1、 正態分布 【學習目標】1. 了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義。2. 了解正態曲線與正態分布的性質。【要點梳理】要點詮釋：要點一、概率密度曲線與概率密度函數1概念：對于連續型隨機變量，位于軸上方，落在任一區間（a，b內的概率等于它與軸、直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分），這條概率曲線叫做的概率密度曲線，以其作為圖象的函數叫做的概率密度函數。2、性質：概率密度函數所取的每個值均是非負的。夾于概率密度的曲線與軸之間的“平面圖形”的面積為1的值等于由直線，與概率密度曲線、軸所圍成的“平面圖形”的面積。要點二、正態分布1.正態變量的概率密度函數正態變量的概率密度函數表達式為：，（

2、）其中x是隨機變量的取值；為正態變量的期望；是正態變量的標準差.2正態分布（1）定義如果對于任何實數隨機變量滿足：，則稱隨機變量服從正態分布。記為。（2）正態分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，。要點詮釋：（1）正態分布由參數和確定。參數是均值，它是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可用樣本的均值去估計。是標準差，它是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計。（2）經驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態分布例如長度測量誤差；某一地區同年齡人群的身高、體

3、重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產量等；正常生產條件下各種產品的質量指標（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態分布 要點三、正態曲線及其性質：1. 正態曲線如果隨機變量X的概率密度函數為，其中實數和為參數（），則稱函數的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線。2正態曲線的性質：曲線位于軸上方，與軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線對稱；曲線在時達到峰值；當時，曲線上升；當時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.曲線與軸之間的面積為1；決定曲線的位置和

4、對稱性；當一定時，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。確定曲線的形狀；當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。如下圖所示。要點詮釋：性質說明了函數具有值域（函數值為正）及函數的漸近線（x軸）性質并且說明了函數具有對稱性；性質說明了函數在x=時取最值；性質說明越大，總體分布越分散，越小，總體分布越集中要點四、求正態分布在給定區間上的概率1. 隨機變量取值的概率與面積的關系 若隨機變量服從正態分布，那么對于任意實數a、b（ab），當隨機變量在區間（a，b上取值時，其取值的概率與正態曲線與直線x=a

5、，x=b以及x軸所圍成的圖形的面積相等如圖（1）中的陰影部分的面積就是隨機變量孝在區間（a，b上取值的概率 一般地，當隨機變量在區間（，a）上取值時，其取值的概率是正態曲線在x=a左側以及x軸圍成圖形的面積，如圖（2）隨機變量在（a，+）上取值的概率是正態曲線在x=a右側以及x軸圍成圖形的面積，如圖（3） 根據以上概率與面積的關系，在有關概率的計算中，可借助與面積的關系進行求解2、正態分布在三個特殊區間的概率值：；。上述結果可用下圖表示：要點詮釋：若隨機變量服從正態分布，則落在內的概率約為0.997，落在之外的概率約為0.003，一般稱后者為小概率事件，并認為在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能

6、發生。一般的，服從于正態分布的隨機變量通常只取之間的值，簡稱為原則。3、求正態分布在給定區間上的概率方法（1）數形結合，利用正態曲線的對稱性及曲線與軸之間面積為1。正態曲線關于直線對稱，與對稱的區間上的概率相等。例如；若，則。(2)利用正態分布在三個特殊區間內取值的概率：；。【典型例題】類型一、正態分布的概率密度函數例1. 下列函數是正態密度函數的是（ ）A，（）都是實數B C D 【思路點撥】本題可對照正態密度函數的標準形式判斷【解析】 正態密度函數為：， 其中指數部分的應與系數的分母處的保持一致，系數為正數且指數為負數 選項A有兩處錯誤，分別是錯為，指數錯為正數選項C，從系數可得=2，而從

7、指數處可得，顯然不符選項D中指數為正，錯誤所以正確答案為B 【總結升華】注意函數的形式特點是解題的關鍵舉一反三：【變式1】設一正態總體，它的概率密度曲線是函數的圖象，則這個正態總體的均值與方差分別是（ ）A10與8 B10與4 C8與10 D2與10【答案】在該正態分布中，=10，=2，則E(X)=10，D(X)=4，故選B。【變式2】給出下列三個正態總體的函數表達式，請找出其均值和標準差 （）（）（）【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，0.5 【變式3】正態總體為1概率密度函數是 （ ）A奇函數 B偶函數 C非奇非偶函數 D既是奇函數又是偶函數【答案】B。因為所以選B。【變

8、式4】一臺機床生產一種尺寸為10 mm的零件，現在從中抽測10個，它們的尺寸分別如下（單位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1如果機床生產零件的尺寸X服從正態分布，求正態分布的概率密度函數式【答案】求正態分布的概率密度函數式，只要求出參數和即可，而即樣本均值，即樣本標準差依題意得， 即，所以X的概率密度函數為類型二、正態曲線 例2. 如圖所示，是一個正態曲線，試根據該圖像寫出其正態分布的概率密度函數的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差 【思路點撥】 由正態曲線的圖像可知，該曲線的對稱軸為x=20，最大值為，因此，=20，由可求得的值 【

9、解析】 從給出的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x=20對稱，最大值是，所以=20 由，解得 于是概率密度函數的解析式是，x（，+）總體隨機變量的期望是=20，方差是【總結升華】 利用圖像求正態密度函數的解析式，應抓住圖像的實質性兩點：一是對稱軸x=，一是最值這兩點確定以后，相應參數縱、便確定了，代入P（x）中便可求出相應的解析式舉一反三：【變式1】 關于正態密度曲線性質的敘述：曲線關于直線x=對稱，整條曲線在x軸上方；曲線對應的正態總體概率密度函數是偶函數；曲線在x=時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；曲線的對稱位置由確定，曲線的形狀由確定，越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越

10、“高瘦” 其中敘述正確的有（ ） A B C D【答案】 B 根據曲線關于直線x=對稱，只有當=0時函數才是偶函數，故錯利用排除法選B【變式2】如圖，兩個正態分布曲線圖：1為，2為，則 ， （填大于，小于）【答案】，。解析：由正態密度曲線圖象的特征知。【變式3】如圖是三個正態分布XN（0，0.25），YN（0，1），ZN（0，4）的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應曲線分別是圖中的_、_、_。【答案】。【變式4】已知正態總體落在區間的概率是05，那么相應的正態曲線在 時達到最高點。【答案】0.2。由于正態曲線關于直線對稱，由題意知。類型三、正態分布的計算例3已知隨機變量服從正態分布N(2，

11、2)，P(4)0.84，則P(0)()A0.16B0.32C0.68 D0.84【思路點撥】可畫出正態曲線，利用正態曲線的對稱性解決。【解析】P(4)0.84，2，P(0)P(4)10.840.16，故選A.【總結升華】本題利用了正態密度曲線的性質求概率，其中應注意對稱性的運用。舉一反三：【變式1】（1），和的值各是多少？（2），和的值各是多少？【答案】（1）比照（），時，=0，=1。（2）比照（），時，=1，所以 =1，=3。【變式2】在某次測量中，測量結果服從正態分布，若在（0，1）內取值的概率為0.4，則在（0，2）內取值的概率為_。【答案】0.8 服從正態分布，在（0，1）與（1，2）

12、內取值的概率相同，均為0.4。在（0，2）內取值的概率為0.4+0.4=0.8。【變式3】設隨機變量XN（0，1），（1）P(aX0)=P(0Xa)(a>0)；（2）P(X0)=0.5；（3）已知P(|X|1)=0.6826，則P(X1)=0.1587；（4）已知P(|X|2)=0.9544，則P(X2)=0.9772；（5）已知P(|X|3)=0.9974，則P(X3)=0.9987。其中正確的有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個【答案】D；均正確，充分利用正態曲線的對稱性及其意義。 例4. 設N（1，22），試求： （1）P（13）； （2）P（35）； （3）P（5）【思路點撥】

13、 要求隨機變量在某一范圍內的概率，只需借助于正態密度曲線的圖像性質以及課本中所給的數據進行轉化求值【解析】 N（1，22），=1，=2，（1）P（13）=P（121+2）=P（）=0.683（2）P（35）=P（31），P（35）（3）P（5）=P（3），【總結升華】 在求隨機變量在某一范圍內的概率時，可以首先把隨機變量的取值轉化到區間、以及，然后利用在上的概率約為0.683，在上的概率約為0.954，在上的概率約為0.997舉一反三：【變式1】，求。【答案】時，=2，=5，【變式2】若N（5，1），求P（57）【答案】N（5，1），正態分布密度函數的兩個參數為=5，=1，該正態密度曲線關于x

14、=5對稱 【變式3】設。（1）求P(11)；（2）求P(02)。【答案】（1）時，。（2），正態曲線關于直線x=0對稱，。類型四、正態分布的應用例5. 某年級的一次數學測驗成績近似服從正態分布N（70，102），如果規定低于60分為不及格，那么 （1）成績不及格的人數占多少？ （2）成績在8090分內的學生占多少？ 【思路點撥】 本題考查正態密度曲線對稱性及正態變量在三個特殊區間的概率取值規律因為正態密度曲線關于直線x=對稱，故本題可利用對稱性及特殊值求解 【解析】（1）設學生的得分情況為隨機變量X， 則XN（70，102），其中=70，=10 成績在6080分之間的學生人數的概率為 P（70

15、10X70+10）=0.683， 不及格的人數占 ×（10.683）=0.1585 （2）P（7020X70+20）=0.954， 成績在8090分內的學生占 P（50X90）P（60X80）=0.1355 【總結升華】 本題利用了正態密度曲線的性質求概率，其中應注意對稱性的運用及正態變量在三個特殊區間的概率取值規律舉一反三：【變式1】工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態分布N，問在一次正常的試驗中，取1 000個零件時，不屬于區間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？【答案】XN，4，.不屬于區間(3,5)的概率為P(X3)P(X5)1P(3<X<5)1P(41<

16、;X<41)1P(3<X<3)10.997 0.0031 000×0.0033(個)，即不屬于區間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個【變式2】商場經營的某種包裝的大米質量服從正態分布N（10，0.12）（單位：kg）。現進1000袋這種大米，質量不在9.710.3 kg的大米大約有多少袋？【答案】由正態分布N（10，0.12），知=10，=0.1，質量在9.710.3 kg的概率為P(103×0.1X10+3×0.1)=0.997質量不在9.710.3 kg的概率為P=10.997=0.003。質量不在9.710.3 kg的大米大約有1000×0.003=3袋。【變式3】在某次數學考試中，考生的成績X服從一個正態分布，即XN(90，100)。（1）試求考試成績X位于區間（70，110）內的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在（8