1、2011年考研數學三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列媒體給出的四 個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）（1）已知當 時，&一汨豆；朮刑與 是等價無窮小，則（A）孑=：；：二（B）-二，蔦二4（C）k = 3工=4（D） k = 3& =- 4【答案】C。【解析】【方法一】由泰勒公式知3兀3sinz = x - + o(x )V -fe剜鮮+如）I-x(3r)f(x)= 3sinx - sin3x - 3x - y - 3x + - + o(x )3stnx -j?in3x3cosx - 3co53x= S 卞（洛必達法則）（洛必達法則）（址=3）-su

2、uc +3sin3x【方法二】=4zJ+ o( J)4J(x-*0)故窪=乞廠二4【方法三】(fc = 3)82c= 1綜上所述，本題正確答案是C。【考點】高等數學一函數、極限、連續一無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算高等數學一一元函數微分學一洛必達(LHospital)法則伽x2f(x) - 2/ (3) _已知.在“處可導，且二i ,則(A)(B)(C)(D)0【答案】B。【解析】3sinx - 3x + 3x - sin3xlim-lim-K ex13(5tHJC -lim+ UmCHT)xk1I%)hmfr+ limCKit)cxk3sm% - sin3x3x - sin3

3、xxk6(3X)192+2【方法一】加項減項湊 M =刑處導數定義x2fx) - 2f(工3)df(X) 7(0) - 2/(x3) + 2/(0)lim- -二Um- -幫TOxioxJf(x) -/(0)f(&) - f()=lim- - 2-x-fOx=/(0)-20 X x-0 xJ由于，由導數定義知/(X).f(J)二f (0), lim = f(0)辭TOX尸。*llim心嚴()=/(o)- 2/(0)=-廠(0)所以u艾【方法三】排除法：選擇符合條件的具體函數f貝yXVM- 2f(x3)x3- 2兀3lim- - 二Im- - - -1x-*OXr-*Ox而對于負乂： 一

4、二；沁一，顯然選項(A)(C)(D)都是錯誤的，故應選(B)【方法四】由于I在)處可導，則/W = f (0) + f (0)疋+ oW = fo)x + o(x),f ()兀+ 0(x)1-21/ (0)x3+ o(x3)J=/(0)-2/(0)=一(0)綜上所述，本題正確答案是B。【考點】高等數學一一元函數微分學一導數和微分的概念，導數和微分的四則運算【解析】若=:收斂，貝y該級數加括號后得到的級數仍收斂綜上所述，本題正確答案是Ao【考點】高等數學一無窮級數一級數的基本性質與收斂的必要條ITJT肝I = flnsinxdxj - JlncotxdxfK - flncosxdx關系為(A)人

5、(C)|丿KKx fx - 2/(x ) hm- -= hm(D)KJI叫是數列，則下列命題正確的是OO【答案】A。【答案】BB=0101.O 1 O1 1 O1-O 1 ODo1loo_-【解析】同一區間上定積分的大小比較最常用的思想就是比較被積函數大小,n刁時，OV sinx cosx 1 cotx又因為八為I上的單調增函數，所以nn*IT故丿；金：打 T；- - r I：i -；，：，：:綜上所述，本題正確答案是B。【考點】高等數學一一元函數積分學一定積分的概念和基本性質(5)設力為3階矩陣， 將川第2列加到第1列得矩陣*,再交換B的第2【解析】本題是常規的初等變換、初等矩陣的考題矩陣的

6、初等行變換是左乘初等矩陣，矩陣的初等列變換是右乘初 從而B, P2B= E,從而PAP = E所以 i/J:學11 0 011100 0 15ri o oi(A) P心(B)ppr1r2(C)P2P1(D)PP1r2r1行和第3行得單位矩陣，記A【答案】D。由于當nsinx Incosx Incotx7T0 DTETAET，DT、 0和孰如=1或者1,而;為分布函數由于耳(無)與心(無)為兩個分布函數，顯然F) Fg(對也是分布函 數，而孑1仗)巧(町=/1(X)F2(X) +f2(x) Fr(xJ綜上所述，本題正確答案是D。【考點】概率論與數理統計一多隨機變量及其分布一隨機變量分布函數的概念

7、及其性質，連續型隨機變量的概率密度(8)設總體*的服從參數為入(入的泊松分布，Xi血廠禮二2)為r= 2yriV來自該總體的簡單隨機樣本，則對于統計量1” f = i和ET、 ETDT. DT,(B)1 2t 12答案】1;r.11 ) .【答案】D【解析】X、P(2),所以,EX = a,DX=盯哉廠相互獨立均服從P(入)可求得1-心-匚而，苛所以E1V ET衛DT 2(12)曲線 廠 直線工=1及軸所圍成的平面圖形繞 軸旋轉所 成的旋轉體的體積為_。【答案】【解析】由旋轉體公式得V = 712r1（X1-l）dx = 7T（-X - X）=綜上所述，本題正確答案是24TTT【考點】高等數學

8、一一元函數積分學一定積分應用(13)設二次型；山貝曠在正交變換下的標準形為【答案】“的秩為1，的各行元素之和為3，【解析】d的各行元素之和為3，即Fail+fl12+ l13= 3U21+a22 +a23 =口銅+ Q呂 2 +=彳的1a21勺1ai213a22fl23rrA i ib=3ii所以卜二是d的一個特征值。再由二次型兀舟*的秩為1因此正交變換下標準形為111是的2重特征值綜上所述，本題正確答案是【考點】線性代數一二次型一二次型的秩，用正交變換和配方法化二次型為標準形(14)設二維隨機變量1()服從正態分布川(卩叢/；0),則E陽二。2 i 3【答案】卩”+ M。【解析】(XY)服從

9、正態分布N(比/加;所以與：相互獨立，且* * 2EXEY =閃DX = DY = aE(X/)二EXE/二川必 +(EF)1二 “(/?十/)=訴+ 八23綜上所述，本題正確答案是x :o【考點】概率論與數理統計一隨機變量的數字特征一隨機變量的數學期望(均值)、方差、標準差及其性質三、解答題：-小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。【解析】【方法一】(15)求極限Um尤T0+ 2sinx _ x1 + Zslnx - (x + 1)hm2x-yO2xb21.2sinx- x * 2x 1sinx -=農皿-2- + limp【考點】高等數學一函數、極限、連續一無窮小量的性質

10、及無窮小量的比較，極限的四則運算（16）已知函數i具有二階連續偏導數，是的極d2zlimx-+0Jl +-x- 1二Um2JC-*OxlimT)row fl2sttu2x1coax -vl + 2vtnjr二吧 -岸TD因子極限先求）（等價無窮小代【方法二】Um1 + 251 MX - x - 1xfn(l +工)J1 +2ainx-x- 1二limXTO（等價無窮小代（分子有理化）值，E = /（x + y/（2）1.求駕=1.【解析】弓藝 *由鏈導法則，液二區；+ 其中u = x + y,u = f（扎y）.所以dxdy對觀+礦腫;+ 9 遜+ 2腫 y由于11匚是m的極值，則=f的.2)

11、+幾(22)fuu(14)【考點】高等數學一多元函數微積分學一多元函數偏導數的概念與計算，多元函數的極值（17）求不定積分rjl心【解析】【方法一】令屮;二二，貝yr arcsinJx +InxCdx = 2J (arcsint + llntjdt=2t(arcsint + 2lnt) - 2j丨v/i4)= r/M)= ovy(M)= ry(u)= od2zdxdy乙觀（2,x tA,dx - 2tdt=2tarcsint + 2 bit) +十2)dt=2t(arcsint十2lnt) + 2-1 - t2- 4t 4- C=2xarcsin + /nx) + 21 - 4尤 +C【方法二

12、】arcsinx十饑xf-7=- dx 2 I (arcsiriyjx + lnx)dlx=2 x(arcsin +餉工)-2f乍電 +2X(arcsinix + Inx) + 2l -丈 一 疋 +C【考點】高等數學一一元函數積分學一不定積分的基本性質，基本積分公式，不定積分和定積分的換兀積分法與分部積分法4JT石4arctanx - x -F y -= 【解析】t/Cr令2-，本題也就是要證明 r 恰有兩個零點43 -,f(X)=2 _ =21 +X1 + X令：得.-，貝y當-向時，叮(Q 單調減；當時，f 0(尤)|單調增；當+ 8)時，f(x) 0八力單調減；4 /Tjlim f(町

13、=Um 4arctanx- x + - 3 =:+ oo又工 T -COf( - 0斗議 |lim f(尤)=lim Aarctanx一 無 + 盲 一3 T + COHT +(則，-為：的一個零點，在卜八內還有一個零點4 ITfarctanx - x + v v3 = 0【考點】高等數學一一元函數微分學一基本初等函數的導數，函數單調性的判別（19）設函數mo在訂上有連續導數，=1且+ ydxdy = Dft)dxdy其中必no yt-ot(oti).的表達式。【解析】化已知等式左邊的二重積分為二次積分計算=Xf(x + y)d(x + y)dx=必心 +y)l；= /Jl/CO - f(x)

14、dx等式右邊的二重積分化為二次積分f(悶yldxdyJT，. ldxdy n恰有兩個實根。(工4- y)dy)dx =(ff O + y)力好二久 為區域（的面積，區域易得為三角形，面積為所以NDf(t)dxdy At)護所以紅-方00必-護/V)兩邊對4求導得(2- 0/(0二2/(t)_ c解得d(S由(0)=1得 = 44所以_(2-o |(0Jf013；12斗T115134014 022001-102【考點】線性代數一向量一向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關與線性無關(21)設八為3階實對稱矩陣， 囚的秩為2，求1的所有特征值與特征向量；A(II)求矩陣 11_ 11A00二0

15、0-1111【解析】因 7 知4，所以I是J的特征值A1 0- r0-1 0,Arli0_rli)一i一111 V4 *所以按定義，特征向量；又1是力的特征值，6量。T旳=仗宀江3)是A屬于久0的特征向量，作為實對稱矩陣特征 值不同特征向量相互正交，因此解出汀H故矩陣N的特征值為卩廠、工為；特征向量依次為 陣【考點】線性代數一矩陣的特征值與特征向量一矩陣的特征值和特征向量的概念、性質，實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣(22)設隨機變量卜的概率分布分別為X01P123i10 1pill333堤的特征值,a2(10-1)是人屬于R的特征向tr1二工十工j二0丁叫(13二jq -丸？二01

16、譏k3(ot1,0)，其均是不為o的任意常數。= (av_ a2,0)(II)由A = (a1#-勺0叫盤2叫1=rl-101 1101-1000 00111oh-10i,有且P* = Y2 = I求二維隨機變量！企芒的概率分布；(II)求二=；江的概率分布；(III)求：的相關系數。【解析】(I)由嗆2=旳=得p打2而px2工Y2 = PX = QtY =- 1 + PX = oy = 1 + PX = IX = 0即戸V匚丁 書W己：:,-廠 ：； 的概率分布的邊緣分布為-1010131pi111鳳3已知PX：二07 =-1PX二0,Y二1 PX - lrY - 00最后可得-101001013311301323Pj131313(II)討冇的可能取值 一，由八)|的概率分布可得的概率分布z1 01P111333(III)由及：的概率分布得2 2 2=GEY = O, Dr = JtEXY = E(Z) = 0CfW(XY) = EXY) - EXEY = 0,所以P胛0。【考點】概率論與數理統計一隨機變量的數字特征一隨機變量的數學期望(均值)、方差、標準差及其性質(23)設二維隨機變量服從區域上的均勻分布，其中是由x-y = Otx