1、第八章 平面解析幾何【知識特點】1、本章內容主要包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線，是解析幾何最基本，也是很重要的內容，是高中數學的重點內容，也是高考重點考查的內容之一；2、本章內容集中體現了用坐標法研究曲線的思想與方法，概念、公式多，內容多，具有較強的綜合性；3、研究圓錐曲線的方法很類似，因此可利用類比的方法復習橢圓、雙曲線、拋物線的定義與幾何性質，掌握解決解析幾何問題的最基本的方法。【重點關注】1、關于直線的方程，直線的斜率、傾斜角，幾種距離公式，兩直線的位置關系，圓錐曲線的定義與性質等知識的試題，都屬于基本題目，多以選擇題、填空題形式出現，一般涉及兩個以上的知識點，這些將是今后高考考查的

2、熱點；2、關于直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系的題目出現次數較多，既有選擇題、填空題，也有解答題。既考查基礎知識的應用能力，又考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；3、直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題多以高檔題出現，要求學生分析問題的能力，計算能力較高；4、注重數學思想方法的應用解析法、數形結合思想、函數與方程的思想、轉化與化歸的思想、分類討論思想及待定系數法在各種題型中均有體現，應引起重視。【地位和作用】解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想。在本模塊中，學生將在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數方程，運用代數方法

3、研究它們的幾何性質及其相互位置關系，并了解空間直角坐標系。體會數形結合的思想，初步形成用代數方法解決幾何問題的能力。在平面解析幾何初步的教學中，教師應幫助學生經歷如下的過程：首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題；處理代數問題；分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。從新課改近兩年來的高考信息統計可以看出，命題呈現出以下特點：1、各種題型均有所體現，分值大約在19-24分之間，比重較高，以低檔題、中檔題為主；2、主要考查直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質及綜合應用，

4、符合考綱要求，這些知識屬于本章的重點內容，是高考的必考內容，有時還注重在知識交匯點處命題；3、預計本章在今后的高考中仍將以直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質及直線與圓錐曲線的位置關系為主命題，且難度有所降低；更加注重與其他知識交匯，充分體現以能力立意的命題方向。第一節直線與方程【高考目標定位】一、直線的傾斜角與斜率（一）考綱點擊1、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；2、能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。（二）熱點提示1、直線的傾斜角和斜率、兩直線的位置關系是高考熱點；2、主要以選擇、填空題的形式出現，屬于中低檔題目。二、直線的方程（一）考綱點擊1、掌握

5、確定直線位置的幾何要素；2、掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點及一般式），了解斜截式與一次函數的關系。（二）熱點提示1、直線的方程是必考內容，是基礎知識之一；2、在高考中多與其他曲線結合考查，三種題型可出現，屬于中低檔題。三、直線的交點坐標與距離公式（一）考綱點擊1、能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；2、掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。（二）熱點提示1、本節重點體現一種思想轉化與化歸的思想，這種思想是高考的熱點之一；2、本部分在高考中主要以選擇、填空為主，屬于中低檔題目。【考綱知識梳理】一、直線的傾斜角與斜率1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜

6、角關于傾斜角的概念要抓住三點：.與x軸相交;.x軸正向;.直線向上方向.直線與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為.傾斜角的范圍.（2）直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在。經過兩點的直線的斜率公式是每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。2、兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行對于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有。特別地，當直線的斜率都不存在時，的關系為平行。（2）兩條直線垂直如果兩條直線斜率存在，設為，則注：兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為

7、-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，互相垂直。二、直線的方程1、直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條件局限性點斜式為直線上一定點，k為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式k為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線兩點式是直線上兩定點不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過原點的直線一般式A，B，C為系數無限制，可表示任何位置的直線注：過兩點的直線是否一定可用兩點式方程表示？（不一定。（1）若，直線垂直于x軸，方程為；（2）若，直線垂直于y軸，方程為；（3）若，直線方程可用兩點式表示）2、

8、線段的中點坐標公式若點的坐標分別為，且線段的中點M的坐標為（x,y），則此公式為線段的中點坐標公式。三、直線的交點坐標與距離公式1.兩條直線的交點設兩條直線的方程是，兩條直線的交點坐標就是方程組的解，若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；反之，亦成立。2.幾種距離（1）兩點間的距離平面上的兩點間的距離公式特別地，原點O（0，0）與任一點P（x,y）的距離（2）點到直線的距離點到直線的距離；（3）兩條平行線間的距離兩條平行線間的距離注：（1）求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；（2）求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方

9、程化為系數相同的一般形式后，才能套用公式計算。【熱點難點精析】一、直線的傾斜角與斜率（一）直線的傾斜角相關鏈接2已知斜率k的范圍，求傾斜角的范圍時，若k為正數，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數；若k為負數，則的范圍為的子集，且k=tan為增函數。若k的范圍有正有負，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對每一部分再根據斜率的增減性求傾斜角范圍。例題解析例已知直線的斜率k=-cos (R).求直線的傾斜角的取值范圍。思路解析：cos的范圍斜率k的范圍tan的范圍傾斜角的取值范圍。解答：（二）直線的斜率及應用相關鏈接1、斜率公式：與兩點順序無關，即兩點的橫縱坐標在公式中前后次序相同；2

10、、求斜率的一般方法：（1）已知直線上兩點，根據斜率公式求斜率；（2）已知直線的傾斜角或的某種三角函數根據來求斜率；3、利用斜率證明三點共線的方法：已知若，則有A、B、C三點共線。注：斜率變化分成兩段，是分界線，遇到斜率要謹記，存在與否需討論。例題解析例設是互不相等的三個實數，如果在同一直線上，求證：思路解析：若三點共線，則由任兩點所確定的直線斜率相等或都不存在。解答：（三）兩條直線的平行與垂直例已知點M（2，2），N（5，-2），點P在x軸上，分別求滿足下列條件的P點坐標。（1）MOP=OPN（O是坐標原點）；（2）MPN是直角。思路解析：MOP=OPNOM/PN，MPN是直角MPNP，故而可

11、利用兩直線平行和垂直的條件求得。解答：注：（1）充分掌握兩直線平行的條件及垂直的條件是解決本題的關鍵，對于斜率都存在且不重合的兩條直線和，。若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意。（2）注意轉化與化歸思想的應用。（3）利用斜率的幾何意義可以證明不等式，利用兩斜率之間的關系可以判斷兩直線的平行或垂直，數形結合的思想方法可幫助我們很直觀地分析問題，抓住問題的實質。二、直線的方程（一）直線方程的求法相關鏈接1、求直線方程應先選擇適當的直線方程形式并注意各種形式的適用條件。基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數法求直線的基本量。用待定系數法求直線方程的步驟：（

12、1）設所求直線方程的某種形式；（2）由條件建立所求參數的方程（組）；（3）解這個方程（組）求參數；（4）把所求的參數值代入所設直線方程。2、求直線方程時，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當地選用直線方程的形式準確寫出直線方程。要注意若不能斷定直線具有斜率時，應對斜率存在與不存在加以討論。在用截距式時，應先判斷截距是否為0。若不確定，則需分類討論。例題解析例求過點P（2，-1），在x軸和y軸上的截距分別為a、b,且滿足a=3b的直線方程。思路解析：對截距是否為0分類討論設出直線方程代入已知條件求解得直線方程。解答：當a=3,b0時，設所求直線方程為，即（二）用一般式方程判定直線的位置關系相關鏈接

13、兩條直線位置關系的判定已知直線，則（1）（2）（3）（4）例題解析例已知直線和直線，（1）試判斷與是否平行；（2）時，求的值。思路解析：可直接根據方程的一般式求解，也可根據斜率求解，所求直線的斜率可能不存在，故應按的斜率是否存在為分類標準進行分類討論。解答：（1）方法一：方法二：（2）方法一：由方法二：（三）直線方程的應用相關鏈接利用直線方程解決問題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡化運算。一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式。另外，從所求的結論來看，若求直線與坐標軸圍成的三角形面積或周長，常選用截距式或點斜式。注：（1）點斜式與斜截式是

14、兩種常見的直線方程形式，要注意在這兩種形式中所要求直線的斜率存在。（2）“截距”并非“距離”，可以是正的，也可以是負的，還可以是0。例題解析例如圖，過點P（2，1）作直線，分別為交x、y軸正半軸于A、B兩點。（1）當AOB的面積最小時，求直線的方程；（2）當PA·PB取最小值時，求直線的方程。思路解析：求直線方程時，要善于根據已知條件，選取適當的形式。由于本題中給出了一點，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見思路：點斜式：設的方程為，分別求出A、B的坐標，根據題目要求建立目標函數，求出最小值并確立最值成立的條件；截距式：設的方程為，將點（2，1）代入得出a與b的關系，建立

15、目標函數，求最小值及最值成立的條件；根據題意，設出一個角，建立目標函數，利用三角函數的有關知識解決。解答：（1）方法一：設的方程為，則方法二：設所求直線方程為由已知得，于是。當且僅當，即時，取最大值，此時取最小值4。故所求的直線的方程為，即。方法三：設所求直線方程為，由已知得（2）方法一：方法二：注：解析法解決實際問題，就是在實際問題中建立直角坐標系，用坐標表示點，用方程表示曲線，從而把問題轉化為代數問題，利用代數的方法使問題得到解決。三、直線的交點坐標與距離公式（一）有關距離問題相關鏈接1、點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應熟練掌握。2、點到幾種特殊直線的距離（1）點到

16、x軸的距離。（2）點到y軸的距離.（3）點到與x軸平行的直線y=a的距離。（4）點到與y軸平行的直線x=b的距離.注：點到直線的距離公式當A=0或B=0時，公式仍成立，但也可不用公式而直接用數形結合法來求距離。例題解析例已知點P（2，-1）。（1）求過P點且與原點距離為2的直線的方程；（2）求過P點且與原點距離最大的直線的方程，最大距離是多少？（3）是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由。思路解析：設出直線方程由點到直線距離求參數判斷何時取得最大值并求之。解答：（1）過P點的直線與原點距離為2，而P點坐標為（2，-1），可見，過P（2，-1）且垂直于x軸的

17、直線滿足條件。此時的斜率不存在，其方程為x=2。若斜率存在，設的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得，解得。此時的方程為3x-4y-10=0.綜上，可得直線的方程為x=2或3x-4y-10=0.（2）作圖可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，由OP，得所以由直線方程的點斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直線2x-y-5=0是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為。（3）由（2）可知，過P點不存在到原點距離超過的直線，因此不存在過P點且到原點距離為6的直線。（二）有關對稱問題相關鏈接常見的對稱問題：（1）中心對稱若點及關于對稱

18、，則由中點坐標公式得直線關于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用，由點斜式得到所求直線方程。（2）軸對稱點關于直線的對稱若兩點關于直線：Ax+By+C=0對稱，則線段的中點在對稱軸上，而且連接的直線垂直于對稱軸上，由方程組可得到點關于對稱的點的坐標（其中）直線關于直線的對稱此類問題一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行。例題解析例求直線關于直線對稱的直線的方程。思路解析：轉化為點關于直線的對稱問題，利用方程組求解。解答：方法一：由

19、知直線與的交點坐標為（-2，-1），設直線的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線上任取一點（1，2），由題設知點（1，2）到直線、的距離相等，由點到直線的距離公式得，解得，直線的方程為x-2y=0.方法二：設所求直線上一點為P（x,y）,則在直線上必存在一點與點P關于直線對稱。由題設：直線與直線垂直，且線段的中點在直線上。代入直線得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直線方程為x-2y=0.（三）解析法（坐標法）應用例（12）如圖，已知P是等腰三角形ABC的底邊BC上一點，PMAB于M，PNAC于N，用解析法證明|PM|+|PN|為定值。思路解析：建立

20、直角坐標系利用點到直線的距離公式求出|PM|和|PN|的長度。解答：過點A作AOBC，垂足為O，以O為原點，建立如圖所示的直角坐標，1分設B（-a,0），C（a,0）(a>0),A（0，b）,P(,0),a,b為定值，為參數，-aa,AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0,4分由點到直線的距離公式得7分a>0,b>0,ab>0,-ab<0,把原點坐標代入AB，AC方程左端分別得ab,-ab,且點P在直線AB，AC的下方，b+ab>0,b- ab<0,10分12分注：解析法（坐標法）即通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化成代

21、數問題，用處理代數問題的方法解決，這種方法是聯系平面解析幾何的紐帶。求定值問題，應先表示出要證明為定值的式子，最后出現定值。【感悟高考真題】1（2010安徽文數）（4）過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=04.A【解析】設直線方程為，又經過，故，所求方程為.【方法技巧】因為所求直線與與直線x-2y-2=0平行，所以設平行直線系方程為，代入此直線所過的點的坐標，得參數值，進而得直線方程.也可以用驗證法，判斷四個選項中方程哪一個過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行.2（2010上海文

22、數）7.圓的圓心到直線的距離 3 。解析：考查點到直線距離公式圓心（1,2）到直線距離為3（2010山東理數）（16）已知圓C過點（1，0），且圓心在x軸上，直線補圓C所截得的弦長為，則過圓心有與直線垂直的直線的方程為【解析】由題意，設所求的直線方程為，設圓心坐標為，則由題意知：，解得或-1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以，故圓心坐標為（3，0），因為圓心（3，0）在所求的直線上，所以有，即，故所求的直線方程為。【命題意圖】本題考查了直線的方程、點到直線的距離、直線與圓的關系，考查了同學們解決直線與圓問題的能力。4（2008年·全國二11）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點

23、在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（ A ）A3B2CD【考點精題精練】一、選擇題1傾斜角為45°，在軸上的截距為的直線方程是（B）AB C D2傾斜角為45°，在軸上的截距為的直線方程是（ D ）A BCD3過點的直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于P、Q兩點，且，則直線l的方程為（D）A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=04點P(2,3)到直線：ax+(a1)y+3=0的距離d為最大時，d與a的值依次為          （ 

24、;  B ）A3,-3          B5,1             C5,2            D7,15在平面直角坐標系中，點A(1，2)、點B(3，1)到直線l的距離分別為1和2，則符合條件的直線條數為 (   B ) &#

25、160;  A3            B2              C4               D16已知點到直線的距離相等，則實數的值等于（  C ）A  &

26、#160;             B              C        D7已知過點和的直線與直線平行，則的值為（B）A. B. C. D. 解析：8已知，則直線通過（ C ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限解析

27、：9若方程表示一條直線，則實數滿足（ C ）A. B. C. D. ，解析：不能同時為10若點到直線的距離為4，且點在不等式表示的平面區域內，則實數的值為（D）     A.7             B.7 C.3             D.311設分別是中所對邊的邊長,則直線與的位置關系是(  

28、; B )A平行                  B垂直                  C重合                 D相交但不垂直12過原點和在復平面內對應點的直線的傾斜角為（  D ）   A                         B&