1、整數平方數中值定理：設a、b、c為順序排列間距為P的3個整數，A、B、C是它們的平方則有：b2（a2c2）2R，即：B（AC）2R其中：修正值RP2特別地，如果間隔P1、2、 4、 8、 16、2 n (或Pn=2Pn-1）時則： 修正值R1、4、16、64、256、22n (或Rn4Rn-1）證明：已知：abPcbP有：a2(bP)2b22PbP2c2（bP）2b22PbP2則：a2c22b22P2即：b2（a2c2）2P2特別地當：間隔 P2 n2*2 n -12 Pn-1時（n為自然數）則：修正值 RP222n（2 Pn-1）24（P n-1）24Rn-1（證明完）根據以上定理，可以實現

2、整數快速開平方根計算：先構建一個長度為N的數組1：數組長 N=Ni+1 1 2 3 4 5 間隔 P=2Pi 2 4 8 16 32 修正值 R=4Ri 4 16 64 256 1024 以及一個對應2PN（這里N=4、2PN=32）的典型數和它的平方數組2：按N=4間隔排列的數 d=di+2PN 32 64 96 128 160 192 224 256 該數的平方 D=d2 1024 4096 9216 16384 25600 36864 50176 65536 顯然，N值越大則數組2越小、程序代碼效率越高、用時（插值次數）越多。以2字節整數開方為例的計算流程如下：其中，被開方數D（范圍06

3、5536），其平方根d（范圍0256）注：1、查表可以從任何位置開始，對計算速度影響不大。其中D=0、D=1、D=Di、 D65280判斷可以省去。2、此算法完全沒有乘法試算，其1/2、1/4除法運算可由二進制移位簡單實現，且為完全補償后的精確插值，所以遞歸速度非常快（這里4次）。3、最后運算已經包括了小數部分的精確4舍5入算法。4、此算法略加改動，即可實現更長字節整數或定長浮點數平方根精確解.一個C語言實例：/ sqrt_2 中值定理法開平方程序(直接查表-插值)/ 輸入D (兩字節無符號整數)/ 輸出d (一字節無符號整數)char a,b,c,p;int A,B,C,D,R,K; voi

4、d main() D=11111; / 被開方數 if(D50176)A=0； a=0; C=50176;c=224;break; / 查表 if(D36864)A=50176;a=224;C=36864;c=192;break; if(D25600)A=36864;a=192;C=25600;c=160;break; if(D16384)A=25600;a=160;C=16384;c=128;break; if(D9216) A=16384; a=128;C= 9216; c= 96; break; if(D4096) A= 9216; a= 96; C= 4096; c= 64; brea

5、k; if(D1024) A= 4096; a= 64; C= 1024; c= 32; break; A= 1024; a= 32; C= 0; c= 0; break;p=16;R=256; / 初始化數據 do b=c+p;B=C;B=1; / 插值計算循環 if(A!=0)K=A;K=1; else K=0x8000; / 65536=1的數 B+=K;B-=R; if(DB)C=B;c=b; elseA=B;a=b; p=1;R=2; while(p!=1); / 循環4次結束 K=A-C;K=2;A-=K; C+=K; / 小數部分四舍五入 if(DC)b=c; else if(D

6、=1; if(A)K=A;K=1; else K=0x8000; B+=K;B-=R; if(DB)C=B; elseA=B;a=b; p=1;R=2;while(p!=1); /循環7次結束 p=(A-C)2;A-=p; C+=p; b=a; if(DA)b-; if(DC)b-; /輸出方根b程序里只用了一個特別的數128（及其它的平方數16384），就能夠把兩字節數065535范圍內的任意整數的整數平方根精確（小數部分嚴格4舍5入）求解。程序思想還可以繼續延伸到更長字節無符號整數的開方，只需要修改對應的初始值p、R就行了。 結論 ：本文首先提出并證明了整數平方數中值定理，進而提出一種基于

7、此定理的的快速開方算法，并給出了具體的計算流程和C語言程序實例。由于全部運算不使用乘法運算或冪運算，只使用加、減、移位、邏輯等簡單運算，只引入極少的初始變量，在經過有限次循環后即可迅速逼近任意有限大整數的整數平方根的精確解（小數部分嚴格4舍5入。 以下是大明輪王點評:說自己最快是要證明的:) 否定他只要舉出一個更快的，更簡單的。中國古代就有地道的開方術，原理是一位一位的嘗試，寫出來就是程序sqrt_1，很容易理解，但是用了乘法。通過二項式定理進行一系列優化，可以得到程序sqrt_5,只用了加減和移位，對結果四舍五入，供你參考比較! (程序是我摘錄的，非原創) 如果需要軟件實現的浮點庫, 開源的Softfloat很好。 #define N_BITS 32#define MAX_BIT (N_BITS + 1) / 2 - 1) unsigned long sqrt_1(unsigned long x)register int i; register unsigned long m, r, root; root = 0; m = 1 = 0; i-) r = root + m; if (r * r = 1; return root; unsigned long sqrt_5(unsigned lon