1、1 / 10初二數學初二數學寒假專題寒假專題勾股定理勾股定理華東師大版華東師大版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容：寒假專題勾股定理1. 勾股定理及其逆定理的概念；2. 勾股定理及其逆定理的實際應用；3. 解有關勾股定理的題型時常用的輔助線和數學思想方法.二. 重點、難點： 1. 重點： 勾股定理及其逆定理的概念; 勾股定理及其逆定理的實際應用. 2. 難點：勾股定理與勾股定理逆定理的了解與區別;解有關勾股定理題時常用的輔助線和數學思想方法.三. 知識梳理： 1. 勾股定理及其逆定理的概念 勾股定理的內容：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.例如：如圖所示，在等腰ABC

2、中，若 ABAC13，BC10，求底邊上的高. A B H C 如圖所示，在ABC 中，ACB90，AC4，CB3，求斜邊 AB 上的高. C A H B 解：解：作 AHBCABAC13，AHBC12513AH5HCBH22AC4，BC3543AB225HC34512HC 勾股定理逆定理的內容：如果三角形一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形，這條邊所對的角是直角.2 / 10例如：如圖所示，在ABC 中，三條邊之比為 9：12：15，那么此三角形為何三角形？如圖所示，在ABC 中，若22a4c ，22a3b ，那么此三角形為何三角形？解：解：15:12:9c:b:a

3、設，k12bk9a k15c 2222)k12()k9(ba222k225ck225，222cba此三角形是 Rt.證：2222a3ba4c，222cba此三角形是 Rt.注：勾股定理與勾股定理逆定理的了解與區別：區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理;了解：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關.2. 勾股定理的證明方法介紹勾股定理曾引起很多人的興趣，幾千年來，人們已經發現了 400 多種勾股定理的證明方法，其中包括大畫家達芬奇和美國總統詹姆士阿加菲爾 德.以下我們擷取幾個優美而巧妙的證法供同學們欣賞.（1）趙爽的拼圖法）趙爽的拼圖法我國古

4、代著名數學家趙爽在勾股圓方圖一書中運用四個相同的直角三角形組成一個正方形，從面積的角度證明了勾股定理，其方法簡捷、優美.如圖，在邊長為c的正方形中，有四個斜邊為c的全等的直角三角形，已知它們的直角邊為a、b利用這個圖，即可證明勾股定理.理由如下：因為正方形邊長為c，所以正方形的面積為2c.又因為正方形的面積22214()2ababab，所以有222abc.（2）旋轉面積法）旋轉面積法3 / 10如圖，設矩形 ABCD 為火柴盒側面，將這個火柴盒推倒至 ABCD 的位置，D 點不動.若設 ABa，BCb，DBc，則梯形A B BC的面積211()()()22ab abab，又因為其面積還等于三個

5、三角形面積的和，即為： 2111222A B DDB BBCDSSSabcab.所以有：21()2ab2111222abcab.化簡為：22222ababcab，即222abc.（3）美國第）美國第 20 任總統的拼圖面積法任總統的拼圖面積法加菲爾德的證法的關鍵是用兩個相同的直角三角形，組成直角梯形，使兩斜邊之間的夾角為 90.如圖所示，將兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形，設ACBEb，BCDEa，ABDBc.因為222111()()()(2)222ACEDSab abababab梯形，21()2ABCDBEABDSSScabab.即221(2)2abab21()2cabab即222

6、abc.3. 有關勾股定理題時常用的輔助線和數學思想方法 解有關勾股定理的題型時常作垂線構成直角三角形. 解有關勾股定理的題型時常用方程思想、分類討論思想、轉化思想和數形結合思想.4. 勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在實際生活中有著廣泛的應用，我們要能善于從實際生活背景中抽象出直角三角形，再運用勾股定理及其逆定理解答相關的問題.【典型例題典型例題】例例 1. 若直角三角形兩直角邊的比是 3：4，斜邊長是 20，求此直角三角形的面積.分析：分析：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程（組）求解. 解：解：設此直角三角形兩直角邊分別是 3x，4x，根據題意得：4

7、 / 10（3x）2（4x）2202化簡得 x216；直角三角形的面積213x4x6x296例例 2. 如圖，在長方形 ABCD 中，DC5cm，在 DC 上存在一點 E，沿直線 AE 把AED 折疊，使點 D 恰好落在 BC 邊上，設此點為 F，若 ABF 的面積為 30cm2，那么折疊的 AED 的面積為_.分析：分析： 注意折疊后相等的角與相等的線段的轉化，通過設未知數列方程求解.解：解：由已知條件可得 BF12，則在 RtABF 中，AB5，BF12 根據勾股定理可知AF13，再由折疊的性質可知 ADAF13，所以 FC1，可設 DEEFx，則EC5x，則在 RtEFC 中，可得方程：

8、12(5x)2x2.解這個方程，得 x135.所以SAED121351316.9(cm2).例例 3. 直角三角形周長為 12cm，斜邊長為 5cm，求直角三角形的面積.分析：分析：兩條直角邊長不能直接求出，要求直角三角形的面積，只要求出兩直角邊長的積即可.解：解：設此直角三角形兩直角邊分別是 x，y，根據題意得：)2(5) 1 (125222yxyx由（1）得：xy7，（xy）249，x22xyy249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面積是21xy21126（cm2）例例 4. 等邊三角形的邊長為 2，求它的面積.分析：分析：要求等邊三角形的面積，已知邊長，只需求出任意一邊上的

9、高.解：解：如圖，等邊ABC，作 ADBC 于 D則：BD21BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）5 / 10ABACBC2（等邊三角形各邊都相等）BD1在直角三角形 ABD 中 AB2AD2BD2，即：AD2AB2BD2413AD3SABC21BCAD3注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為 a，則其面積為43a2.例例 5. 飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到小明頭頂正上方 4000 米處，過了 20 秒，飛機距離小明頭頂 5000 米，問：飛機飛行了多少千米？分析：分析：根據題意，可以先畫出符合題意的圖形，如圖，圖中ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米

10、，要求出飛機這時飛行多少千米，就要知道飛機在 20 秒時間里飛行的路程，也就是圖中的 BC 長，在這個問題中，斜邊和一直角邊是已知的，這樣，我們可以根據勾股定理來計算出 BC 的長解：解： 根據題意可得示意圖：(如圖)在ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米，根據勾股定理可得：BC22ABAC22500040003000(千米）所以：飛機飛行了 3000 千米.例例 6. 以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是（ ）A、8，15，17B、4，5，6 C、5，8，10D、8，39，40分析：分析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，對數據較大的可以用 c2a2b2的變形：b2

11、c2a2（ca） （ca）來判斷.例如：對于選擇項 D，82（4039）（4039） ，以 8，39，40 為邊長不能組成直角三角形.解：解： 因為 17282152，所答案為：A.例例 7. 如圖所示的一塊地，AD12m，CD9m，ADC90，AB39m，BC36m，求這塊地的面積 分析：分析： 在求面積時一般要把不規則圖形分割為規則圖形，若連接 BD，則無法求出由于題中含有直角ADC，故可考慮連結 AC，應用勾股定理解：解：連結 AC，6 / 10在 RtADC 中，AC2CD2AD292122225，所以 AC15m 在 RtABC 中，AB21521，AC2BC21523621521，

12、 所以AB2AC2BC2，所以ACB90所以 SABCSACD12ACBC12ADCD1215361212927054216（m2） 答：這塊地的面積是 216m2例例 8. 如圖，圓柱的軸截面 ABCD 是邊長為 4 的正方形，動點 P 從 A 點出發，沿著圓柱的側面移動到 BC 的中點 S 的最短路徑長為 ( )A. 221 B. 2214 C. 421 D. 224 分析：分析：在運用勾股定理解決有關問題時，常常需要將一些線段通過平移、旋轉、翻折等運動變化從而轉化到一個直角三角形中.化歸思想即轉化思想，它是我們初中階段數學解題方法的靈魂，是指當有些問題如果直接解決則難以入手，于是換一個角

13、度來考慮，從而使問題清晰明朗.運用轉化思想來解題常用的策略有：化復雜為簡單;化陌生為熟悉;換一種方式來表達等等.解：解：求幾何體的表面的最短距離，可了解我們學過的圓柱體的側面展開圖，化“曲面”為“平面” ，再尋找解題的途徑.如右圖，可得展開圖中的 AB 長為 2，BS 為 2，根據勾股定理，在 RtABS 中，得 AS221所以，動點 P 從 A 點出發，沿著圓柱的側面移動到 BC 的中點 S 的最短路徑長為 221.故選 A.例例 9. 在銳角ABC 中，已知其兩邊 a1，b3，求第三邊的變化范圍.分析：分析：顯然第三邊 bacba，但這只是能保證三條邊能組成一個三角形，卻不能保證它一定是一

14、個銳角三角形，為此，先求ABC 為直角三角形時第三邊的值.7 / 10解：解：設第三邊為 c，并設ABC 是直角三角形(1)當第三邊是斜邊時，c2b2a2，c10(2)當第三邊不是斜邊時，則斜邊一定是 b，b2a2c2，c22（即8）ABC 為銳角三角形所以點 A 應當繞著點 B 旋轉，使ABC 成為銳角（如圖） ，但當移動到點 A位置時ACB 成為直角.故點 A 應當在 A 和 A間移動，此時 22AC10注：此題易忽視或中一種情況，因為假設中并沒有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮.例例 10. 四邊形 ABCD 中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四邊形ABCD 的

15、面積.分析：分析：先根據勾股定理求出 AC 的長，再由勾股定理的逆定理得到 ADC 是直角三角形，將四邊形 ABCD 分成兩個直角三角形.本題是一個典型的勾股定理及其逆定理的應用題.解：解：連結 ACB90，AB3，BC4AC2AB2BC225（勾股定理）AC5AC2CD2169，AD2169AC2CD2AD2ACD90（勾股定理逆定理）S四邊形 ABCDSABCSACD21ABBC21ACCD36例例 11. 若x、y為正實數，且4xy，則2214xy 的最小值是多少?試求之.解析：解析：此題是競賽題，不知從何下手，若仔細觀察分析，從 x21 和 y24 入手，結8 / 10合勾股定理的形式

16、可為我們提供解題的思路.可以看出，21x 、24y 分別是以x、1，y、2 為直角邊的直角三角形的斜邊長，這時，上述問題就變成了求兩條線段之和的最值問題.構造如圖所示的圖形：線段 AB4，P 為 AB 上任意一點.設PAx，PBy.CAAB 于 A，DBAB 于 B，且 CA1，BD2，則 PCPD2214xy .要求2214xy 的最小值就是求 PCPD 最小，很明顯，當點P、C、D 在同一直線上時，PCPD 的最小值.再過 C 作 CEDB 交 DB 的延長線于點 E，構造 RtDCE，在 RtDCE 中，CEAB4，ED123，所以 PCPDDC22345.所以2214xy 的最小值是

17、5.例例 12. (2006 年山西中考題)如圖，分別以直角 ABC 的三邊 AB，BC，CA 為直徑向外作半圓.設直線 AB 左邊陰影部分的面積為 S1，右邊陰影部分的面積和為 S2，則（ ）A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 無法確定分析：分析：將陰影部分的面積表示出來，再觀察所列代數式與直角三角形三邊長的關系可得答案.解：解：直線 AB 左邊陰影部分的面積為： 2()22AB218AB，直線 AB 右邊陰影部分的面積為： 22()()2222ACBC221()8ACBC.ABC 是直角三角形，根據勾股定理有：222ABACBC.故選 A.【模擬試題模擬試題】 （答題時間：40

18、 分鐘）一、填空題：一、填空題： 1. 設直角三角形的三條邊長為連續自然數，則這個直角三角形的面積是_. 2. 如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點 C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了 520m，則該河流的寬度為_m. 9 / 10二、選擇題：二、選擇題：3. 直角三角形的兩直角邊分別為 5cm，12cm，其中斜邊上的高為（ ）.A. 6cm B. 8.5cm C. 3013cm D. 6013cm4. 有四個三角形： ABC 的三邊之比為 3：4：5； ABC的三邊之比為 5：12：13； ABC的三個內角之比為 1：2：3； CDE 的三個內角之比為 1：1：2. 其中是直角三角形的有（ ）. A. B. C. D. 三、解答題：三、解答題：5. 在ABC 中，AC21cm，BC28cm，AB35cm，求ABC 的面積.6. 如圖，ABC 的三邊分別為 AC5，BC12，AB13，將ABC 沿 AD 折疊，使AC落在 AB 上，求 DC 的長.7. 如圖，一只鴨子要從邊長分別為 16m 和 6m 的長方形水池一角 M游到水池另一邊中點 N，那么這只鴨子游的最短路程應為多少米？8. 如圖，鐵路上 A、B 兩點相距 25km，C、D 為兩村莊，DA垂直 AB 于 A，CB 垂直AB 于 B，已知 AD15km，BC10km，