1、第一章習題詳解1 求下列復數的實部與虛部，共軛復數、模與輻角：1)解：實部：虛部：共軛復數：模：輻角：2)解：實部：虛部：共軛復數：模：輻角：3)解：實部：虛部：共軛復數：模：輻角：4)解：實部：虛部：共軛復數：模：輻角：2 當、等于什么實數時，等式成立？解：根據復數相等，即兩個復數的實部和虛部分別相等。有： 即、時，等式成立。3 證明虛數單位有這樣的性質：證明： 4 證明1)證明：設，則2)證明：設，則有：3)證明：設，則有： 4)證明：設，則有： 5)證明：設，則有6)證明：設，則 5 對任何是否成立？如果是，就給出證明。如果不是，對哪些值才成立？解：設，則有： 故當，即是實數時，成立。6

2、 當時，求的最大值，其中為正整數，為復數。解： 即 的最大值是7 判定下列命題的真假：1) 若為實常數，則；解：真命題。因為實數的共軛復數就是它本身。2) 若為純虛數，則；解：真命題。設，則，顯然。3) ；解：假命題。兩個不全為實數的復數不能比較大小。4) 零的幅角是零解：假命題。復數的幅角是任意的，也是無意義的。5) 僅存在一個數，使得；解：假命題。有兩個數，使成立。6) ；解：假命題。設有兩個數，使不成立。7)解：真命題。8 將下列復數化為三角表示式和指數表示式：1)解：， 2)解：， 3)解：， 4)解： 另： 另： 5)解：， 6)解： 9 將下列坐標公式寫成復數的形式：1) 平移公式

3、：解：將方程組中的第二個方程乘以虛數單位加到第一個方程，得：即：2) 旋轉公式：解：將方程組中的第二個方程乘以虛數單位加到第一個方程，得：10 一個復數乘以，它的模與輻角有何改變？解：設 即：一個復數乘以，它的模不變，輻角減小。11 證明：，并說明其幾何意義。證明： 幾何意義：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于它的相鄰兩邊平方和的2倍。12 證明下列各題：1) 任何有理分式函數可以化為的形式，其中與為具有實系數的與的有理分式函數；證明：設，則： ， 其中，皆為關于的實系數多項式。 其中：， 為具有實系數的關于的有理分式函數。2) 如果為1)中的有理分式函數，但具有實系數，那么；證明：因為為具有

4、實系數的有理分式函數，所以 其中：，3) 如果復數是實系數方程的根，那么也是它的根。證明：令 因為是方程的根， 又因為的系數為實數， 因此。即也是方程的根。即實系數多項式的復根必共軛成對出現。13 如果，證明：1)證明： 2)證明：14 求下列各式的值：1)解：2)解：3)解： 即：，4)解： 即：， 15 若,試求的值。解： 161) 求方程的所有根；解： 即：，2) 求微分方程的一般解。解：微分方程的特征方程為：。由前題得：， 微分方程有三個線性無關的特解：，微分方程有三個線性實數特解：， 一般解為：17 在平面上任意選一點，然后在復平面上畫出下列各點的位置：解：18 已知兩點與（或已知三

5、點），問下列各點位于何處？1) ；解：位于與連線的中點。2) ，其中為實數；解：位于與連線上，其中。3) 。解：位于以,為頂點的三角形的重心上。19 設三點適合條件，。證明：是內接于單位圓的一個正三角形的頂點。證明：（方法一） ,位于以原點為圓心的單位圓上。 令， 其中。 ， 或 同理可得：或 分析：如果，則；如果，則與矛盾。 同理。 是內接于單位圓的一個正三角形的頂點。（方法二） ,位于以原點為圓心的單位圓上。 同理：，。于是 是內接于單位圓的一個正三角形的頂點。（方法三） ,位于以原點為圓心的單位圓上。 是內接于單位圓的一個正三角形的頂點。（方法四） ,位于以原點為圓心的單位圓上。設 而

6、同理，即 同理 ， 是內接于單位圓的一個正三角形的頂點。（方法五）設，則是該方程的三個根。而，所以是的三個根，即分別是復數的三次方根。又因為，所以均勻地分布在單位圓上，即是內接于單位圓的一個正三角形的頂點。（方法六）如右圖所示：所以為等邊三角形。同理可知為等邊三角形，于是有：同理 ，所以均勻地分布在單位圓上。命題得證。20 如果復數滿足等式，證明，并說明這些等式的幾何意義。證明： 且 是等邊三角形的充分必要條件是因此，滿足的點，為頂點的三角形是等邊三角形，必有21 指出下列各題中點的軌跡或所在范圍，并作圖：1) ；解：設，則 即是以為圓心，半徑為6的圓周。2) ；解：設，則 即是以為圓心，半徑

7、為1的圓周及其外部。3) ；解：設，則 即是平行于y軸的通過的直線。4) ；解：設，則 即是平行于x軸的通過的直線。5) ；解：設，則 即是平行于x軸。6) ；解：設，則 即是以，為焦點，長的半軸為2，短半軸為的橢圓。7) ；解：設，則 即是過的平行于x軸的直線及其下半平面。8) ；解：設，則 即是去掉過的半平面。9) ；解：滿足的圖形是不包含實軸的上半平面。10) 。解：設，則 即是以為端點的射線，。22 描出下列不等式所確定的區域或閉區域，并指明它是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的：1) ；解：設，則，表示不包含實軸的上半平面，是無界的單連通域。2) ；解：設，由得，表示以為圓心半徑

8、為的圓（不含圓周）的外部，是無界的多單連通域。3) ；解：設，則，表示介于直線和之間的帶形區域（不含兩直線），是無界的單連通域。4) ；解：表示介于圓與之間的圓環域（含兩圓周），是有界的多連通域。5) ；解：設，由，表示直線右邊的半平面區域（不含直線），是無界的單連通域。6) ；解：表示由射線與所圍成的角形區域（不含兩射線），是無界的單連通域。7) ；解：設，由，表示以為圓心半徑為的圓的外部（不含圓周），是無界的多連通域。8) ；解：表示以與為焦點長半軸短半軸的橢圓及其內部，是有界的單連通閉域。9) ；解：表示以與為焦點實半軸虛半軸的雙曲線左邊一支的左側，是無界的單連通域。10) 。解：設，由

9、，表示以點為圓心半徑為的圓及其內部，是有界的單連通閉域。23 證明復平面上的直線方程可寫成：，（為復常數，為實常數）。證明：設點在直線上，則直線方程可寫成： 又，整理得：令，則。因為不全為零，所以。 是復平面上的直線方程（為復常數，為實常數）。24 證明復平面上的圓周方程可寫成：（其中為復常數，為實常數）。證明：設點在圓上任意一點，點為圓心，半徑為，則圓的方程為：，。代入上式，得：。整理得：令， 是復平面上的圓的方程（為復常數，為實常數）。25 將下列方程（為實參數）給出的曲線用一個實直角坐標方程表出：1) ；解：設，則 2) ，（為實常數）；解： 設，則 3) ；解：設，則 4) ；解：設，

10、則 5) ，（為實常數）；解：設，則 6) ；解：設，則 7) ，（為復數）。解：設，則 26 函數把下列平面上的曲線映射成平面上怎樣的曲線？1) ；解：設，則 是w平面上的圓。2) ；解：設，則 且是w平面上的直線。3) ；解：設，則 是w平面上的圓。4) 。解：設，則 是w平面上的直線。27 已知映射，求：1) 點，在平面上的象；解： 2) 區域在平面上的象。解： 28 證明§6定理二與定理三。定理二 如果，那么1) ；2) ；3)證明：1) ，則 ，使時，有 ，使時，有 取，則當時，必有 成立。 故。2) ，則及，使時， ，使時，有； 又，故存在，使時，有 取，則當時，必有故。3) ，則及，使時， ，使時，有 ，使時，有 取，則當時，必有 故。定理三 函數在處連續的充要條件是：和在點處連續。證明：在處連續，即 ， 即和在點處連續。29 設函數在連續且，那么可找到的小鄰域，在這鄰域內。證明： 函數在連續，即 可取，存在，使得當時，有 又 即存在的鄰域，在這鄰域內。30 設，證明在的某一去心鄰域內是有界的，即存在一個實常數，使在的某一去心鄰域內有。證明：，即，當時，有，取，則有。31 設。試證當時的極限不