第8章

相量法

復數8.1正弦量8.2相量法的基礎8.3電路定律的相量形式8.4首頁本章重點2.正弦量的相量表示3.電路定理的相量形式

重點：1.正弦量的表示、相位差返回1.復數的表示形式FbReIma0

|F|下頁上頁代數式指數式極坐標式三角函數式8.1復數返回幾種表示法的關系：或2.復數運算加減運算——采用代數式下頁上頁FbReIma0

|F|返回則

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F2=a2+jb2圖解法下頁上頁F1F2ReIm0F1+F2-F2F1ReIm0F1-F2F1+F2F2返回乘除運算——采用極坐標式若

F1=|F1|

1，F2=|F2|

2則下頁上頁模相乘角相加模相除角相減返回例1-1

解下頁上頁例1-2解返回旋轉因子復數

ejq

=cosq+jsinq=1∠qF?ejqFReIm0F?ejq

下頁上頁旋轉因子返回

+j,–j,-1都可以看成旋轉因子。特殊旋轉因子ReIm0下頁上頁注意返回8-2

正弦量1.正弦量瞬時值表達式i(t)=Imcos(w

t+

)tiOT周期T和頻率f頻率f

：每秒重復變化的次數。周期T

：重復變化一次所需的時間。單位:Hz(赫茲)單位：s(秒)正弦量為周期函數

f(t)=f(

t+kT

)下頁上頁波形返回正弦電流電路

激勵和響應均為同頻率的正弦量的線性電路（正弦穩態電路）稱為正弦電路或交流電路。正弦穩態電路在電力系統和電子技術領域占有十分重要的地位。研究正弦電路的意義正弦函數是周期函數，其加、減、求導、積分運算后仍是同頻率的正弦函數；正弦信號容易產生、傳送和使用。下頁上頁優點返回正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信號可以分解為按正弦規律變化的分量。

對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義。下頁上頁結論返回

幅值

(振幅、最大值)Im(2)角頻率ω2.正弦量的三要素(3)

初相位

單位：

rad/s

，弧度/秒反映正弦量變化幅度的大小。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。反映正弦量的計時起點，常用角度表示。i(t)=Imcos(w

t+

)下頁上頁返回同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。

=0

=/2

=－

/2下頁上頁iOt

注意返回一般規定：|

|<

。例2-1已知正弦電流波形如圖，

＝103rad/s，1.寫出i(t)表達式；2.求最大值發生的時間t1。tiO10050t1解由于最大值發生在計時起點右側下頁上頁返回3.同頻率正弦量的相位差設

u(t)=Umcos(w

t+

u),i(t)=Imcos(w

t+

i)相位差：j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i下頁上頁等于初相位之差返回規定：|

|<(180°)j>0，u超前ij角，或i

滯后

u

角

(u

比i先到達最大值)。

j<0，

i超前

uj

角，或u滯后

ij

角（

i比

u

先到達最大值）。下頁上頁返回

tu,iu

i

u

ijOj＝0，同相j=(180o)

，反相特殊相位關系

tu

i0

tu

i0=p/2：u領先

ip/2

tu

i0同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。下頁上頁返回例計算下列兩正弦量的相位差。下頁上頁解不能比較相位差兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數、同符號，且在主值范圍比較。結論返回4.周期性電流、電壓的有效值

周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。周期電流、電壓有效值定義R直流IR交流i物理意義下頁上頁返回下頁上頁均方根值定義電壓有效值：

正弦電流、電壓的有效值設

i(t)=Imcos(t+

)返回下頁上頁返回因為所以同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：若交流電壓有效值為U=220V

，U=380V

其最大值為Um

311VUm

537V下頁上頁注意工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮。返回測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數一般為有效值。區分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。下頁上頁返回8.3相量法的基礎1.問題的提出電路方程是微分方程：下頁上頁RLC+-uCiLuS+-返回求：i

(t),uL(t),uR(t)的穩態解方程特解難點1：求特解的待定系數求導難點2：正弦量的微分/積分計算難點3：正弦量的±計算各支路量有何特點？思考所有支路電壓電流均以相同頻率變化!!下頁上頁返回i1i1+i2

i3i2www角頻率下頁上頁I1I2I3有效值

1

2

3初相位

tu,ii1

i20i3返回兩個正弦量的相加：如KCL、KVL方程運算：(b)

幅值

(Im)(a)

角頻率(w)(c)

初相角(y)用什么可以同時表示幅值和相位？思考

同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只需確定初相位和有效值。因此采用正弦量復數變換的思想結論下頁上頁返回下頁上頁返回CharlesSteinmetz(1865-1923)

查爾斯steinmetz：美籍德國人，電氣工程師，電氣工程領域的先驅，發明商用的交流電機。他自認為最重要的三項成果是：(1)從事電磁領域的研究工作；(2)建立一個實用簡便的使用復數計算交流電數值的方法、(3)弧光現象的研究。

steinmetz發明了三相電路。他的工作使電力工業在美國大力發展。查爾斯steinmetz被認為是美國電氣工程領域的先驅。造一個復函數對F(t)取實部

任意一個正弦時間函數都有唯一與其對應的復數函數。無物理意義是一個正弦量有物理意義3.正弦量的相量表示下頁上頁結論返回F(t)包含了三要素：I、

、

，復常數包含了兩個要素：I

,

。F(t)還可以寫成復常數下頁上頁正弦量對應的相量相量的模表示正弦量的有效值。相量的幅角表示正弦量的初相位。注意返回同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：已知例1試用相量表示i,u.解下頁上頁例2試寫出電流的瞬時值表達式。解返回在復平面上用矢量表示相量的圖。

相量圖下頁上頁返回

q+1+jO

旋轉相量與正弦量下頁上頁返回旋轉相量

+1+jt=0i(t)t=t1t=t2t=t3t30tt1t24.相量法的應用同頻率正弦量的加減相量關系為：下頁上頁結論

同頻正弦量的加減運算變為對應相量的加減運算。返回i1

i2=i3下頁上頁例返回借助相量圖計算+1+j首尾相接下頁上頁+1+j返回正弦量的微分、積分運算微分運算積分運算下頁上頁返回例用相量運算：把時域問題變為復數問題；把微積分方程的運算變為復數方程運算；可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路。下頁上頁Ri(t)u(t)L+-C相量法的優點返回①正弦量相量時域頻域相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。③相量法用來分析正弦穩態電路。正弦波形圖相量圖下頁上頁注意不適用線性線性w1w2非線性w返回振幅相量和有效值相量下頁上頁注意返回有效值相量振幅相量8.4電路定律的相量形式1.電阻元件VCR的相量形式時域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關系相位關系R+-UR

u相量關系：UR=RI

u=

i下頁上頁返回瞬時功率

波形圖及相量圖

i

t0uRpR

u=

iURI

瞬時功率以2

交變，始終大于零，表明電阻始終吸收功率同相位下頁上頁返回時域形式：相量形式：相量模型相量關系：2.電感元件VCR的相量形式下頁上頁有效值關系：U=wLI相位關系：

u=

i+90°

i(t)uL(t)L+-j

L+-返回感抗的性質表示限制高頻電流的能力；感抗和頻率成正比。wXLXL=L=2fL，稱為感抗，單位為

(歐姆)BL=-1/L=-1/2fL，

稱為感納，單位為S

感抗和感納下頁上頁返回相量關系式功率

t

i0uLpL2

瞬時功率以2

交變，有正有負，一周期內剛好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。

i波形圖及相量圖電壓超前電流900下頁上頁返回時域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量關系：3.電容元件VCR的相量形式下頁上頁有效值關系：

IC=wCU相位關系：

i=

u+90°

返回XC=-1/wC，

稱為容抗，單位為

(歐姆)BC

=wC，

稱為容納，單位為

S

容抗和頻率成反比

0，|XC|

直流開路(隔直)w

，|XC|0

高頻短路w|XC|容抗與容納下頁上頁返回相量表達式功率

t

iC0upC

瞬時功率以2

交變，有正有負，一周期內剛好互相抵消，表明電容只儲能不耗能。

u波形圖及相量圖電流超前電壓900下頁上頁2

返回4.基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應的相量形式表示：

流入某一結點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KVL。下頁上頁表明返回例1試判斷下列表達式的正、誤。L下頁上頁返回例2已知電流表讀數：A1＝8A下頁上頁＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?解返回＝I0max=?A0A0＝I0min=?下頁上頁A1A0Z1Z2A2＝?A2A0＝A1解返回下頁上頁A1A0Z1Z2A2解返回A0＝0滿足什么關系下頁上頁A1A0Z1Z2A2解返回若電源的電壓不變，頻率增大一倍，討論電流表讀數的變化。不變減小一倍增大一倍例3解相量模型下頁上頁+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W返回下頁上頁返回j20W-j10W+_15W例4-4解下頁上頁+_5WuS0.2

Fi相量模型+_5W-j5W返回例5解1下頁上頁j40WjXL30WCBA返回解2下頁上頁j40WjXL30WCBA返回例6圖示電路I1=I2=5A，U＝50V，總電壓與總電流同相位，求I、R、XC、XL。解法1令等式兩邊實部等于實部，虛部等于虛部下頁上頁jXC+_RjXLUC+-返回下頁上頁畫相量圖計算jXC+_RjXLUC+-解法2返回例7

圖示電路為阻容移項裝置，如要求電容電壓滯后電源電壓

/3，問R、C應如何選擇。解1上頁jXC+_R+-返回畫相量圖計算上頁jXC+_R+-解2返回第9章正弦穩態電路的分析首頁本章重點正弦穩態電路的分析9.3正弦穩態電路的功率9.4復功率9.5最大功率傳輸9.6阻抗和導納9.1電路的相量圖9.22.正弦穩態電路的分析；3.正弦穩態電路的功率分析；

重點：1.阻抗和導納；返回9-1

阻抗和導納1.阻抗正弦穩態情況下Z+-不含獨立源線性網絡+-阻抗模阻抗角歐姆定律的相量形式下頁上頁返回當無源網絡內為單個元件時有：Z可以是實數，也可以是虛數。C+-下頁上頁R+-L+-表明返回2.

RLC串聯電路KVL：下頁上頁LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L返回Z+-Z—復阻抗；|Z|—復阻抗的模；

Z

—阻抗角；R—電阻(阻抗的實部)；X—電抗(阻抗的虛部)。轉換關系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ下頁上頁返回分析R、L、C

串聯電路得出（2）wL>1/wC

，X>0，jZ>0，電路為感性，電壓超前電流。下頁上頁相量圖：一般選電流為參考相量，

ZUX電壓三角形等效電路返回j

LeqR+-+-+-（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jZ

為復數，稱復阻抗。（3）wL<1/wC，

X<0，jz

<0，電路為容性，電壓落后電流。

zUX等效電路下頁上頁R+-+-+-（4）wL=1/wC

，X=0，j

z=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。R+-+-等效電路返回例1-1

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC。解畫出相量模型下頁上頁返回LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L則下頁上頁返回下頁上頁UL=8.42>U=5，分電壓大于總電壓。相量圖注意

-3.4°返回3.導納正弦穩態情況下導納模導納角下頁上頁返回Y+-不含獨立源線性網絡+-對同一二端網絡:當無源網絡內為單個元件時有：Y可以是實數，也可以是虛數。下頁上頁C+-R+-L+-表明返回4.RLC并聯電路由KCL：下頁上頁iLCRuiLiC+-iRR+-j

L返回Y+-Y—復導納；|Y|—復導納的模；

Y—導納角；G—電導(導納的實部)；B—電納(導納的虛部)；轉換關系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y導納三角形|Y|GB

Y下頁上頁返回（2）wC>1/wL，B>0，

Y>0，電路為容性，電流超前電壓。相量圖：選電壓為參考向量，

Y分析R、L、C

并聯電路得出：RLC并聯電路會出現分電流大于總電流的現象。IB下頁上頁注意返回（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jY

為復數，稱復導納。（3）wC<1/wL，B<0，

y<0，電路為感性，電流落后電壓；

y等效電路下頁上頁R+-返回（4）wC=1/wL，B=0，jy=0，電路為電阻性，電流與電壓同相。等效電路等效電路下頁上頁j

LegR+-R+-+-返回5.復阻抗和復導納的等效互換一般情況G

1/R，B

1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。下頁上頁ZRjXGjBY注意返回同樣，若由Y變為Z，則有：下頁上頁GjBYZRjX返回例RL串聯電路如圖，求在

＝106rad/s時的等效并聯電路。解RL串聯電路的阻抗為下頁上頁返回

L'R'0.06mH50

下頁上頁注意一端口N0的阻抗或導納是由其內部的參數、結構和正弦電源的頻率決定的，在一般情況下，其每一部分都是頻率的函數，隨頻率而變；一端口N0中如不含受控源，則有或但有受控源時，可能會出現或其實部將為負值，其等效電路要設定受控源來表示實部；返回下頁上頁注意一端口N0的兩種參數Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互換，其極坐標形式表示的互換條件為返回6.阻抗（導納）的串聯和并聯分壓公式阻抗的串聯下頁上頁Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式導納的并聯兩個阻抗Z1、Z2的并聯等效阻抗為：下頁上頁Y1+Y2Yn－Y+-返回例1求圖示電路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗為：下頁上頁1mH30

100

0.1FR1R2返回例2圖示電路對外呈現感性還是容性？解等效阻抗為下頁上頁電路對外呈現容性。返回3

3

－j6

j4

5

解2用相量圖求解，取電感電流為參考相量：下頁上頁＋＋－－－3

3

－j6

j4

5

電壓滯后于電流，電路對外呈現容性。返回例圖為RC選頻網絡，求u1和u0同相位的條件及解設：Z1=R+jXC,Z2=R//jXC下頁上頁jXC－R－＋＋Ruou1jXC返回9.3正弦穩態電路的分析電阻電路與正弦電流電路的分析比較：下頁上頁返回1.引入相量法，電阻電路和正弦電流電路依據的電路定律是相似的。下頁上頁結論2.引入電路的相量模型，把列寫時域微分方程轉為直接列寫相量形式的代數方程。3.引入阻抗以后，可將電阻電路中討論的所有網絡定理和分析方法都推廣應用于正弦穩態的相量分析中。直流（f=0)是一個特例。返回例1畫出電路的相量模型求各支路電流。已知：解下頁上頁返回R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1下頁上頁返回Z1Z2R2+_R1下頁上頁返回Z1Z2R2+_R1+_R1R2R3R4列寫電路的回路電流方程和結點電壓方程例2

解回路方程下頁上頁+_LR1R2R3R4C返回結點方程下頁上頁+_R1R2R3R4返回方法1：電源變換解例3下頁上頁Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴維寧等效變換求開路電壓：求等效電阻：下頁上頁ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回例4求圖示電路的戴維寧等效電路。解下頁上頁求開路電壓：返回j300

+_+_50

50

+_j300

+_+_100

求短路電流：下頁上頁返回+_100

+_j300

+_+_100

例5

解下頁上頁Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回用疊加定理計算電流,下頁上頁Z2Z1Z3+-返回Z2Z1Z3+-已知平衡電橋Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡條件：Z1Z3=

Z2Zx

得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例6解|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

下頁上頁Z1Z2ZxZ3

返回|Z1|

1

?|Z3|

3

=|Z2|

2

?|Zx|

x

已知：Z=（10+j50）W,Z1=（400+j1000）W。例7解下頁上頁ZZ1+_返回的關系

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：線圈的電阻R2和電感L2

。方法一、畫相量圖分析。例8解下頁上頁R1R2L2+_+_+_q2q返回下頁上頁q2q返回方法二、其余步驟同解法一。下頁上頁R1R2L2+_+_+_返回用相量圖分析例9移相橋電路。當R2由0

時，解當R2=0，q=180

；當R2

，q=0

。abb下頁上頁abR2R1R1+_+-+-+-+-返回例10圖示電路，解下頁上頁R1R2jXL+_+_jXC返回例11求RL串聯電路在正弦輸入下的零狀態響應。解應用三要素法用相量法求正弦穩態解下頁上頁返回L+_+_RtiO直接進入穩定狀態下頁上頁過渡過程與接入時刻有關。注意返回出現瞬時電流大于穩態電流現象tiO下頁上頁返回9-4

正弦穩態電路的功率1.瞬時功率第一種分解方法第二種分解方法下頁上頁返回線性網絡+ui_第一種分解方法：p

有時為正,有時為負；p>0,電路吸收功率；p<0，電路發出功率；

t

i0uUIcos

恒定分量。UIcos

(2t－

)為正弦分量。下頁上頁返回p

t0第二種分解方法：UIcos

(1-cos2t)為不可逆分量。UIsin

sin2t為可逆分量。

部分能量在電源和一端口之間來回交換。下頁上頁返回2.平均功率

P

=

u-

i：功率因數角。對無源網絡，為

其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因數。P

的單位：W（瓦）下頁上頁返回一般地,有：0

cos

1X>0,j>0,

感性，X<0,j<0,

容性，cosj1,純電阻0，純電抗平均功率實際上是電阻消耗的功率，亦稱為有功功率。表示電路實際消耗的功率，它不僅與電壓電流有效值有關，而且與cos

有關，這是交流和直流的很大區別,主要由于電壓、電流存在相位差。下頁上頁結論返回4.視在功率S3.無功功率

Q單位：var

(乏)。Q>0，表示網絡吸收無功功率；Q<0，表示網絡發出無功功率。Q

的大小反映網絡與外電路交換功率的速率。是由儲能元件L、C的性質決定的下頁上頁電氣設備的容量返回有功，無功，視在功率的關系：有功功率:

P=UIcos

單位：W無功功率:

Q=UIsinj

單位：var視在功率:

S=UI

單位：VAjSPQ功率三角形下頁上頁返回5.R、L、C元件的有功功率和無功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0=0PL=UIcos

=UIcos90=0QL=UIsin

=UIsin90=UI=I2XLiuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI=

I2XC下頁上頁iuL+-返回6.任意阻抗的功率計算uiZ+-PZ=UIcos

=I2|Z|cos

=I2RQZ=UIsin

=I2|Z|sin

=I2X

＝I2(XL＋XC)=QL＋QCjSPQjZRX相似三角形下頁上頁返回(發出無功)電感、電容的無功補償作用

t

i0uLL發出功率時，C剛好吸收功率，與外電路交換功率為pL+pC。L、C的無功具有互相補償的作用。

t

i0uCpLpC下頁上頁LCRuuLuCi+-+-+-返回電壓、電流的有功分量和無功分量：以感性負載為例

下頁上頁RX+_+_+_GB+_返回jSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX下頁上頁返回反映電源和負載之間交換能量的速率。無功的物理意義:下頁上頁返回例1

三表法測線圈參數。已知：f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下頁上頁RL+_ZWAV**返回解法2又下頁上頁解法3返回已知：電動機

PD=1000W，U=220，f=50Hz，C=30

F

cos

D=0.8，求：負載電路的功率因數。例2解下頁上頁+_DC返回7.功率因數的提高

設備容量

S

(額定)向負載送多少有功要由負載的阻抗角決定。P=UIcos

=Scosjcosj

=1,P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機空載cosj

=0.2~0.3

滿載

cosj

=0.7~0.85

日光燈

cosj

=0.45~0.6發電設備的容量不能充分利用。電壓、電流到了額定值，但有功功率很小；功率因數低帶來的問題：下頁上頁S75kVA負載返回當發電機的電壓和輸出的有功功率一定時，線路及發電機繞組的電流和損耗增大。下頁上頁返回Z1Z2+_+_+_例

圖示輸電線路，已知：線路阻抗Z1=6+j6，負載阻抗Z2的功率P=500kW，U2=5500V，cos=0.91，求線路消耗的功率。下頁上頁返回Z1Z2+_+_+_解設

提高電網的功率因數cos

，發電設備容量得到充分利用，電能得到大量節約。對國民經濟的發展有著重要的意義。結論j1j2解決辦法：（1）高壓傳輸（2）改進自身設備（3）并聯電容，提高功率因數。下頁上頁i+-uZ返回分析j1j2

并聯電容后，原負載的電壓和電流不變，吸收的有功功率和無功功率不變，即：負載的工作狀態不變。但電網的功率因數提高了。特點：下頁上頁LRC+_返回提高電網的功率因數并聯電容的確定：補償容量全——不要求(電容設備投資增加,經濟效果不明顯)欠過——功率因數又由高變低(性質不同)下頁上頁j1j2返回并聯電容也可以用功率三角形確定：j1j2PQCQLQ從功率角度看:并聯電容后，電源向負載輸送的有功UILcos

1=UIcos

2不變，但是電源向負載輸送的無功UIsin

2<UILsin

1減少了，減少的這部分無功由電容“產生”來補償，使感性負載吸收的無功不變，而功率因數得到改善。下頁上頁返回已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos

1=0.6，要使功率因數提高到0.9,求并聯電容C，并聯前后電路的總電流各為多大？例解未并電容時：并聯電容后：下頁上頁LRC+_返回若要使功率因數從0.9再提高到0.95

,試問還應增加多少并聯電容，此時電路的總電流是多大？解

cos

提高后，線路上總電流減少，但繼續提高cos

所需電容很大，增加成本，總電流減小卻不明顯。因此一般將cos

提高到0.9即可。下頁上頁注意返回cos

與線路上總電流的關系提高cos

的方法電容大小對cos

的影響電路中串聯或并聯電容的區別cos

的提高與經濟成本下頁上頁思考、討論

返回功率因素的提高9.5復功率1.復功率負載+_定義：也可表示為：下頁上頁返回下頁上頁結論

是復數，而不是相量，它不對應任意正弦量；注意

把P、Q、S

聯系在一起，它的實部是平均功率，虛部是無功功率，模是視在功率；

復功率滿足守恒定理：在正弦穩態下，任一電路的所有支路吸收的復功率之和為零。即

返回求電路各支路的復功率。例5-1

解1下頁上頁返回+_100°A10Wj25W5W-j15W解2下頁上頁返回9.6最大功率傳輸Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL負載有源網絡等效電路下頁上頁ZLZi+-返回正弦電路中負載獲得最大功率Pmax的條件若ZL=RL+jXL可任意改變

先設RL不變，XL改變顯然，當Xi+XL=0，即XL=-Xi時，P獲得最大值。再討論

RL改變時，P的最大值下頁上頁討論當RL=Ri

時，P獲得最大值RL=RiXL=-XiZL=Zi*最佳匹配條件返回若ZL=RL+jXL只允許XL改變

獲得最大功率的條件是：Xi+XL=0，即

XL=-Xi

最大功率為若ZL=RL為純電阻負載獲得的功率為：電路中的電流為：模匹配下頁上頁返回電路如圖。求：1.RL=5

時其消耗的功率；2.RL=?能獲得最大功率，并求最大功率；3.在RL兩端并聯一電容，問RL和C為多大時能與內阻抗最佳匹配，并求最大功率。例6-1

解下頁上頁返回+_100°

V50HRL5W

=105rad/s下頁上頁返回+_100°V50HRL5WC+_100°V50HRL5W求ZL=?時能獲得最大功率，并求最大功率。例6-2

解上頁Zi+-ZL返回490oAZL-j30W30W-j30W求ZL=?時能獲得最大功率，并求最大功率。例6-3

上頁返回ZiZL-++-ZL3W-j6W60oV解第10章含有耦合電感的電路首頁本章重點互感10.1含有耦合電感電路的計算10.2耦合電感的功率10.3變壓器原理10.4理想變壓器10.5重點1.互感和互感電壓2.有互感電路的計算3.變壓器和理想變壓器原理返回10.1互感

耦合電感元件屬于多端元件，在實際電路中，如收音機、電視機中的中周線圈、振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類多端元件的特性，掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的。下頁上頁返回下頁上頁變壓器返回下頁上頁電力變壓器返回下頁上頁三相電力變壓器返回下頁上頁小變壓器返回下頁上頁調壓器整流器牽引電磁鐵電流互感器返回1.互感線圈1中通入電流i1時，在線圈1中產生磁通，同時，有部分磁通穿過臨近線圈2，這部分磁通稱為互感磁通。兩線圈間有磁的耦合。下頁上頁

21+–u11+–u21i1

11N1N2定義

：磁鏈，

=N返回空心線圈，

與i成正比。當只有一個線圈時：

當兩個線圈都有電流時，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數和：

M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質有關，與線圈中的電流無關，滿足M12=M21

L

總為正值，M值有正有負。下頁上頁注意返回2.耦合系數

用耦合系數k表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。k=1稱全耦合:漏磁

Fs1=Fs2=0F11=F21，F22=F12滿足：

耦合系數k與線圈的結構、相互幾何位置、空間磁介質有關。下頁上頁注意返回互感現象利用——變壓器：信號、功率傳遞避免——干擾克服：合理布置線圈相互位置或增加屏蔽減少互感作用。下頁上頁返回下頁上頁電抗器磁場加鐵芯時的磁場返回下頁上頁當i1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產生感應電壓。當i1、u11、u21方向與

符合右手螺旋時，根據電磁感應定律和楞次定律：自感電壓互感電壓3.耦合電感上的電壓、電流關系下頁上頁

當兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。返回在正弦交流電路中，其相量形式的方程為：下頁上頁返回

兩線圈的自磁鏈和互磁鏈相助，互感電壓取正，否則取負。表明互感電壓的正、負：（1）與電流的參考方向有關；（2）與線圈的相對位置和繞向有關。下頁上頁注意返回4.互感線圈的同名端對自感電壓，當u,i

取關聯參考方向，u、i與

符合右螺旋定則，其表達式為：

上式說明，對于自感電壓由于電壓電流為同一線圈上的，只要參考方向確定了，其數學描述便可容易地寫出，可不用考慮線圈繞向。下頁上頁i1u11返回對互感電壓，因產生該電壓的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，就必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。為解決這個問題引入同名端的概念。下頁上頁

當兩個電流分別從兩個線圈的對應端子同時流入或流出，若所產生的磁通相互加強時，則這兩個對應端子稱為兩互感線圈的同名端。同名端返回**

i1i2i3△△線圈的同名端必須兩兩確定。下頁上頁注意+–u11+–u21

11

0N1N2+–u31N3

s返回確定同名端的方法：(1)當兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電流產生的磁場相互增強。

i11'22'**11'22'3'3**

例(2)當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應同名端的電位升高。下頁上頁返回+–V

同名端的實驗測定：i11'22'**電壓表正偏。如圖電路，當閉合開關S

時，i增加，

當兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結論來加以判斷。

下頁上頁RS+-i返回由同名端及u、i參考方向確定互感線圈的特性方程

有了同名端，表示兩個線圈相互作用時，就不需考慮實際繞向，而只畫出同名端及u、i參考方向即可。下頁上頁i1**u21+–Mi1**u21–+M返回例寫出圖示電路電壓、電流關系式下頁上頁i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M返回例21010i1/At/s解下頁上頁MR1R2i1**L1L2+_u+_u2返回10.2含有耦合電感電路的計算1.耦合電感的串聯順接串聯去耦等效電路下頁上頁iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–返回反接串聯下頁上頁iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–注意返回順接一次，反接一次，就可以測出互感：全耦合時當

L1=L2

時

,4M

順接0

反接L=互感的測量方法：下頁上頁返回在正弦激勵下：**

–下頁上頁j

L1j

L2j

M+–R1+–+–返回

**

相量圖：(a)順接(b)反接下頁上頁j

L1j

L2j

M+–R1+–+–返回

同名端的實驗測定：思考題

兩互感線圈裝在黑盒子里，只引出四個端子，現在手頭有一臺交流信號源及一只萬用表，試用試驗的方法判別兩互感線圈的同名端。下頁上頁黑盒子返回同側并聯i=i1+i2解得u,i

的關系：2.耦合電感的并聯下頁上頁**Mi2i1L1L2ui+–返回如全耦合：L1L2=M2當

L1

L2

，Leq=0

(短路)當L1=L2=L

，Leq=L

(相當于導線加粗，電感不變)

等效電感：去耦等效電路下頁上頁Lequi+–返回

異側并聯i=i1+i2解得u,i

的關系：等效電感：下頁上頁**Mi2i1L1L2ui+–返回3.耦合電感的T型等效同名端為共端的T型去耦等效下頁上頁**j

L1123j

L2j

M312j(L1-M)j(L2-M)j

M返回等效電路中的自感有可能為負值；等效電路中3個電感的公共端在原電路中沒有。i1i2iu23u13–+ML1-M+–L2-M231注意下頁上頁返回異名端為共端的T型去耦等效下頁上頁**j

L1123j

L2j

M12j(L1+M)j(L2+M)-j

M3返回下頁上頁**Mi2i1L1L2ui+–(L1－M)M(L2－M)i2i1ui+–**Mi2i1L1L2u1+–u2+–(L1－M)M(L2－M)**Mi2i1L1L2u1+–u2+–返回4.受控源等效電路下頁上頁**Mi2i1L1L2u1+–u2+–j

L1j

L2+––++–+–返回例Lab=5HLab=6H解下頁上頁M=3H6H2H0.5H4Hab9H7H-3H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H返回5.有互感電路的計算在正弦穩態情況下，有互感電路的計算仍應用前面介紹的相量分析方法。注意互感線圈上的電壓除自感電壓外，還應包含互感電壓。一般采用支路法和回路法計算。下頁上頁例1列寫電路的回路電流方程。MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1返回213解下頁上頁MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1返回例2求圖示電路的開路電壓。解1下頁上頁M12+_+_**

M23M31L1L2L3R1返回作出去耦等效電路，(一對一對消):解2下頁上頁M12**

M23M31L1L2L3**

M23M31L1–M12L2–M12L3+M12

M31L1–M12+M23L2–M12–M23L3+M12–M23L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13返回下頁上頁L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13+_+_R1返回例3要使i=0，問電源的角頻率為多少？解下頁上頁ZRC－L1L2MiuS+L1L2C

R

+–

MZ**L1－M

L2－MMC

R

+–

Z返回例4圖示互感電路已處于穩態，t=0時開關打開，求t>0+時開路電壓u2(t)。下頁上頁**0.2H0.4HM=0.1H+–10

40Vu2+－10

5

10

解副邊開路，對原邊回路無影響，開路電壓u2(t)中只有互感電壓。先應用三要素法求電流i(t).i返回下頁上頁**0.2H0.4HM=0.1H10

u2+－10

返回10.3耦合電感的功率

當耦合電感中的施感電流變化時，將出現變化的磁場，從而產生電場（互感電壓），耦合電感通過變化的電磁場進行電磁能的轉換和傳輸，電磁能從耦合電感一邊傳輸到另一邊。下頁上頁**j

L1j

L2j

M+–R1R2例求圖示電路的復功率返回下頁上頁**j

L1j

L2j

M+–R1R2返回下頁上頁線圈1中互感電壓耦合的復功率線圈2中互感電壓耦合的復功率返回下頁上頁結論耦合功率中的有功功率相互異號，表明有功功率從一個端口進入，必從另一端口輸出，這是互感M非耗能特性的體現。返回耦合功率中的無功功率同號，表明兩個互感電壓耦合功率中的無功功率對兩個耦合線圈的影響、性質是相同的，即，當M起同向耦合作用時，它的儲能特性與電感相同，將使耦合電感中的磁能增加；當M起反向耦合作用時，它的儲能特性與電容相同，將使耦合電感的儲能減少。10.4變壓器原理

變壓器由兩個具有互感的線圈構成，一個線圈接向電源，另一線圈接向負載，變壓器是利用互感來實現從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。當變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時，稱空心變壓器。下頁上頁返回一次繞組二次繞組下頁上頁返回鐵芯變壓器線性變壓器緊耦合松耦合下頁上頁返回1.變壓器電路（工作在線性段）一次回路或原邊二次回路或副邊下頁上頁**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX返回2.分析方法方程法分析令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：下頁上頁**j

L1j

L2j

M+–R1R2Z=R+jX返回等效電路法分析下頁上頁+–Z11+–Z22一次等效電路二次等效電路返回根據以上表示式得等效電路。引入阻抗。引入電阻。恒為正,表示副邊回路吸收的功率是靠原邊供給的。引入電抗。負號反映了引入電抗與二次回路電抗的性質相反。下頁上頁+–Z11一次等效電路注意返回引入阻抗反映了二次回路對一次回路的影響。一、二次回路雖然沒有電的聯接，但互感的作用使二次回路產生電流，這個電流又影響一次回路電流和電壓。能量分析電源發出有功

P=I12(R1+Rl)I12R1消耗在原邊；I12Rl

消耗在副邊證明下頁上頁返回原邊對副邊的引入阻抗。

利用戴維寧定理可以求得變壓器二次等效電路。副邊開路時，原邊電流在副邊產生的互感電壓。二次等效電路下頁上頁+–Z22注意去耦等效法分析

對含互感的電路進行去耦等效，再進行分析。返回已知

US=20V,原邊引入阻抗

Zl=10–j10.求:

ZX并求負載獲得的有功功率.負載獲得功率：實際是最佳匹配：例1解下頁上頁**j10

j10

j2+–10

ZX10+j10

Zl+–返回L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,

R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,應用一次等效電路例2解1下頁上頁**j

L1j

L2j

M+–R1R2RL+–Z11返回下頁上頁+–Z11返回應用二次等效電路解2下頁上頁+–Z22返回例3全耦合電路如圖，求初級端ab的等效阻抗。解1解2畫出去耦等效電路下頁上頁**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab返回例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10W,C1=C2=0.01

F

問：R2=？能吸收最大功率,求最大功率。解1w=106rad/s,下頁上頁j

L1j

L2j

MR1R2**+–1/j

C21/j

C1返回應用一次等效電路當R2=40

時吸收最大功率下頁上頁10

+–返回解2應用二次等效電路當時吸收最大功率下頁上頁R2+–返回解例5**

問Z為何值時其上獲得最大功率，求出最大功率。判定互感線圈的同名端下頁上頁＋－uS(t)Z100

CL1L2Mj

L1R

+–

MZ**j

L21/j

C

返回作去耦等效電路下頁上頁+–

Zj100

－j20

j20

100

j(L-20)j

L1R

+–

MZ**j

L21/j

C

+–

Zj100

100

j(

L-20)返回下頁上頁＋－uoc+–

j100

100

j(

L-20)j100

100

j(

L-20)Zeq返回10.5理想變壓器1.理想變壓器的三個理想化條件

理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想科學抽象，是極限情況下的耦合電感。全耦合無損耗線圈導線無電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導率無限大。參數無限大下頁上頁返回

以上三個條件在工程實際中不可能滿足，但在一些實際工程概算中，在誤差允許的范圍內，把實際變壓器當理想變壓器對待，可使計算過程簡化。下頁上頁注意2.理想變壓器的主要性能

i11'22'N1N2變壓關系返回若下頁上頁理想變壓器模型**n:1+_u1+_u2注意**n:1+_u1+_u2返回**+_u1+_u2i1L1L2i2M理想變壓器模型**n:1+_u1+_u2i1i2變流關系考慮理想化條件：0下頁上頁返回若i1、i2一個從同名端流入，一個從同名端流出，則有：下頁上頁注意**n:1+_u1+_u2i1i2變阻抗關系注意

理想變壓器的阻抗變換只改變阻抗的大小，不改變阻抗的性質。**n:1+_+_Zn2Z+–返回理想變壓器的特性方程為代數關系，因此它是無記憶的多端元件。理想變壓器既不儲能，也不耗能，在電路中只起傳遞信號和能量的作用。功率性質下頁上頁**n:1+_u1+_u2i1i2表明返回理想變壓器是否為動態元件？理想變壓器的關系式是否適合于直流？問題下頁上頁返回**n:1+_u1+_u2i1i2例1已知電源內阻RS=1k

，負載電阻RL=10

。為使RL獲得最大功率，求理想變壓器的變比n。當

n2RL=RS時匹配，即10n2=1000

n2=100，n=10.下頁上頁RLuSRS**n:1+_n2RL+–uSRS解應用變阻抗性質返回例2方法1：列方程解得下頁上頁+–1:1050

1**+_解返回方法2：阻抗變換方法3：戴維寧等效下頁上頁+–1n2RL+–+–1:101**+_返回求Req：Req=1021=100戴維寧等效電路：下頁上頁Req1:101**+–10050+–返回例3已知圖示電路的等效阻抗Zab=0.25

，求理想變壓器的變比n。解應用阻抗變換外加電源得：下頁上頁n=0.5

n=0.25Zabn:11.510－+**1.5－++–返回例5求電阻R吸收的功率解應用回路法解得123上頁**+–+–1:10+–11R=11返回實際變壓器的電路模型實際變壓器是有損耗，有漏磁，k

1，且L1，M，L2

。除了用具有互感的電路來分析計算以外，還常用含有理想變壓器的電路模型來表示。1.理想變壓器(全耦合，無損，m=

線性變壓器)下頁上頁理想變壓器模型**n:1+_u1+_u2i1i22.全耦合變壓器(k=1，無損，m

，線性)由于全耦合，所以滿足：全耦合變壓器的等值電路圖L1：激磁電感空載激磁電流又因下頁上頁**+_+_j

L1j

L2j

Mj

L1理想變壓器**n:1+_+_3.無損非全耦合變壓器(忽略損耗，k1，m

線性)

21i1i2++––u1u2

12

1s

2sN1N2

線圈中的磁通看成是漏磁通加全耦合磁通，即：全耦合磁通在線性情況下，有：下頁上頁由此得無損非全耦合變壓器的電路模型：L1S,L2S：漏電感4.有損耗的非全耦合變壓器(k1，m

，線性)

考慮了導線和鐵芯損耗全耦合變壓器下頁上頁j

L1S+–+–j

L1**n:1+_+_j

L2SRmR1R2L1S

L1**n:1+_+_L2S以上是在線性情況下討論實際變壓器。實際上鐵心變壓器由于鐵磁材料

B–H特性的非線性,初級和次級都是非線性元件，原本不能用線性電路的方法來分析計算，但漏磁通是通過空氣閉合的，認為漏感LS1，LS2

基本上是線性的，激磁電感L1雖是非線性的，但其值很大，并聯在電路上只取很小的電流影響很小，電機學中常用這種等值電路。下頁上頁注意例圖示為全耦合變壓器，求初級電流和輸出電壓。解做全耦合變壓器等效電路下頁上頁j2k=1j88**+_+_j28**+_+_n:1j22+_+_第11章電路的頻率響應網絡函數11.1RLC串聯電路的諧振11.2RLC串聯電路的頻率響應11.3RLC并聯諧振電路11.4波特圖11.5濾波器簡介11.6本章重點首頁重點1.網絡函數2.串、并聯諧振的概念；返回11.1網絡函數當電路中激勵源的頻率變化時，電路中的感抗、容抗將跟隨頻率變化，從而導致電路的工作狀態（電壓、電流）亦跟隨頻率變化。因此，分析研究電路和系統的頻率特性，是正確選用和設計網絡的需要，是無線電和電子技術應用中的重要課題。下頁上頁頻率特性

電路和系統的工作狀態跟隨頻率而變化的現象，稱為電路和系統的頻率特性，又稱頻率響應。1.網絡函數H（jω）的定義返回

在線性正弦穩態網絡中，當只有一個獨立激勵源作用時，網絡中某一處的響應相量（電壓或電流）與網絡輸入相量之比，稱為該響應的網絡函數。2.網絡函數H(jω)的分類驅動點函數線性網絡下頁上頁返回策動點阻抗策動點導納激勵是電流源，響應是電壓激勵是電壓源，響應是電流線性網絡轉移函數(傳遞函數)線性網絡下頁上頁返回轉移導納轉移阻抗

轉移電壓比

轉移電流比激勵是電壓源激勵是電流源線性網絡下頁上頁返回注意

H(j

)與網絡的結構、參數值有關，與輸入、輸出變量的類型以及端口對的相互位置有關，與輸入、輸出幅值無關。因此網絡函數是網絡性質的一種體現。網絡函數可以用相量法分析求解獲得。下頁上頁返回例求圖示電路的網絡函數和2

jω+_+_jω2

解列網孔方程解電流轉移導納轉移電壓比

下頁上頁返回H(j

)是一個復數，它的頻率特性分為兩個部分：模與頻率的關系

幅頻特性幅角與頻率的關系

相頻特性下頁上頁返回3.網絡頻率特性0

c低通0

c高通0

c1帶通

c20

c1帶阻

c2下頁上頁返回設：例求RC一階電路的頻率響應下頁上頁返回低通下頁上頁返回幅頻特性截至頻率o相頻特性o下頁上頁返回截至頻率的物理意義

用分貝表示網絡的幅頻特性3分貝頻率

下頁上頁返回注意

在電子電路中約定，當輸出電壓下降到它的最大值的3dB以下時，認為該頻率成分對輸出的貢獻很小。

半功率頻率點當高通下頁上頁返回下頁上頁返回高通幅頻特性o相頻特性o以網絡函數中jω的最高次方的次數定義網絡函數的階數。注意由網絡函數能求得網絡在任意正弦輸入時的端口正弦響應，即有下頁上頁返回11.2RLC串聯電路的諧振諧振是正弦電路在特定條件下產生的一種特殊物理現象。諧振現象在無線電和電工技術中得到廣泛應用，研究電路中的諧振現象有重要實際意義。

含R、L、C的一端口電路，在特定