1、第七章 計算機控制系統7.1 計算機控制系統概述v采用計算機的系統。代替模擬控制器，補償（校正）裝置，實現復雜控制。v工業控制機，單片機，PLC，DSP。v模擬信號：1）時間的連續函數；2）數值連續。v數字信號：用數字表示 的信號，有限個數。v離散時間信號：在時間 的離散點上有定義。v模/數（A/D）轉換 數模（D/A）轉換v離散時間系統：系統中有離散時間信號。v數字控制系統：系統中有數字信號。7.2 A/D轉換與采樣定理7.2.1 A/D轉換vA/D轉換：采樣，量化，和編碼。v采樣采樣周期和頻率TfTfsss221， 0 1)( , )()()(0kTtkTtkTtkTtkTetekv量化：

2、用有限字長的二進制數近似模擬信號。量化單位：機內數最低位代表的數值。N位二進制數， 誤差為q/2。字長長，位數多，誤差小。v編碼：將量化后的數變成二進制數碼。如，原碼，補碼等。Nq217.2.2 采樣定理v任一信號可由正弦信號疊加而成，這些正弦信號的幅值與頻率的關系就是頻譜。v采樣（Shannon）定理 連續有限 頻譜，由采樣信號得到原連續信號 的必要條件：v對于最高頻率信號，一周期至少采兩次。 maxs2 )(1)()(1)()()()()()(00nsnskknjXTjXjnsXTsXkTtkTxkTttxtxv采樣信號的頻譜 平移 得到)(1jXT。，幅值為連續的周期為函數，采樣信號的頻

3、譜是周期。TnjXTss/1)(1 sn得到原連續頻譜。，頻譜重疊，無法若。濾波器可得原連續頻譜頻譜不重疊，由理想maxmax2,2ss7.2.3 采樣周期的選擇v采樣周期小，頻率高，信息損失小，但計算量大。v采樣周期長，頻率低，信息損失大，甚至不穩定。v可反復試驗。v經驗公式sccstTtTTr401 10115107.3 D/A轉換v數字信號變成連續模擬信號，包括解碼與保持。v解碼：數字變成對應值的電壓或電流。v保持：求采樣時刻之間的值，離散時間信號變成連續信號。v零階保持器v將采樣值保持一個周期。T0 )()(kTxkTxhv零階保持器單位沖激響應、傳函與頻率特性TjTjTsTshTTT

4、jjHssssHTtttg2100e22sine1)(e1e1)()( 1)( 1)(7.4 Z變換 7.4.1 Z變換v離散信號的拉氏變換0000)()()()(. )( )()(e e)()()()()(kkkkTskkTskzkTxtxZtxZzXztxzkTxzXzkTxsXkTtkTxtx。變換的設v1.級數求和法v例 7-4-1 求 Z1(t)。v解kkkzkTxzTxzTxxzkTxzX)()2()()0()()(210111)( 1 1, 1, 1,1)( 1 , 2 , 1 , 0, 1)( 1111121zzztZzzzqazzztZkkTk若公比等比級數v例 7-4-2

5、求 v解 )0( )(e。aZataTaTataTkkaTaTaTatkaTaTaTaTakTzzzZzzzzZee11)(e1eeee1 )(e,ee,e,e, 1:e1122132，則等比級數，若v例 7-4-3 求v解。 )()(0kTkTtZtZ111)( 1 z1)(, 1 , 1 , 1: )(11021zzztZzzztZkTTkkTT則若v2.部分分式法vx(t)X(s)部分分式之和查表X(z)v例 7-4-4 v解。求 )(,)()(zXassasXaTaTaTaTaTzzzzzzzzXzzasZzzsZasssXe)e1 ()e1 (e1)(e)1(,1)1( 11)(2查

6、表v3. 留數計算法)(e)(ddlim)!1(1e)(Res )(e)(lime)(Res e)(Res)( )(11ssss1ssiiirisTrrsssTiisTsssTinisTisszzsXsrzzsXsrsszzsXzzsXszzsXzXssXii重極點非重極點。的極點是設v例 7-4-5v解 。求 )( 0 0 0)(zXttttx2220112) 1()0(e1ddlim)!12(1)(2, 00 1)( zTzszzsszXrssssXsTs。是兩重極點，v例7-4-6 v解。求 )( ,)2() 1()32()(2zXsssssXTTTsTssTszzzTzszzsssss

7、zzssssszXsssX222222132, 1e2)e(e )2(e)2() 1()32( ) 1(e)2() 1()32(dd)!12(1)(2)( 1 )( limlim，二重極點的極點7.4.2 z變換的基本定理v1.線性定理v2.實數位移（平移）定理v3.初值定理)()()()()()(2121zXzXtxtxZzaXtaxZ)()()()()()()(10knknnzkTxzXzTnkxZnTtxZzXzTnkxZnTtxZ)0()(lim )2()()0()()( )(lim)(lim)(lim)0( 21000 xzXzTxzTxxzkTxzXzXkTxtxxzkkzkt證明

8、v4.終值定理v(z-1)X(z)極點全在單位圓內，v5.卷積定理)() 1(lim)(lim)(lim)(1zXzkTxtxxzkt)()()()(02121mmTkTxmTxZzXzX7.4.3 z反變換1.長除法)(),()(:)(1kTxtxzXzXZ)()( )2()2()()()()0()()()2()()0()()()(212211022110kTtkTxTtTxTtTxtxtxzkTxzTxzTxxzazazaazbzbzbbzDzNzXknnmmv例 7-4-7)4(150)3(70)2(30)(10)(150703010 231102310)2)(1(10)( )( )2)

9、(1(10)( 2-4-7 43212112TtTtTtTttxzzzzzzzzzzzzzzXtxzzzzX解。求例v2.部分分式法TtkkniiikniiiniiiniiiaaazzZkTtzzzAZkTtkTxtxzzzAZkTxzzzAzXzzAzzX)()()()()( )()()(101101111)4(15)3(7)2(3)()()2() 1()()2() 1()(21)(2111)2)(1(1)( )( , )2)(1()( 8-4-7 0TtTtTtTtkTttxkTxzzzzzXzzzzzzXtxzzzzXkkkkk解。求例v3.留數計算法vX(z)不相等的極點數為l， 為重

10、極點的重復個數。011111)()()()()(dd)!1(1 )(Res)(klizzkrirrikkTtkTxtxzzXzzzrzzXkTxiiriir0222211221222112)()1 (11) 1()(, 2 , 1 , 0 )1 (11) 1( ) 1)() 1(dd)!12(1 ) 1)()()(2 , 1 , 1 , , 2 )(),( , ) 1)()( 9-4-7 kkkzkazkkTtaakaatxkaakaazzazzzzzzazzazkTxrzrazltxkTxzazzzX解。求例7.5 z傳遞函數 7.5.1 z傳遞函數的概念vz傳遞函數，脈沖傳遞函數：零初始條

11、件下，輸出量的離散信號的z變換與輸入量的離散信號的z變換之比。)e)(1()e1 (e1)(1011)10(10)( )()()()()()()()()()(101010TTTzzzzzzzzGsssssGsGZsGZzGtgZtgZzRzCtrZtcZzG例7.5.2 串聯環節的z傳遞函數v1.串聯環節間無采樣開關)e)(1()e1 (e1 11)()()()()( )( ,1)(,)( 1-5-7 )()( )()()()()()()()(21212121212121aTaTaTnnzzzzzzzassZassaZsGsGZzGGzGzGssGasasGzGzGGsGsGsGZzGzGGs

12、GsGZzG解。求例v2.串聯環節間有同步采樣開關零點不同，極點相同。，注意解。求例個環節串聯 )()()( ) 1)(e( 1e)1()()()()( )( ,1)(,)( 2-5-7 )()()()( , )()()()()()()()()()()()()()(21212212121211221zGzGzGGzzazzzzazsZasaZzGzGzGzGssGasasGzGzGzGzGnzGzGzEzCzGzEzGzGzMzGzCzEzGzMaTaTnv3.環節與零階保持器串聯)()1 ()()()1 ()()()()()()()()()()()()()()()()()1 ()()()(/

13、 )()(),1 ()()()()()1 ( )(1)()()(012121222022221122221021210000ssGZzzGzGzzGzzGTtgtgZtgZZGsGTtgtgsGesGLsGLtgsGesGsGesGsGsGssGsGesGsGsGssGesGsesGsHsGTsTsTsTsTsTs數為串聯時總的脈沖傳遞函零階保持器與環節)e)(1()ee1 ()e1( )(111()1 ( )()1 ()()1 ()( )( )(s) 3-5-7 22222010aTaTaTaTzzaaTzaTkasasaaskZzasskZzssGZzzGzGasskG解。，求例7.5.3

14、 線性離散系統的z傳遞函數v圖示開環z傳遞函數0)(1 )(1)()()( )(1)()()()()()(11)()( )()()()()()()()()()()()()()( )()()()()()( )()()()()()()( )()()( , )()()()()( )()()(212121212121212121212121212121zHGGzHGGzGGzRzCzHGGzRzGGzEzGGzCzHGGzRzEzEzHGGzRzEzEzHGGsEsHsGsGZsEsHsGsGZsEsHsGsGsRsEsEsHsGsGsCsHsYsYsRsEsEsGsGsCzHGGzEzYzG閉環特征

15、方程可證明求閉環傳遞函數e)ee1 ()e1 ()e1()ee1 ()e1()(1)()()(e)ee1 ()e1 ()e1()e)(1()(11)()()e)(1()ee1 ()e1( )()1 ()( 3-5-7 )()( ,)()( 4-5-7 22222222222aTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaaTkzaaTkzaaTzaTkzGzGzRzCaaTkzaaTkzazzazGzRzEzzaaTzaTkasskZzzGzRzCzRzE由例解。求例aTe入到連續環節。輸入信號未經采樣就輸求不出閉環傳遞函數。變換得取解。求例) z ()(1) z (

16、)()()( ) z ()()() z ()z ()(1 )(/ ) z () z () z ()()()()()()( ) z () z () z ()( )()()( )()()( z )()()()()()()()()()()()()()()()()()()( )( 5-5-7 31213213231233113223311233111123HGGzGRGzGzGzCRGzGzGCHGGzGzGCHGGRGzGzGzMzGzGzCNHGGRGzMzMzGzNzNzGzCsNsGsHsGsRsGsCsHsRsGsEsGsMsMsGsNsNsGsCzC)(1)()()(1)()()()( )

17、()( )(1)()( )()( )()()()( z )()( , )()()()()()(0)()()(1)()( )()()( )()()( )()()( )()()()(0)( )( )()( 6-5-7 212212121221221221212121zGGzFGzRzGGzGGzCzCzCsCsRzGGzFGzCzCzEzEzGGzFGzCsCsEsEsGsGsFsGsCsRzRzGGzGGzCzCzRzEzEzGGzCsCsRsEsEsGsGsCsFzCsCsRFRFFFFFRRRRR同時作用，輸出為和變換得取，輸出為設，輸出為設解。求同時作用，和例v求z傳遞函數和z變換時的幾個

18、結論。1）由于采樣開關位置不同，閉環和開環的z傳遞函數之間沒有固定關系。具體問題具體分析。2）輸出信號是連續信號時，可加虛擬開關。3）離散拉氏變換可提到z變換符號外。4）輸入信號未經采樣就輸入到連續環節，則求不出閉環z傳遞函數，只能求出輸出的z變換式。)()()()()()()()(212121zXzGGsXsGsGZsXsGsGZ7.6 線性離散系統的穩定性7.6.1 s平面到z平面的映射關系v設T為采樣周期。 2 2 12,e eeee,e)(zzzsfTzzzzjszsssTTjTjTTjTs平面單位圓上。，平面虛軸vS平面左半部:vS平面右半部:vS平面穩定區，左半平面。vz平面穩定區

19、，單位圓內。單位圓外。, 10z單位圓內。, 10z7.6.2 線性離散系統穩定的充要條件v全部特征根在單位圓內。v有根在單位圓外，不穩定。1iz系統穩定。特征根特征方程解，判定穩定性。閉環傳函例1795. 0618. 05 . 0618. 0j5 . 02632. 0411 0264. 0 264. 0264. 0368. 0)()( 1-6-722212, 122zzzzzzzzzRzC7.6.3 勞思穩定判據v采用w變換，z平面單位圓映射為w平面左半部，再用勞思判據。0, 1 0, 1j, 0, 1) 1(2j) 1(1)(11jj,j 1111222222222222uyxzuyxzv

20、wuyxzyxyyxyxzzvuwvuwyxzzzwwwz設證明：可見系統穩定。勞思表如下：代入得將特征方程解，判定穩定性。閉環傳函例632. 2 736. 0 632. 2 632. 0 0632. 2736. 0632. 0 0632. 0)11()11( 11 0632. 0 632. 0264. 0368. 0)()( 2-6-70122222wwwwwwwwwwwzzzzzzzRzCv例 7-6-3 T=0.5s,T=1s,v求k的臨界值。kwkkwkkwkwkkwwDkzkzzDTTkzTkzTzTkzRzCTTTTTTTT017. 0214. 3 73 . 40 18. 0786

21、. 0 017. 0214. 3 197. 0 0)017. 0214. 3()18. 0786. 0(197. 0)(0)607. 009. 0()607. 1107. 0()(s5 . 0) 1e)ee1 ()e1 ()e1()ee1 ()e1()()( 4-5-7 012222，穩定。勞思表時，特征方程為由例解采樣周期影響穩定性。，穩定。勞思表時，特征方程為 39. 20104. 02.736 528. 0264. 1 104. 02.736 632. 0 0)104. 0763. 2()528. 0264. 1 (632. 0)(0)368. 0264. 0()368. 1368. 0

22、()(s1)201222kkwkwkkwkwkkwwDkzkzzDT7.7 線性離散系統的穩定分析7.7.1 極點在z平面上的分布與瞬態響應v閉環極點決定瞬態響應各分量的類型。nikiinikiipziizniiiniimiiniimiipBpBAkTczzDpzzMBzDzMApzzBzAzzCzzpzzzkzCzzzRtrmnzDzMpzzzkzRzCzi11111111 )() 1)()(,)()(,1)(1)()()(1)(1)( )()()()()()()(瞬態分量無重根時，設。振蕩序列，角頻率為正負交替的發散。振蕩序列，角頻率為正負交替的等幅一半，見圖）。（采樣頻率的列，角頻率為正

23、負交替的衰減振蕩序），單調發散序列。），不變號的等幅序列。）單調衰減序列。實數極點TpTpTpppppBkTciiiiiikiii, 1)6, 1)5, 0141312, 10) 1)( . 1TTzTzzpppabpbakAkTcbapiiiiiTTTsTiiiiiiiiiiikiiiii ,eeee , 1) 3, 1)2, 1) 1 arctan, )cos()(j. 2j)j(221.振蕩角頻率振蕩角頻率振蕩發散。等幅振蕩。振蕩收斂。共軛復數極點，7.7.2 線性離散系統的時間響應v采樣時刻的值。)6(895. 0)5(147. 1)4(4 . 1)3(4 . 1)2()(368. 0

24、)(,895. 0)6(,147. 1)5(4 . 1)4(, 4 . 1)3(, 1)2(,368. 0)(, 0)0(895. 0147. 14 . 14 . 1368. 0632. 0632. 121264. 0368. 0)(1632. 0264. 0368. 0)()()(1)( )(),(s 1),( 1)(,632. 0264. 0368. 0)()()( 1-7-7 6543213212122TtTtTtTtTtTttcTcTcTcTcTcTcczzzzzzzzzzzzCzzzzzzRzzCzzzRtckTcTttrzzzzRzCz解。求例)(),()(kTctczC7.7.3

25、 線性離散系統的穩態誤差v1.穩態誤差與穩態誤差終值v誤差：v穩態誤差:誤差信號的穩態分量,)(tess)() 1(lim)(lim)(lim)()(lim)(zEzteteeteettsstsssstss穩定的系統：穩態誤差的終值：)(tev2.穩態誤差系數v開環z傳遞函數中z=1的開環極點個數是系統的型別數v。10 e)()(1) 1(lim)() 1(lim)(lim)()()()()()( )(11)()()()(1)()()()(11zszzRzGzzEzteezRzzCzRzEzGzRzEzzGzGzRzCzTszztssee穩定的系統：v1) 單位階躍響應的穩態誤差終值v單位階躍

26、響應的穩態誤差終值，0型系統是有限數值，1型及以上系統是0。ppzppzzzssKvKvzGKKzGzGzzzzGzezzzR00)(lim 11)(lim11)(1lim1)(11) 1(lim)(,1)(1111是有限值，穩態位置誤差系數v2)單位斜坡響應的穩態誤差終值v單位斜坡響應的穩態誤差終值，0型系統為無窮大,1型系統是有限數值，2型及以上系統是0。vvvzvzzzssKvKvKvzGzKKTzGzTzGzTzzTzzGzezTzzR21, 00)() 1(lim )() 1(lim)(1)1(lim) 1()(11) 1(lim)(,) 1()(1v11212是有限值，穩態速度誤差

27、系數v3)單位加速度響應的穩態誤差終值v單位加速度響應的穩態誤差終值，0型和1型系統為無窮大，2型系統是有限數值。是有限值。穩態加速度誤差系數aazaazzzssKvKvzGzKKTzGzTzGzzzzTzzzTzGzezzzTzRttr2, 01)() 1(lim )() 1(lim)() 1() 1(2) 1(lim) 1(2) 1()(11) 1(lim)() 1(2) 1()(21)(2122122221321322v3.動態誤差系數v求誤差的時間函數。)(!1)(! 21)()()( !1 , 2 , 1 , 0 , d)(d!1! 21)()()(21002210ekTrcmkTr

28、ckTrckTrckTecmmsscscmscscczsmmssmsmemmmmzeesT取拉氏反變換得動態誤差系數。只需求）解。）。）。求，傳函單位負反饋系統的開環例 , , 0)(, 1)(,)(,21)(632. 0368. 0368. 111)( )21)( 0)() 1(lim368. 0368. 1264. 0368. 0)e)(1()e21 (e)(1 )20( 2 )( 1 21)(, s 1)e)(1()e21 (e)( 2-7-7 210222*2121*2ccctrtrttrttrzzzzGzKezGzKzzzzzzzGeettrTzzzzGeasszaTTTTssssT

29、TT5 .205 . 020)20(5 . 0)(! 21)()()(1)(dd1)(dd, 0)0(632. 0ee368. 0e368. 1e)()(210022201022essssseseesssszeeekTkTckTckTrckTesscsscczsrrTs7.8 數字控制器的模擬化設計v步驟 1）對于連續系統，設計補償環節D(s)。零階保持器可以加到對象中。 2）對連續補償環節離散化，D(s)D(z)。 3）校核性能指標。 4）將D(z)變成差分方程。7.8.1 模擬補償裝置的離散化 方法v1.帶有虛擬零階保持器的z變換vD(z)與D(s)的階躍響應相同，又稱階躍響應不變法。11

30、e1)e1 (ee1e1)()()()( )(e1)(zzzasasZzDasasEsUsDsDsZzDaTaTaTaTTsTs例如v2. 差分法1111111)(D(s) )()( 11 )(1 ) 1()( )( dd 11zaTaTasazDasasDzDTzsTzzETzTkekesssEteTzsTzs例如離散連續v3.根匹配法 1) s平面的零極點與z平面對應。 2) 放大系數由其它特性（如終值相等）確定。個零點平面有的零點。相應的個平面有，0e)(z)() 3 Tzmnmnsmn)ecose21 ()j()e()e1 ()(ee2211zbTzbaszzaszasaTaTaTaTaTTs1110015. 010015. 0486. 0194. 017 .1886. 094. 07 .18)(7 .1843. 0886. 0194. 01886. 094. 0lim11 . 0125. 08lim86. 094. 0ee)(104410811 . 0125. 08)(015. 0zzzzzDKKzzKssKzzKzzKzDsssssDTzzzzszzz。按增益相等的條件確定，例如v4.雙線性變換法v幾何意義，用梯形面積代替 積分。v常用的方法。)2()2() 1()(,)()()(112112112ln)11