1、幾何模型在中考題中的變式 1 一個幾何模型及其變式11 基本模型已知，點M、N在直線AB的異側，在AB找一點P，使P點到點M、N的距離和最小.對于這樣一個問題，我們只要連接M、N交直線AB于點P（圖1），則點P就是要所求作的點該問題的本質是，已知兩個定點和一條定直線，并且兩定點在定直線的異側，那么，在定直線上必存在一點，到兩定點的距離和最小.我們把該問題稱為本文要討論的“基本模型”.12 變式模型已知，點M、N在直線AB的同側，在AB找一點P，使P點到點M、N的距離和最小.對于這樣一個問題，我們只要將M、N在AB的同側轉化成在AB的異側即可.因此，可找出M、N中的某一點關于直線AB的對稱點，連

2、接對稱點與另一點交直線AB于點P（圖2），則點P就是要所求作的點.該問題的本質是，已知兩個定點和一條定直線，并且兩定點在定直線的同側，那么，在定直線上必存在一點，到兩定點的距離和最小.我們把該問題稱為本文要討論的“變式模型”. 解決“基本模型”和“變式模型”的思想方法，就是將線段PM，PN首尾相連在同一條直線上，根據“兩點間線段最短”可得到問題的答案.2 基本模型的拓展* 原載于中學數學（初中）（湖北大學，湖北省數學會），2012年第6期。例1 如圖3，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑

3、；（2）當時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；圖3（3）求點到最短路徑的距離CAEA1B1C1D1B圖4分析本題將“基本模型”拓展到空間圖形中了，因此，只要將空間圖形化為平面圖形即可（1）如圖4，木柜的可見表面展開圖是兩個矩形和螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的和（2）螞蟻沿著木柜表面經線段到，爬過的路徑的長螞蟻沿著木柜表面經線段到，爬過的路徑的長是，最短路徑的長是（3）作于，則··為所求點評 本題的的背景有趣，模型簡單但是，解決問題要建立在有一定空間想像力基礎上，并且還要有根據空間圖形畫出平面圖形的能力，輔之于必要的算法算理，方能達到目的.3變式模型的拓展與延伸31變式模

4、型的遷移例2 如圖5所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（ ） A B C3 D分析：由于點、是定點，是定直線，根據題意，它是“拓展模型”.而點關于直線的對稱點為點，故的長度即為的最小值. 解 選A點評 本題將“變式模型”的背景，遷移到特殊的四邊形正方形中，雖然問題的背景有了變化，但是問題的條件和本質沒有發生變化，所以解決該問題沒有較大的難度.而解決該問題需要在尋找哪個點的對稱點上作選擇，由于D關于AC的對稱點易得（為點B），故在此問題上要積累一些學習經驗.圖6ADEPBC圖5 例3 （05年無錫中考題） 如圖6，已知矩形ABCD的

5、邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點. 連AQ、DQ，過P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F.（1）求證：APEADQ；（2）設AP的長為x，試求PEF的面積SPEF關于x的函數關系式，并求當P在何處時，SPEF取得最大值？最大值為多少？（3）當Q在何處時，ADQ的周長最?。浚毥o出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）分析（1）可用相似三角形的判定知識解決；（2）可用二次函數的相關知識獲得問題的解.它們都不在本文的探討之列.（3）要確定ADQ周長最小，就是要確定AQDQ AD的和最小.由于AD=3，則要AQDQ最小即可.因此，可用“

6、變式模型”可解決.則作A關于直線BC對稱點A，連DA交BC于Q，則這個點Q就是使ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.點評本題將“變式模型”的背景，遷移到特殊的四邊形矩形中，問題的結構有了些變化，那就是要知道ADQ的周長最小，取決于AQDQ的最小值.但是問題的條件和本質也沒有發生變化，所以解決該問題對于絕大部分學生也沒有多大的難度.需要指出的是，解決該問題有一個將三角形的最小周長轉化為確定兩線段的和最小值的“模式識別”的問題，這一點也要內化為學習經驗.例4 如圖，已知兩點D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標分析顯然，該問題

7、是本文中的“變式模型” 遷移到直角坐標中我們可用對稱、一次函數等相關知識獲得問題的解.32 變式模型的拓展例5 已知：如圖8，拋物線的對稱軸為與軸交于兩點，與軸交于點其中、（1）求這條拋物線的函數表達式；（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小請求出點P的坐標；（3）若點是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）過點D作交軸于點連接、設的長為，的面積為求與之間的函數關系式試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由圖圖OACxyBEPD 分析顯然，本題的第2問是本文所要討論的問題對于（2），連結、.因為的長度一定，所以周長最小，就是使最小.點關于對稱軸的對稱點是點，與對

8、稱軸的交點即為所求的點.設直線的表達式為解得 此直線的表達式為把代入得 點的坐標為.點評命題者將“變式模型”的視角拓展至二次函數，將問題的背景作了調整，給人以新的感覺.本題既有例2在對稱點選擇的技巧，又有例3在“變式模型”上的識別，可算是一道“好題”.圖9例6 （09漳州中考題）如圖9，是內一點，Q、R分別是上的動點，求周長的最小值分析圖10本題從形式上看，既不是“基本模型”，也不是“變式模型”.但是，我們可以運用解決“基本模型”和“變式模型”的思想方法，把線段PR、RQ、QP首尾相連在同一條直線上，可得到問題的答案.具體方法 作點P關于OB和OA的對稱點S、T，連接OS、OT、ST，ST分別

9、交OB、OA于點R、Q（如圖10所示），則PQR周長的最小值就是線段ST的長，由軸對稱的性質結合題意可知，SOT為等腰直角三角形，且OT=10，則ST的長可求.點評解決本題目的方法是運用“變式模型”，通過軸對稱變換，將三條線段首尾相連在一條直線上，再根據“兩點間線段最短”這一性質，達到解題的目的.33 變式模型的應用例7 （09恩施州中考題）恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區P，向A、B兩景區運送游

10、客.小民設計了兩種方案，圖11是方案一的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為P)，P到A、B的距離之和S1=PA+PB； 圖12是方案二的示意圖(點A關于直線X的對稱點是A'，連接BA交直線X于點P)，P到A、B的距離之和S2=PA+PB . (1) 求S1 、S2 ，并比較它們的大小.(2) 請你說明S2=PA+PB的值為最小.(3) 擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖13所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q,使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.圖12圖13圖11 分析本題給出了兩種設計方案，只要

11、按照方案去求解即可.第（3）問中，由于AB的長度為50 km，故只要求出BQQPPA的最小值即可，解決它，可從例3、例5、例6中得到啟發.因此有：圖14解 在圖11中，過B作BCAP的延長線，垂足為C，如圖14 則PC=40，又AP=10，AC=30.在RtABC 中，AB=50 AC=30 BC=40 BP= S1= . 在圖12中，過B作BCAA垂足為C，如圖15 則AC=50，又BC=40BA'=.圖16圖15由軸對稱知：PA=PA' S2=BA'= . . (2) 在圖12中，在公路上任找一點M，連接MA，MB、MA'，如圖16.由軸對稱知MA=MA&#

12、39;MB+MA=MB+MA'A'B S2=BA'為最小. （3） 過A作關于X軸的對稱點A', 過B作關于Y軸的對稱點B'，連接A'B'，交X軸于點P，交Y軸于點Q,則P，Q即為所求（如圖17）. 圖17過A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G, A'B'=.所求四邊形的周長為. 點評 對實際問題的求解，關鍵是將實際問題數學化.數學化的一般過程為：.34 變式模型與其它模型的關聯例8 （09 山西省中考題）如圖18， 在銳角ABC中，AB， BAC45°，BAC的角平線交BC于點D，M、N分別是AD和BC上的動點，則BMMN的最小值是_.圖18圖19分析本題形似本文中的“變式模型”，但實為另類問題。因為點M、N是動點，點B是定點，它不符合“變式模型”的基本條件。本題提供的條件有：定點B；定角BAC45°（可以理解成定線段AC）；則可聯想到“點到線的最小距離”的幾何模型.不過，我們可以從本文中的幾何模型中得到啟發：求BMMN的最小值，從幾何學的角度，就是要將線段BM、MN轉化到一條線段上，而角平分線的性質定理為之提