1、1.1 1.1 數域數域1.2 1.2 一元多項式的定義與運算一元多項式的定義與運算 1.3 1.3 多項式的除法多項式的除法1.4 1.4 最大公因式最大公因式1.5 1.5 因式分解因式分解 1.6 1.6 復數域與實數域上的多項式復數域與實數域上的多項式1.7 1.7 有理數域上多項式有理數域上多項式,PabPbaPba0bPbaPCPPPba,說明：有理數集 ，實數集 ，復數集 都是數域，整數集 不是數域。QRCZ)2(QQbabaQ,2)2()2(Q)2(,Q2,22211babaQbaba2211,22)(2121Qbbaa22)2(22122121212211Qbababbaab

2、aba顯然， .RQQ)2(, 0222ba)2(Q22,baQbaba2211,22222222222222211222222121222222112211bababababbaababababababa0222ba,2,222222211222222121Qbababababbaa)2(Q)3(ZZbabaZ,3)3()3(,Z3, 32211babaZbaba2211,)3(,Z, 0322ba22,ba33332222211222222121bababababbaa雖然 ， 不一定屬于 ，所以 不一定屬于 ，因此 不是數域.Zbaba2211,22222112222221213,33b

3、ababababbaaZ)3(Z)3(ZQCP RP 1.2.4 多項式的運算多項式的運算二、教學目的二、教學目的 掌握一元多項式的定義掌握一元多項式的定義,有關概念和基本運算性質有關概念和基本運算性質. 三、重點、難點三、重點、難點 一元多項式的定義，多項式的乘法，多項式的運算性質。一元多項式的定義，多項式的乘法，多項式的運算性質。 1.2.1 認識多項式認識多項式1.2.2 相等多項式相等多項式1.2.3 多項式的次數多項式的次數1.2.5 多項式加法和乘法的運算規則多項式加法和乘法的運算規則1.2.6 多項式的運算性質多項式的運算性質多項式多項式令令P P是一個數域是一個數域,P,P上一

4、個文字上一個文字x x的多項式或一元多項式的多項式或一元多項式指的是形式表達式指的是形式表達式 nnxaxaxaa2210這里這里n n是非負整數而是非負整數而 niai , , 1 , 0都是數域都是數域P P中的數中的數. . 一元多項式常用符號一元多項式常用符號 , ,xgxf來表示來表示. . 注注1：在多項式：在多項式(1)中中, 0a叫做零次項或常數項叫做零次項或常數項, iixa叫做叫做 i 次項次項, ia叫做叫做 i 次項的系數次項的系數. 2：在一個多項式中，可以任意添上或去掉一些系：在一個多項式中，可以任意添上或去掉一些系 數為零的項；若是某一個數為零的項；若是某一個i次

5、項的系數是次項的系數是1 ，那，那 么這個系數可以省略不寫。么這個系數可以省略不寫。 定義定義若是數域若是數域P上兩個一元多項式上兩個一元多項式 , f (x) 和和g (x)有完全有完全相同的項相同的項,或者只差一些系數為零的項或者只差一些系數為零的項, 那么那么 f (x) 和和g (x)就說是相等就說是相等 ，記為：，記為： f (x) = g (x)叫做多項式叫做多項式 nnxannxaxaxaa22100na的最高次項的最高次項,非負整數非負整數n叫做多項式叫做多項式 nnxaxaxaa22100na的次數的次數. 記作記作 (x)deg fxf或注：注：系數全為零的多項式沒有次數系

6、數全為零的多項式沒有次數,這個多項式叫做這個多項式叫做零多項式，記為零多項式，記為 0 . 給定數域給定數域P上兩個多項式上兩個多項式 nnxaxaxaaxf2210 mmxbxbxbbxg2210且且m n, f (x) 和和g (x) 的加法定義為的加法定義為 nnnxbaxbaxbabaxgxf2221100這里當這里當m 0)次多項式次多項式f (x)都可以分解成都可以分解成P x的不可約多項式的乘積的不可約多項式的乘積.令令f (x)是是Px的一個次數大于零的多項式，并且的一個次數大于零的多項式，并且 ,2121xqxqxqxpxpxpxfsr ,), 2 , 1, 2 , 1()(

7、均不可約與sjrixqxpji)()(xqcxpisr 例例 在有理數域上分解多項式在有理數域上分解多項式為不可約因式的乘積為不可約因式的乘積.容易看出容易看出 2223xxxxf（2） 2122223xxxxx一次因式一次因式x + 1自然在有理數域上不可約自然在有理數域上不可約.我們證明，我們證明，二次因式二次因式 也在有理數域上不可約也在有理數域上不可約.不然的話不然的話, 將能寫成有理數域上兩個次數小于將能寫成有理數域上兩個次數小于2的因式的因式的乘積，因此將能寫成的乘積，因此將能寫成 22x22x（3 3） bxaxx 22的形式，這里的形式，這里a和和b是有理數是有理數.把等式（把

8、等式（3）的右端乘開，）的右端乘開，并且比較兩端的系數，將得并且比較兩端的系數，將得a + b = 0 , ab = - 2，由此，由此將得將得 .這與這與a是有理數的假定矛盾是有理數的假定矛盾.這樣，（這樣，（2）給出多項式在有理數域上的一個不可約因式分解給出多項式在有理數域上的一個不可約因式分解.2a我們還可以如下證明我們還可以如下證明 在有理數域上不可約在有理數域上不可約.如如果（果（3）式成立，那么它也給出）式成立，那么它也給出 的實數域上的實數域上的一個不可約因式分解的一個不可約因式分解.但在實數域上但在實數域上22x22x2222xxx因此由唯一分解定理就得出因此由唯一分解定理就得

9、出2a的矛盾的矛盾. .一一.內容分布內容分布 1.6.1 代數基本定理代數基本定理. 1.6.2 實系數多項式分解定理實系數多項式分解定理. 二二.教學目的教學目的 1.理解代數基本定理、重根的定義理解代數基本定理、重根的定義. 2.掌握實系數多項式的性質掌握實系數多項式的性質. 三三.重點、難點重點、難點 代數基本定理代數基本定理,根與系數的關系根與系數的關系,實系數多項式性質實系數多項式性質. 證證 設設f (x)是一個次多項式是一個次多項式,那么由定理那么由定理2.7.1,它在復它在復數域數域C中有一個根中有一個根 因此在因此在C x中中,1),()()(11xfxxf這里這里 是是C

10、上的一個上的一個n 1 次多項式次多項式.若若n 1 0,那那么在么在C中有一個根中有一個根 因而在因而在C x中中)(1xf,2).()()(221xfxxxf任何任何n (n 0)次多項式在復數域中至少有一個根次多項式在復數域中至少有一個根. 定理定理1.6.1 (1.6.1 (代數基本定理代數基本定理) )任何任何n (n 0)次多項式在復數域中有次多項式在復數域中有n個根個根(重根重根按重數計算按重數計算) .定理定理1.6.21.6.2這樣繼續下去這樣繼續下去,最后最后f (x)在在C x中完全分解成中完全分解成n個一個一次因式的乘積次因式的乘積,而在而在f (x) C中有中有n個根

11、個根.復數域復數域C上任一上任一n (n 0)次多項式可以在次多項式可以在C x里分里分解為一次因式的乘積解為一次因式的乘積.復數域上任一次數大于復數域上任一次數大于1的多的多項式都是可約的項式都是可約的.定理定理1.6.3 1.6.3 若實系數多項式若實系數多項式 f (x)有一個非實的復數根有一個非實的復數根 ,那么那么的共軛數的共軛數 也是也是f (x)的根的根, 并且并且 與與 有同一重數有同一重數.換句話說換句話說,實系數多項式的非實復數根兩兩成對出實系數多項式的非實復數根兩兩成對出現現.定理定理1.6.4 1.6.4 實數域上不可約多項式實數域上不可約多項式, 除一次多項式外除一次

12、多項式外, 只有含非只有含非實共軛復數根的二次多項式實共軛復數根的二次多項式. 定理定理1.6.5 1.6.5 每一個次數大于每一個次數大于0的實系數多項式都可以分解為實系的實系數多項式都可以分解為實系數的一次和二次不可約因式的乘積數的一次和二次不可約因式的乘積.一一. .內容分布內容分布 1.7.1 本原多項式及高斯引理本原多項式及高斯引理. 1.7.2 艾森斯坦差別法艾森斯坦差別法 .1.7.3 求整系數多項式的有理根求整系數多項式的有理根.二二. .教學目的教學目的 1.掌握本原多項式概念及高斯引理掌握本原多項式概念及高斯引理. 2.熟悉運用艾森斯坦差別法熟悉運用艾森斯坦差別法. 3.掌

13、握求整系數多項式的有理根掌握求整系數多項式的有理根 .三三. .重點、難點重點、難點 艾森斯坦差別法及如何求整系數多項式有理根方法艾森斯坦差別法及如何求整系數多項式有理根方法. 引理引理1.7.1 1.7.1 兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式.若是一個整系數多項式若是一個整系數多項式f (x)的系數互素的系數互素,那么那么f (x)叫叫作一個本原多項式作一個本原多項式.若是一個整系數若是一個整系數n (n 0)次多項式次多項式f (x)在有理數域上在有理數域上可約可約, 那么那么f (x)總可以分解成次數都小于總可以分解成次數都小于n的兩個整的兩個整

14、系數多項式的乘積系數多項式的乘積. 設設p是一個素數是一個素數. 多項式多項式1)(21xxxxfpp叫做一個分圓多項式叫做一個分圓多項式. (i) 的最高次項系數的最高次項系數 而而 的常的常數項數項)(xfv整除,na)(xfu整除;0a(ii) 這里這里q (x)是一個整系數多項式是一個整系數多項式.),()()(xqvuxxf設設 0111)(axaxaxfnnn是一個整系數多項式是一個整系數多項式. 若是有理數若是有理數 是是f (x)的一個根的一個根, 這里這里u和和v是互素的整數是互素的整數, 那么那么vu定理定理1.7.41.7.4這個多項式的最高次項系數這個多項式的最高次項系數3的因子的因子 常數項常數項 2的因子的因子 ，所以可能的有理根是，所以可能的有理根是 我們算出我們算出 所以所以1與與 1都不是都不是f (x)的根，同理，可以判斷的根，同理，可以判斷 是是f(x)的有理根的有理根., 3, 1. 2, 1.32,31, 2, 1. 8) 1(,12) 1