1、分式方程意義及解法  一、內容綜述： 1解分式方程的基本思想在學習簡單的分式方程的解法時，是將分式方程化為一元一次方程，復雜的（可化為一元二次方程）分式方程的基本思想也一樣，就是設法將分式方程“轉化”為整式方程即分式方程整式方程2解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母，使分式方程轉化為整式方程但要注意，可能會產生增根。所以，必須驗根。產生增根的原因：當最簡公分母等于0時，這種變形不符合方程的同解原理(方程的兩邊都乘以或除以同一個不等于零的數，所得方程與原方程同解)，這時得到的整式方程的解不一定是原方程的解檢驗根的方法：（

2、1）將整式方程得到的解代入原方程進行檢驗，看方程左右兩邊是否相等。（2）為了簡便，可把解得的根直接代入最簡公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必須舍去注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母為0用去分母法解分式方程的一般步驟：(i)去分母，將分式方程轉化為整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)驗根做答  (2)換元法為了解決某些難度較大的代數問題，可通過添設輔助元素（或者叫輔助未知數）來解決輔助元素的添設是使原來的未知量替換成新的未知量，從而把問題化繁為簡，化難為易，使未知量向已知量轉化，這種思維方

3、法就是換元法換元法是解分式方程的一種常用技巧，利用它可以簡化求解過程用換元法解分式方程的一般步驟：(i)設輔助未知數，并用含輔助未知數的代數式去表示方程中另外的代數式；(ii)解所得到的關于輔助未知數的新方程，求出輔助未知數的值；(iii)把輔助未知數的值代回原設中，求出原未知數的值；(iv)檢驗做答注意：（1）換元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用換元法把原方程化簡，把解一個比較復雜的方程轉化為解兩個比較簡單的方程。（2）分式方程解法的選擇順序是先特殊后一般，即先考慮能否用換元法解，不能用換元法解的，再用去分母法。（3）無論用什么方法解分式方程，

4、驗根都是必不可少的重要步驟。二、例題精析：例1解分式方程：。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化為整式方程。解：方程兩邊都乘以x(x+2)，約去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得x2+4x=0解這個方程，得x1=0, x2=-4,代入公分母檢驗：當x1=0時，x(x+2)=0×(0+2)=0, x=0是增根；當x2=-4時，x(x+2)=-4×(-4+2)0, x=-4是原方程的根。故原方程的根是x=-4。例2解方程：。分析：本題中各個分式的分子與分母是同次多項式，故從中析出一個整數來（用拆分分式的方法）， ；考慮方程中有四個分式，可以移項后利用公式

5、把分式拆項，將方程化簡。解：即 ，移項，整理，得 ，即 ，亦即 去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括號，整理，得x=7.    經檢驗，x=7是原方程的根。    原方程的根是x=7。例3解方程。解法1：方程兩邊都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)即4x+14=0, ，經檢驗知 是原方程的解。解法2：方程兩邊分別通分，得，即， (x+5)(x+4)=(

6、x+2)(x+3)解得 。解法3：利用拆分分式的方法將原來的方程變形。  原方程可化為即：，兩邊分別通分，得，解之，得 。例4解方程。解：設， 則原方程變形為y2-5y+6=0,解得y1=2, y2=3,由=2，解得x1=4;由，解得x2=3.經檢驗x1=4, x2=3，都是原方程的根。例5用換元法解方程.解：設2x2+3x=y，于是原方程變為 ,整理，得y2-4y-5=0解得y1=5, y2=-1.當y=5時，即2x2+3x=5,解得x1=1, ,當y=-1時，2x2+3x=-1，解得x3=-1, ,經檢驗，都是原方程的根。 原方程的根為。例6解方程。分析：利用方程左邊結構特點，構

7、造一元二次方程來解。解：設 ，所以原方程變形為：y+=7,整理得：y2-7y+10=0解得y1=2, y2=5，當y1=2時，即，x1=0, x2=2;當y2=5時，即x2-5x+9=0 （<0，此方程無實根）經檢驗，x1=0, x2=2是原方程的解。例7解方程.分析：此方程初看起來容易把，而實際上 ，所以 .但是,就是說原方程可變形為 , 變形后才可用換元法解此方程。    解：原方程可化為 即,設, 則原方程可化為：2y2-3y-5=0解得y1=-1, y2=,當y=-1時，,去分母整理，得x2+x+1=0解這個方程，<0, 方程無解。當y= 時，

8、, 去分母整理，得2x2-5x+2=0解得x1=2, ,經檢驗，x1=2, 都是原方程的根。 原方程的根是x1=2, 。注意：切勿把。例8若分式方程有增根x=2，求a的值。分析：將方程的兩邊同乘以最簡公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，則x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-,當 a=-時, x=2是原分式方程的增根。  測試選擇題1方程x- =2-的根的

9、情況是（ ）A、 只有一解x=2 B、任意實數都是解C、無解 D、解為x22用換元法解方程 + =，下列變形正確的是（ ）A、設=y，原方程變形為y+ = ，去分母得2y2+5y+2=0B、設 =y，原方程變形為y+ -1=，去分母得2y2-7y+2=0C、設=y，原方程變形為 + = ，去分母得y2-5y+3=0D、設 =y，原方程變形為 + =，去分母得y2-5y+6=0 3如果設y= -5，則對于方程( -5)2+-13=0，下面變形正確的是（ ）A、y2-2y-8=0 B、y2+2y-3=0C、y2+2y-13=0 D、y2-2y-23=0 4若x=1是方程的增根，則m的值為

10、（c）A、1 B、 -1 C、-3 D、3 5方程會產生增根,則a的值為（c）A、1 B、-2 C、1或-2 D、以上都不對。6方程=0的根是（）A、-1 B、2 C、-1或2 D、1或-2 7使分式方程產生增根的k的值是（）A、0 B、0或2 C、1 D、2 8用換元法解方程 , 設，則方程變形為（）。A、6y2+5y-38=0 B、6y2+5y-40=0C、6y2+5y-26=0 D、6y2+5y-50=0 9方程的根為（）A、x=2 B、x= C、x=3 D、x=-5,或x=3 10某項工程，甲獨做需a天，乙獨做需b天，甲、乙合做完成任務需要的天數是（）。A、 B、 C、a+b D、答案

11、與解析答案：1、C2、D3、B4、C5、C6、B7、A8、D9、D10、D解析：1、答案：選C。移項，整理得x=2，但當x=2時，分母x-2=0，則x=2為增根，原方程無解。    2、答案：2選D。3、答案：選B。原方程整理得：，  設原方程變為：y2+2y-3=0。4答案：選C。原方程兩邊乘以(x-1)(x-2)得：  x2-4+x2+2x-3=m即： 2x2+2x-7-m=0則x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得： 2+2-7-m=0, m=-3.5.答案：選C。兩邊乘以x(x-1)得x2+2x-2-a=0,若原方程有增

12、根，則有增根x=1或x=0，而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的兩根，將x=1或x=0代入整式方程得a=1或a=-2，選C。6答案：選B。由，去分母得(x+1)(x-2)=0得x=-1或x=2，經檢驗，x=-1是增根，則原方程的根為x=2。7答案：選A。分式方程 的增根為x=2或x=-2，而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。原方程兩邊乘以(x-2)(x+2)得x2-2x-x2+4=k2x+2k2  整理得：(k2+2)x=4-2k2, ,則：，解得：k=0.8答案：選D。分析：原方程變形為，則原方程變形為6(y2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5

13、y-50=0.    9答案：選D。    方程兩邊乘以x2-4得15=2x+4+x2-4即：x2+2x-15=0,解得：x1=-5或x2=3， 經檢驗，x=-5或x=3都是原方程的根。10答案：選D。整個工程看成整體1，則甲，乙的工作效率分別為 ，則合作工作效率為，則甲，乙合作用的時間為。 中考解析分式方程 考點講解1解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通過去分母或換元轉化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在轉化過程中，可能會使分式方程增根，所以最后一定要驗根。2去分母法解分式方程的步驟：（1）去分母，即方程兩邊同乘以各

14、分母的最簡公分母，約去分母，得到一個整式方程；（2）解這個整式方程；（3）驗根。3用換元法解分式方程的步驟：（1）根據分式方程中的特點設某一分式為另一未知字母；（2）寫出符合原方程式的用新字母表示的變形方程；（3）解換元所得新方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所設的分式，求得原方程未知數的值；（5）驗根。4分式方程驗根的方法：（1）將解得整式方程的根代入原方程，使方程左右兩邊相等的未知數的值是原方程的根，否則是增根；（2）將解得整式方程的根代入最簡公分母中，如果不使最簡公分母等于0，就是原方程的根，反之則為增根。考題評析1（甘肅省）一組學生去春游，預計共需費用120元，后來

15、又有2人參加進來，總費用不變，于是每人可少分攤3元，原來這組學生的人數是（）（A）8 （B）10 （C）12 （D）30考點：分式方程的應用評析：該題是一列方程解的應用題，解決應用題的關鍵是找到等量關系，本題的等量關系有兩個：一個是人數變化，前后的總費用不變，二是增加2人后，每人少分攤3元。根據條件，依據第二個等量關系列方程比較容易解得此題,設原來這組學生的人數x人，所以列方程為：，解得x=8,經檢驗x=8是原方程的根。答案：A說明：所列方程是一個分式方程，求出結果后必須檢驗。 2(杭州市)（本題8分）解方程：考點：分式方程的解法  評析思路：此題可用去分母、化分式方程為整式方程的方

16、法，來解此方程注一定要檢驗。答案：x=2 3（重慶市）方程的解是_。考點：分式方程的解法評析：思路：本題運用等式的性質兩邊乘以x(x1)化分式方程為整式方程，然后求解。說明：右邊的1必須乘以x(x1)同時要進行驗根。答案：x24(吉林省)解方程：。考點：分式方程。評析思路，根據方程的形式可知用換元法解本方程，設，方程變為關于y的整式方程，然后求解。說明：分式方程一定要檢驗。答案：x=2 或x=5（遼寧省）用換元法解方程.考點：分式方程的解法換元法評析思路：設，原方程可變為關于y的一元二次方程是y2-5y-6=0.該題用換元法變為整式方程將用y代替即可。答案：x= 或x=6（安徽省）解方程 +

17、= 時，設y=, 則原方程可化為：（）A、5y2+5y-26=0B、5y2+y-26=0C、5y2-y-26=0 D、5y2-26y+5=0考點：換元法解分式方程      評析:原方程是一個分式方程，其中兩個分式互為倒數，當設y=時，原方程變為y+ =    化簡得5y226y+5=0，所以正確選項是D 分式方程（組）的特殊解法吳行民 王愛靈同學們已經知道，把分式方程的兩邊同乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程，是解分式方程的基本思路。而對于一些特殊的分式方程（組），我們還可以根據它的特征，采取靈活多變的方法求解。下面以課

18、本習題、中考題和競賽題為例，介紹解分式方程（組）的若干特殊方法與技巧。一、觀察法例1、解關于x的方程：精講與解：由限制條件和方程兩邊a，b及x的“對稱”關系不難看出，當x=ab時等式成立。而該方程是一個可化為一元一次方程的分式方程，最多只有一個解，故原方程的解是x=ab。二、拆項法例2、解方程：。精講與解：先注意，將左邊第一個分式“一分為二”，就可以避開“去分母”而另辟新路。原方程可化為，即1=8，這是不可能的，故原方程無解。試一試：解方程：。提示：將拆成。三、添項法例3、解方程：。精講與解：原方程可化為。即。解之，得x=7。經檢驗，x=7是原方程的解。試一試：用拆項法來解此題。四、消去常數法例4、解方程組：精講與解：兩個方程左邊的分母都是x+y和，右邊的常數都是3，因此，消去常