 ，求數列 an a 類 型 8、 a n +1 = f ( n a n 解 法 ： 這種 類型 一 般 是等 式 兩邊 取 倒數 后 換 元轉 化 為 g ( n a n + h( n an+1 = pan + q 。 如：1、已知數列an滿足： a n = a n-1 , a1 = 1 ，求數列an的通項公式。 3 × a n-1 + 1 2、若數列的遞推公式為 a1 = 3, 1 1 = - 2(n Î ¥ ，則求這個數列的通項公式。 an +1 an 3、已知數列 a n 滿足 a1 = 1, n ³ 2