1、精選優質文檔-傾情為你奉上高中必修一一些重點函數值域求法十一種1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數的值域。解：顯然函數的值域是： 例2. 求函數的值域。解：故函數的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。 例3. 求函數的值域。解：將函數配方得：由二次函數的性質可知：當x=1時，當時，故函數的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數的值域。解：原函數化為關于x的一元二次方程（1）當時，解得：（2）當y=1時，而故函數的值域為 例5. 求函數的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數的定義域由，得由，僅保證關于x的方

2、程：在實數集R有實根，而不能確保其實根在區間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數的值域為。可以采取如下方法進一步確定原函數的值域。代入方程（1）解得：即當時，原函數的值域為：注：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。 4. 反函數法直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。 例6. 求函數值域。解：由原函數式可得：則其反函數為：，其定義域為：故所求函數的值域為： 5. 函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值

3、域。 例7. 求函數的值域。解：由原函數式可得：解得：故所求函數的值域為 例8. 求函數的值域。解：由原函數式可得：，可化為：即即解得：故函數的值域為 6. 函數單調性法 例9. 求函數的值域。解：令則在2，10上都是增函數所以在2，10上是增函數當x=2時，當x=10時，故所求函數的值域為： 例10. 求函數的值域。解：原函數可化為：令，顯然在上為無上界的增函數所以，在上也為無上界的增函數所以當x=1時，有最小值，原函數有最大值顯然，故原函數的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求

4、函數的值域中同樣發揮作用。 例11. 求函數的值域。解：令，則又，由二次函數的性質可知當時，當時，故函數的值域為 例12. 求函數的值域。解：因即故可令故所求函數的值域為 例13. 求函數的值域。解：原函數可變形為：可令，則有當時，當時，而此時有意義。故所求函數的值域為 例14. 求函數，的值域。解：令，則由且可得：當時，當時，故所求函數的值域為。 例15. 求函數的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數的值域為： 8. 數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數的值

5、域。解：原函數可化簡得：上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數的值域為： 例17. 求函數的值域。解：原函數可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數的值域為 例18. 求函數的值域。解：將函數變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構成，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，

6、可知函數的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數式變形，使A、B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側。如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2），在x軸的同側；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2），在x軸的同側。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數的值域。解：原函數變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數的值域為： 例20. 求函數的值域。解：當且僅當，即當時，等號成立。由可得：故原函數的值域為： 10. 一一

7、映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。 例21. 求函數的值域。解：定義域為由得故或解得故函數的值域為 11. 多種方法綜合運用 例22. 求函數的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）當t=0時，y=0。綜上所述，函數的值域為：注：先換元，后用不等式法 例23. 求函數的值域。解：令，則當時，當時，此時都存在，故函數的值域為注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運用的有界性。總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不

8、等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。復合函數一、復合函數的概念如果y是u的函數，而u是x的函數，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y關于x的函數y = f g ( x ) 叫做函數f 與 g 的復合函數，u 叫做中間變量。注意：復合函數并不是一類新的函數，它只是反映某些函數在結構方面的某種特點，因此，根據復合函數結構，將它折成幾個簡單的函數時，應從外到里一層一層地拆，注意不要漏層。另外，在研究有關復合函數的問題時，要注意復合函數的存在條件，即當且僅當g ( x )的值域與f ( u )的定義域的交集非空時，它們的復合函數才有意義，否則這樣的復合函數不存在。例：f (

9、x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 與g ( x ) = x + 1 兩個函數復合而成。二、求復合函數的定義域：（1）若f(x)的定義域為a x b,則f g ( x ) 中的a g ( x ) b ，從中解得x的范圍，即為f g ( x )的定義域。 例1、y = f ( x ) 的定義域為 0 ， 1 ，求f ( 2x + 1 )的定義域。 答案： -1/2 ，0 例2、已知f ( x )的定義域為（0，1），求f ( x 2)的定義域。 答案：

10、-1 ，1（2）若f g ( x ) 的定義域為（m , n）則由m < x < n 確定出g ( x )的范圍即為f ( x )的定義域。例3、已知函數f ( 2x + 1 )的定義域為（0，1），求f ( x ) 的定義域。 答案： 1 ，3 （3）由f g ( x ) 的定義域，求得f ( x )的定義域后，再求f h ( x ) 的定義域。例4、已知f ( x + 1 )的定義域為-2 ，3,求f ( 2x 2 2 ) 的定義域。 答案：-3/2 ，-33/2 ，3三、求復合函數的解析式。1、待定系數法：在已知函數解析式的構造時，可用待定系數法。例1 設是一次函數，且，求解

11、：設 ，則 2、 配湊法：已知復合函數的表達式，求的解析式，的表達式容易配成的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數的定義域不是原復合函數的定義域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 3、換元法：已知復合函數的表達式時，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3 已知，求解：令，則， 復合函數單調性相關定理1、引理1 已知函數y=fg(x).若u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，那么，原復合函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數證 明 在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，

12、使ax1x2b.因為u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.2、引理2 已知函數y=fg(x).若u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，那么，復合函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.證明 在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使ax1x2b.因為函數u=g(x)在區間(a

13、,b)上是減函數，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數.3、總結同增異減函數奇偶性的判定方法1定義域判定法例1判定的奇偶性（非奇非偶）2定義判定法f(x)與f（-x）關系例2判斷的奇偶性（偶）3等價形式判定法例3判定的奇偶性（奇）評注：常用等價變形形式有：若或，則為奇函數；若或，則為偶函數（其中）4性質判定法例4若，是奇函數，是偶函數，試判定的奇偶性評注：在兩個函數（常函數除外）的公共定

14、義域關于原點對稱的前提下：兩個偶函數的和、差、積都是偶函數；兩個奇函數的和、差是奇函數，積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數5、練習（1）.()函數f(x)在R上為增函數，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區間是_ (,1（2）()若函數f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+上單調遞增，則b的取值范圍是_(,0）_.(1)令t=|x+1|,則t在(,1上遞減，又y=f(x)在R上單調遞增，y=f(|x+1|)在(,1上遞減. (2)f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax

15、(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+單調遞增，故a>0.又知0x1x,得x1+x2>0,b=a(x1+x2)0.2.奇偶性記F(x)=fg(x)復合函數，則F(-x)=fg(-x)， 如果g(x)是奇函數，即g(-x)=-g(x) => F(-x)=f-g(x)， 則當f(x)是奇函數時，F(-x)=-fg(x)=-F(x)，F(x)是奇函數； 當f(x)是偶函數時，F(-x)=fg(x)=F(x)，F(x)是偶函數。 如果g(x)是偶函數，即g(-x)=g(x) => F(-x)=fg(x)=F(x

16、)，F(x)是偶函數。 所以由兩個函數復合而成的復合函數，當里層的函數是偶函數時，復合函數是偶函數，不論外層是怎樣的函數；當里層的函數是奇函數、外層的函數也是奇函數時，復合函數是奇函數，當里層的函數是奇函數、外層的函數是偶函數時，復合函數是偶函數。在其它的場合，就不能如此單純地判斷復合函數的奇偶性了。二 加減函數 1.增減性 對于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，減+減=減， 減+增則無定則 2.奇偶性 對于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶無定則三 相乘函數 1.增減性 對于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆無定則.

17、知道你會不信 ,很好 ,我來舉個例子:f(x)=g(x)=-x ,都是減函數,而F(x)=x2,有增有減. 2.奇偶性 對于F(x)=g(x)*f(x), 同樣滿足乘法定則(其實這名字是我取的,不要說出去,不然沒人聽的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用說了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)1/f(x), 自己推.指數函數：定義：函數叫指數函數。定義域為R，底數是常數，指數是自變量。要求函數中的a必須。因為若時，當時，函數值不存在。，當，函數值不存在。時，對一切x雖有意義，函數值恒為1，但的反函數不存在，因為要求函數中的。1、對三個指數函數的

18、圖象的認識。圖象特征與函數性質：圖象特征函數性質（1）圖象都位于x軸上方；（1）x取任何實數值時，都有；（2）圖象都經過點（0，1）；（2）無論a取任何正數，時，；（3）在第一象限內的縱坐標都大于1，在第二象限內的縱坐標都小于1，的圖象正好相反； （3）當時， 當時，（4）的圖象自左到右逐漸上升，的圖象逐漸下降。（4）當時，是增函數，當時，是減函數。對圖象的進一步認識，（通過三個函數相互關系的比較）：所有指數函數的圖象交叉相交于點（0，1），如和相交于，當時，的圖象在的圖象的上方，當，剛好相反，故有及。與的圖象關于y軸對稱。通過，三個函數圖象，可以畫出任意一個函數（）的示意圖，如的圖象，一定位

19、于和兩個圖象的中間，且過點，從而也由關于y軸的對稱性，可得的示意圖，即通過有限個函數的圖象進一步認識無限個函數的圖象。2、對數：定義：如果，那么數b就叫做以a為底的對數，記作（a是底數，N 是真數，是對數式。）由于故中N必須大于0。當N為零的負數時對數不存在。（1）對數式與指數式的互化。由于對數是新學的，常常把不熟悉的對數式轉化為指數式解決問題，如：求 解：設評述：由對數式化為指數式可以解決問題，反之由指數式化為對數式也能解決問題，因此必須因題而異。如求中的，化為對數式即成。（2）對數恒等式：由將（2）代入（1）得運用對數恒等式時要注意此式的特點，不能亂用，特別是注意轉化時必須冪的底數和對數的

20、底數相同。計算： 解：原式。（3）對數的性質：負數和零沒有對數；1的對數是零；底數的對數等于1。（4）對數的運算法則：3、對數函數：定義：指數函數的反函數叫做對數函數。1、對三個對數函數的圖象的認識。圖象特征與函數性質：圖象特征函數性質（1）圖象都位于 y軸右側；（1）定義域：R+，值或：R；（2）圖象都過點（1，0）；（2）時，。即；（3），當時，圖象在x軸上方，當時，圖象在x軸下方，與上述情況剛好相反；（3）當時，若，則，若，則；當時，若，則，若時，則；（4）從左向右圖象是上升，而從左向右圖象是下降。（4）時，是增函數；時，是減函數。對圖象的進一步的認識（通過三個函數圖象的相互關系的比較）

21、：（1）所有對數函數的圖象都過點（1,0），但是與在點（1,0）曲線是交叉的，即當時，的圖象在的圖象上方；而時，的圖象在的圖象的下方，故有：；。（2）的圖象與的圖象關于x 軸對稱。（3）通過，三個函數圖象，可以作出任意一個對數函數的示意圖，如作的圖象，它一定位于和兩個圖象的中間，且過點（1,0），時，在的上方，而位于的下方，時，剛好相反，則對稱性，可知的示意圖。因而通過課本上的三個函數的圖象進一步認識無限個函數的圖象。4、對數換底公式：由換底公式可得：由換底公式推出一些常用的結論：（1） （2）（3）（4）5、指數方程與對數方程*定義：在指數里含有未知數的方程稱指數方程。 在對數符號后面含有未

22、知數的方程稱對數方程。由于指數運算及對數運算不是一般的代數運算，故指數方程對數方程不是代數方程而屬于超越方程。指數方程的題型與解法：名稱題型解法基本型同底數型不同底數型需代換型取以a為底的對數取以a為底的對數取同底的對數化為換元令轉化為的代數方程對數方程的題型與解法：名稱題型解法基本題對數式轉化為指數式同底數型轉化為（必須驗根）需代換型換元令轉化為代數方程冪函數的圖像與性質一、冪函數的定義一般地，形如（R）的函數稱為冪孫函數，其中是自變量，是常數.如等都是冪函數，冪函數與指數函數，對數函數一樣，都是基本初等函數.分數指數冪正分數指數冪的意義是：（，、，且）負分數指數冪的意義是：（，、，且）1、

23、 冪函數的圖像與性質冪函數隨著的不同，定義域、值域都會發生變化，可以采取按性質和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當的圖像和性質，列表如下從中可以歸納出以下結論： 它們都過點，除原點外，任何冪函數圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數圖像都不過第四象限 時，冪函數圖像過原點且在上是增函數 時，冪函數圖像不過原點且在上是減函數 任何兩個冪函數最多有三個公共點奇函數偶函數非奇非偶函數OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxOy例1、 右圖為冪函數在第一象限的圖像，則的大小關系是（ ） 解：取，由圖像可知：，應選三兩類基本函數的歸納比較： 定義對數函數的定義：一般地，我們把函數（0且1）叫做對數

24、函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+）冪函數的定義：一般地，形如（R）的函數稱為冪孫函數，其中是自變量，是常數.性質對數函數的性質：定義域：（0，+）；值域：R；過點（1，0），即當=1，=0；在（0，+）上是增函數；在（0，+）是上減函數冪函數的性質：所有的冪函數在（0，+）都有定義，圖象都過點（1，1）0時，冪函數的圖象都通過原點，在0，+上，、是增函數，在（0，+）上， 是減函數。例1已知函數，當 為何值時，：（1）是冪函數；（2）是冪函數，且是上的增函數；（3）是正比例函數；（4）是反比例函數；（5）是二次函數；簡解：（1）或（2）（3）（4）（5）變式訓練：已知函數，當 為何值

25、時，在第一象限內它的圖像是上升曲線。簡解：解得：小結與拓展：要牢記冪函數的定義，列出等式或不等式求解。例2比較大小：（1） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函數， （2）在上是增函數，（3）在上是減函數，；是增函數，；綜上， （4），例1 求下列函數的單調區間： y=log4(x24x+3)解法一：設 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原復合函數的定義域為x1或x3.當x(，1)時，u=x24x+3為減函數，而y=log4u為增函數，所以(，1)是復合函數的單調減區間；當x(3，±)時，u=x24x+3為增函數y=log4u為增函數，所以，(3，

26、+)是復合函數的單調增區間.解法二：u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數定義域)x2 (u減)解得x1.所以x(，1)時，函數u單調遞減.由于y=log4u在定義域內是增函數，所以由引理知：u=(x2)21的單調性與復合函數的單調性一致，所以(，1)是復合函數的單調減區間.下面我們求一下復合函數的單調增區間.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數定義域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是復合函數的單調增區間.例2 求下列復合函數的單調區間： y=log (2xx2)解： 設 y=logu,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原復合函數的定義域為0x2.由于y=logu在定義域(0，+)內是減函數，所以，原復合函數的單調性與二次函數u=2xx2的單調性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1時單調增.由 0x2 （復合函數定義域） x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原復合函數的單調減區間.又u=(x1)2+1在x1時單調減，由 x2， (復合函數定義域) x1， (u減)解得1x2,所以1，2)是原復合函