1、高層建筑結構與抗震輔導材料四框架結構內力與位移計算學習目標1、熟悉框架結構在豎向荷載和水平荷載作用下的彎矩圖形、剪力圖形和軸力圖形；2、熟悉框架結構內力與位移計算的簡化假定及計算簡圖的確定；3、掌握豎向荷載作用下框架內力的計算方法分層法；4、掌握水平荷載作用下框架內力的計算方法反彎點法和D值法，掌握框架結構的側移計算方法。學習重點1、豎向荷載作用下框架結構的內力計算；2、水平荷載作用下框架結構的內力及側移計算。框架在結構力學中稱為剛架，剛架的內力和位移計算方法很多，可分為精確算法和近似算法。精確法是采用較少的計算假定，較為接近實際情況地考慮建筑結構的內力、位移和外荷載的關系，一般需建立大型的代

2、數方程組，并用電子計算機求解；近似算法對建筑結構引入較多的假定，進行簡化計算。由于近似計算簡單、易于掌握，又能反映剛架受力和變形的基本特點，因此近似的計算方法仍為工程師們所常用。本章內容主要介紹框架結構在荷載作用下內力與位移的近似計算方法。其中分層法用于框架結構在豎向荷載作用下的內力計算，反彎點法和D值法用于框架結構在水平荷載作用下的內力計算。既然是近似計算，就需要熟悉框架結構的計算簡圖和各種計算方法的簡化假定。一、框架結構計算簡圖的確定一般情況下，框架結構是一個空間受力體系，可以按照第四章所述的平面結構假定的簡化原則，忽略結構縱向和橫向之間的空間聯系，忽略各構件的抗扭作用，將框架結構簡化為沿

3、橫方向和縱方向的平面框架，承受豎向荷載和水平荷載，進行內力和位移計算。結構設計時一般取中間有代表性的一榀橫向框架進行分析，若作用于縱向框架上的荷載各不相同，則必要時應分別進行計算。框架結構的節點一般總是三向受力的，但當按平面框架進行結構分析時，則節點也相應地簡化。在常見的現澆鋼筋混凝土結構中，梁和柱內的縱向受力鋼筋都將穿過節點或錨入節點區，這時節點應簡化為剛接節點；對于現澆鋼筋混凝土柱與基礎的連接形式，一般也設計成固定支座，即為剛性連接。作用于框架結構上的荷載有豎向荷載和水平荷載兩種。豎向荷載包括結構自重及樓（屋）面活荷載，一般為分布荷載，有時也有集中荷載。水平荷載包括風荷載和水平地震作用，一

4、般均簡化成節點水平集中力。二、豎向荷載作用下框架內力的計算框架結構在豎向荷載作用下的內力計算采用分層法。1基本假定（1）在豎向荷載作用下，不考慮框架的側移；（2）每層梁上的荷載對其他各層梁的影響可忽略不計。2計算步驟（1）計算單元的確定 根據計算假定，計算時先將各層梁及其上下柱所組成的框架作為一個獨立的計算單元，而按無側移的框架進行計算（上下柱的遠端均假設為固定端）。（2）各桿件彎矩的計算 一般用結構力學中的彎矩分配法，分別計算每個單層框架中梁與柱的彎矩。在用彎矩分配法計算各桿件的彎矩之前，應先計算各桿件在節點處的彎矩分配系數及傳遞系數。對底層基礎處，可按原結構確定其支座形式，若為固定支座，傳

5、遞系數為1/2；若為鉸支座，傳遞系數為0。至于其余柱端，在分層計算時，假定上下柱的遠端為固定端，而實際上，上下柱端在荷載作用下會產生一定轉角，是彈性約束端。對這一問題，可在計算分配系數時，用調整柱的線剛度來考慮支座轉動影響。因此，對這類柱子的線剛度應乘一個折減系數0.9，相應的傳遞系數為1/3。（3）彎矩匯總 分層計算所得的梁的彎矩即為最后的彎矩，由于每一層柱屬于上、下兩層，因此每一根柱的彎矩需由上、下兩層計算所得的彎矩值疊加得到。（4）不平衡彎矩的再分配 疊加后的彎矩圖為原框架的近似彎矩圖，由于柱為上、下兩層之和，因此疊加后的彎矩圖往往在框架節點處不平衡，一般相差很小，若欲進一步修正，則可將

6、這些不平衡力矩再進行一次彎矩分配。分層法的具體計算過程和計算要點，可參見課本中的例5-1。三、水平荷載作用下框架內力的計算作用在框架上的水平荷載主要有風荷載和地震作用，它們均可簡化成作用在框架節點上的水平集中力。由于水平荷載均可簡化為水平集中力的形式，所以高層多跨框架在水平荷載作用下的彎矩圖通常如圖X-1所示。各桿的彎矩圖均為直線，且均有一彎矩為零的點，稱為反彎點。該點彎矩為零，但有剪力，如圖X-1中所示的。如果能求出各柱的剪力及其反彎點位置，則各柱端彎矩就可算出，進而根據節點力矩平衡可算出梁端彎矩。因此必須確定各柱間剪力的分配比和確定各柱的反彎點的位置。圖X-1 水平荷載作用下框架的彎矩圖框

7、架結構在水平荷載作用下的內力計算方法主要反彎點法和D值法，兩種計算方法的計算步驟相同，只是在確定各柱間剪力的分配比和確定各柱的反彎點的位置時有所區別。下面通過反彎點法來具體介紹框架結構在水平力作用下的計算過程，至于D值法，僅介紹其與反彎點法的不同之處。 1反彎點法反彎點法的適用條件為梁的線剛度與柱的線剛度之比大于3，其計算過程如下：（1）反彎點位置的確定 若梁的線剛度無限大，則柱兩端產生相對水平位移時，柱兩端無任何轉角，且彎矩相等，反彎點在柱中點處。當梁柱線剛度之比大于3時，柱端轉角很小，反彎點接近柱中。因此反彎點法假定：對于上部各層柱，反彎點在柱中點；對于底層柱，由于柱腳為固定端，轉角為零，

8、但柱上端轉角不為零，且上端彎矩較小，反彎點上移，故取反彎點在距固定端2/3高度處。（2）柱的側移剛度 側移剛度d表示框架柱兩端有相對單位側移時柱中產生的剪力，它與柱兩端的約束情況有關。由于反彎點法中梁的剛度非常大，可近似認為節點轉角為零，則根據兩端無轉角但有單位水平位移時桿件的桿端剪力方程，最后得 （X-1）式中，V為柱中剪力，為柱層間位移，h為層高。（3）同一樓層各柱剪力的分配 根據力的平衡條件、變形協調條件和柱側移剛度的定義，可以得出第j層第i根柱的剪力為： （X-2）式中，為第j層各柱的剪力分配系數，m為第j層柱子總數，為第j層以上所有水平荷載的總和，即第j層由外荷載引起的總剪力。這里，

9、需要特別強調的是，與第j層所承擔的水平荷載是有所區別的。由式（X-2）可以看出，在同一樓層內，各柱按側移剛度的比例分配樓層剪力。（4）柱端彎矩的計算 由于前面已經求出了每一層中各柱的反彎點高度和柱中剪力，那么柱端彎矩可按下式計算： （X-3）式中，為第j層第i根柱的反彎點高度，為第j層的柱高。（5）梁端彎矩的計算 梁端彎矩可由節點平衡求出，如圖X-2所示。圖X-2 節點彎矩對于邊柱 （X-4）對于中柱 （X-5a） （X-5b）式中，、分別為左邊梁和右邊梁的線剛度。（6）其他內力的計算 進一步，還可根據力的平衡條件，由梁兩端的彎矩求出梁的剪力；由梁的剪力，根據節點的平衡條件，可求出柱的軸力。綜

10、上所述，反彎點法的要點，一是確定反彎點高度，一是確定剪力分配系數。在確定它們時都假設節點轉角為零，即認為梁的線剛度為無窮大。這些假設，對于層數不多的框架，誤差不會很大。但對于高層框架，由于柱截面加大，梁柱相對線剛度比值相應減小，反彎點法的誤差較大。2修正反彎點法D值法反彎點法在考慮柱側移剛度d時，假設節點轉角為0，亦即橫梁的線剛度假設為無窮大。對于高層建筑，由于各種條件的限制，柱子截面往往較大，經常會有梁柱相對線剛度比較接近，甚至有時柱的線剛度反而比梁大。這樣，上述假設將產生較大誤差。另外，反彎點法計算反彎點高度y時，假設柱上下節點轉角相等，這樣誤差也較大，特別在最上和最下數層。此外，當上、下

11、層的層高變化大，或者上、下層梁的線剛度變化較大時，用反彎法計算框架在水平荷載作用下的內力時，其計算結果誤差也較大。考慮到以上的影響因素和多層框架受力變形特點，可以對反彎點法進行修正，從而形成一種新的計算方法D值法。D值法相對于反彎點法，主要從以下兩個方面做了修正：修正柱的側移剛度和調整反彎點高度。修正后的柱側移剛度用D表示，故該方法稱為“D值法”。D值法的計算步驟與反彎點法相同，計算簡單、實用，精度比反彎點法高，因而在高層建筑結構設計中得到廣泛應用。D值法也要解決兩個主要問題：確定側移剛度和反彎點高度。（1）修正后柱的側移剛度 考慮柱端的約束條件的影響，修正后的柱側移剛度D用下式計算： （X-

12、6）式中，為與梁、柱線剛度有關的修正系數，表X-1給出了各種情況下值的計算公式。由表X-1中的公式可以看到，梁、柱線剛度的比值愈大，值也愈大。當梁、柱線剛度比值為時，=1，這時D值等于反彎點法中采用的側移剛度d。（2）同一樓層各柱剪力的計算 求出了D值以后，與反彎點法類似，假定同一樓層各柱的側移相等，則可求出各柱的剪力： （X-7）式中，為第j層第i柱所受剪力，為第j層第i柱的側移剛度。表X-1 值和K值計算表邊柱中柱一般層底層（3）各層柱的反彎點位置 各層柱的反彎點位置與柱兩端的約束條件或框架在節點水平荷載作用下，該柱上、下端的轉角大小有關。影響柱兩端轉角大小的因素（影響柱反彎點位置的因素）

13、主要有三個：該層所在的樓層位置，及梁、柱線剛度比；上、下橫梁相對線剛度比值；上、下層層高的變化。在D值法中，通過力學分析求出標準情況下的標準反彎點剛度比（即反彎點到柱下端距離與柱全高的比值），再根據上、下梁線剛度比值及上、下層層高變化，對進行調整。因此，可以把反彎點位置用下式表達： （X-8）式中，y為反彎點距柱下端的高度與柱全高的比值（簡稱反彎點高度比），y1為考慮上、下橫梁線剛度不相等時引入的修正值，y2、y3為考慮上層、下層層高變化時引入的修正值，h為該柱的高度（層高）。為了方便使用，系數、和已制成表格，可通過查表的方式確定其數值。（4）彎矩圖的繪制 當各層框架柱的側移剛度D和各層柱反彎

14、點位置yh確定后，與反彎點法一樣，就可求出框架的彎矩圖。四、水平荷載作用下框架側移的計算框架側移主要是由水平荷載引起的，本節介紹框架側移的近似計算方法。由于設計時需要分別對層間位移及頂點側移加以限制，因此需要計算層間位移及頂點側移。1框架側移的變形特點一根懸臂柱在均布荷載作用下，可以分別計算彎矩作用和剪力作用引起的變形曲線，二者形狀不同，如圖X-3虛線所示。由剪切引起的變形形狀愈到底層，相鄰兩點間的相對變形愈大，當q向右時，曲線凹向左。由彎矩引起的變形愈到頂層，變形愈大，當q向右時，曲線凹向右。圖X-3 剪力和彎矩引起的側移對于框架結構，如果只考慮梁柱桿件彎曲產生的側移，則側移曲線如圖X-4（

15、a）虛線所示，它與懸臂柱剪切變形的曲線形狀相似，可稱為剪切型變形曲線。如果只考慮柱軸向變形形成的側移曲線，如圖X-4（b）虛線所示，它與懸臂柱彎曲變形形狀相似，可稱為彎曲型變形曲線。為了便于理解，可以把框架看成一根空腹的懸臂柱，它的截面高度為框架跨度。如果通過反彎點將某層切開，空腹懸臂柱的彎矩M和剪力V如圖X-5所示。M是由柱軸向力、這一力偶組成，V是由柱截面剪力、組成。梁柱彎曲變形是由剪力、引起，相當于懸臂柱的剪切變形，所以變形曲線呈剪切型。柱軸向變形由軸力產生，相當于彎矩M產生的變形，所以變形曲線呈彎曲形。圖X-4 水平荷載作用下框架變形圖圖X-5 空腹懸臂柱2框架側移計算框架在水平荷載作

16、用下的總側移，可近似地看做由梁柱彎曲變形和柱的軸向變形所引起側移的疊加。 （X-9）式中，為由框架梁柱彎曲變形引起的側移，由框架柱軸向變形引起的側移。（1）由梁柱彎曲變形引起的側移根據框架在水平荷載作用下的變形圖，見圖X-4（a），有 （X-10）其中，第i層間相對側移 （X-11）式中，為第i層的樓層剪力，等于第i層以上所有水平力之和；為第i層各柱側移剛度之和。（2）由柱軸向變形引起的側移當房屋層數較多時，可近似地將框架邊柱軸向變形及水平位移看做連續變化，見圖X-4（b）。根據結構力學的知識，框架在軸力作用下頂點最大水平位移為 （X-12）若為均布荷載，則，代入式（X-12）得 （X-13）

17、其中為框架底部總剪力， （X-14）同理，可求得頂點集中力F作用下的，用式（X-13）表達，即 （X-15）則其中， （X-16）同樣亦可用式（X-13）表示在倒三角形荷載作用下的，其中， （X-17）式（X-14）、式（X-16）、式（X-17）已制成圖表，可查圖X-6。圖X-6 計算圖表從計算的公式（X-13）看出當房屋越高（H越大），寬度越窄（B越小）時，則由柱軸向力引起的變形就越大。根據計算，對于房屋高度H大于50m或房屋的高寬比HB大于4的結構，其中約為由框架梁柱彎曲變形而引起的側移的511，因此當房屋高度或高寬比HB低于上述數值時，可忽略不計。本章內容回顧1框架結構是一個空間受力體系，在進行內力和位移計算時，可忽略結構縱向和橫向之間的空間聯系，忽略各構件的抗扭作用，將框架結構簡化為縱、橫向的平面框架。2框架結構在豎向荷載作用下的內力計算，可采用分層法。分層法計算時，將各層梁