1、第九章歐氏空間與雙線性函數根本內容與考點綜述、根本概念1歐幾里得空間設V是實數域R上一線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作:，它具有以下性質：,J 二C,：;2k: , J =k: ,3X 亠 l'：M：,：,；4：,： _0,當且僅當=0時:，：=0.這里:, ,是V中任意的向量,k是任意實數，這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間.2. 酉空間設V是復數域C上的線性空間，在V上定義了一個二元復函數，稱為內積，記作C , ,它具有以下性質：1，1=廠,這里是,的共軛復數；2k: , ： =k:,：;3二：, ：,；43_：i _0,當且僅當=0時:，=0.這里:,'

2、-,是V中任意的向量 飛是任意復數，這樣的線性空間稱為酉空間.3. 向量的長度非負實數 J：,：稱為向量的長度，記為：.4. 向量的夾角非零向量:-,的夾角：:二卩：規定為:,:二 arccos 二；-,0 _ ：:-，匸："：一.5. 向量正交如果向量:, 的內積為零，即二J",那么稱：正交，記為31 “.6. 基的度量矩陣1, ；2，中是n維歐氏空間V的一組基，令aj =；j,i,j =1,2/ , n.稱A=ajnn為基1, ；2,；n的度量矩陣.7. 正交向量組歐氏空間V中一組非零的向量，如果它們兩兩正交，就稱為一正交向量組.8. 正交基、標準正交基在n維歐氏空間中

3、，由n個向量組成的正交向量組稱為正交基，由單位向量組成的正交基稱為標準正交基.9. 正交矩陣、酉矩陣n級實矩陣A稱為正交矩陣,如果AA二E.n級復矩陣A稱為酉矩陣，如果AA=E.10. 歐氏空間同構實數域R上歐氏空間V與V 稱為同構的，如果由V到V 有一個雙射 二,滿足(1) ；(黒亠卩)-；.()；(-);(2) ；(k := k；(:)；(3) (；(：),；)=(，).這里:，l：=V，k R，這樣的映射；:稱為V到V的同構映射.11. 正交變換，酉變換歐氏空間V的線性變換:如果滿足(<y(ot)，b(0) =(ct，閃.那么稱；?為V的一個正交變換.酉空間V的線性變換C如果滿足(

4、;(:)，;(：)=(:，:)那么稱:為酉空間V的一個酉變換.12. 子空間正交、向量與子空間正交設V1，V2是歐氏空間V的兩個子空間，如果對于任意的：；三Vj：'：=V2,恒有(：，J =0.那么稱v1 ,V2為正交的，記為y _v2.個向量:-,如果對于任意的I-'：= v1 ,恒有C , ) =0.那么稱與子空間V1正交,記為_v13 .子空間的正交補子空間V2稱為子空間V1的一個正交補，如果V1 _V2,并且V1VV.14. 歐氏空間V的線性變換匚如果滿足(二G'), )二(： ,= )那么稱；:為V的一個對稱變換.15. 向量之間的距離長度用稱為向量：和 啲距

5、離，記為dG , ).16. 最小二乘解實系數線性方程組、a12X2 亠 、a1sxs=0a21x1a22x2 亠 亠 a2sxs _b2 =0aniXian2X2a.sXs - bn =0可能無解即任何一組實數Xr,X2 - ,xs都可能使(1)n 2 (aiixi - ai2X2 川"-川aisXs bi) i 4不等于零使(1)式最小的實數組xfxO,，X?稱為方程組的最小二乘解17. 對稱矩陣，Hermite矩陣如果 AA,那么稱矩陣A為對稱矩陣如果A =A,那么稱矩陣A為Hermite矩陣.18. Hermite 二次型設A為Hermite矩陣,二次齊次函數n n _f (

6、Xi,X2 / ,Xn)aijXiXj =X AXi =1 j =1稱為Hermite二次型.19. 線性函數設V是數域P上的一個線性空間，僱V到P的一個映射，如果f滿足(1) f (二】 )二 f C ) f (:);(2) f (k:) =kf (:).其中:,-是V中任意元素 飛是P中任意數,那么稱f為V上的一個線性函數.20. 對偶空間、對偶基.設V是數域P上一個n維線性空間2上全體線性函數組成的 集合記作L(V, P).用自然的方法在L(V,P)上定義加法和數量乘法 丄(V,P)成為數域P上的線性空間，稱為V的對偶空間.設V是數域P上的一個n維線性空間，十；2 ,，中是V的一組基，作

7、V上n個線性函數f1,f2,fn,使得fj (引)=J j. J.八"0, j i,i, j =1,2,n.那么2，fn為L(V,P)的一組基,稱為；1, ；2,，；n的對偶基.21. 雙線性函數V是數域p上一個線性空間，f(，J是V上一個二元函數，即對V中任意兩個向量 ,根據f都唯一地對應于 P中一個數f G ,：),如果f G ,：)有以下性質： f： ,K, G k2f：2；2 f ki ： ik2: 2, - =ki f C i, : k2 f C 2,：,其中冷，：2 '，M，T是V中任意向量，$飛2是P中任意數,那么稱f：，J為V上的一個 雙線性 函數22. 雙線

8、性函數的度量矩陣設f，J是數域P上n維線性空間V上的一個雙線性函數；2,，；n是V的一組基，那么 矩陣& «1，妙f®l，槪f&，En"A= f咳，?1fd，他fS2，&n,fen，C1 f En，$2f Sn，Sn丿叫做fC，'在基；1, ；2,，；n下的度量矩陣23非退化的雙線性函數設fG，：是線性空間V上一個雙線性函數，如果f：，： =0對任意I - ：ZV,可推出=0, f就叫做非退化的24對稱雙線性函數，反對稱雙線性函數fG , 是線性空間V上的一個雙線性函數，如果對V中任意兩個向量:/都有f a, R = f P,a.那

9、么稱fG , 為對稱雙線性函數，如果對V中任意兩個向:都有fa, 0 =_f B,a那么稱fG , 為反對稱雙線性函數25. 雙線性函數對應的二次齊次函數設V是數域P上的線性空間，f，J是V上雙線性函數，當：二-時，V上函數f，稱 為與fc , 對應的二次齊次函數26. 雙線性度量空間、正交空間、準歐氏空間、辛空間設V是數域P上的線性空間，在V上定義了一個非退化雙線性函數，那么V稱為一個雙線性度量空間，當f是非退化對稱雙線性函數時，V稱為P上的正交空間；當V是n維實線性空間,f是非退化對稱雙線性函數時，V稱為準歐氏空間；當f是非退化反對稱雙線性函數時，V稱為辛空間二、根本結論1柯西一布涅柯夫斯

10、基不等式歐氏空間V中的任意向量:S,:有也01訓円.當且僅當:,-線性相關時，等號才成立2度量矩陣是正定的，不同基的度量矩陣是合同的3. n維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴充成一組正交基4對于n維歐氏空間中任意一組基冷，2,，都可以找到一組正交基：1，：2,，：n使LC 1, : 2,，) = L( ：1，：2，：i ).i =1,2 ,n.k，：1:1C<k, :kj)(:k d , : kjj)I 'k j, k =2，n.5. A = (aij) nn是正父矩陣 u A A = E ：二 AA = E ：二 A = A ：二 aii a“ a2ia2j '&quo

11、t; ani anj1,當 i = j0當i Hj.：=aiiaji ai2aj2亠ainajn1,當 i=j0,當i = j.二A是n維歐氏空間V中兩組標準正交基之間的過渡矩陣=二彳，；2,，；n=彳，4，；nA,其中；:是正交變換,刁，:2,，；n是V的一組標準正交基6. 色，£2,"八，務是n維歐氏空間的一組標準正交基二&,名j = “0, |二jj二基；1, ；2,，；n的度量矩陣為單位矩陣.= 存在標準正交基 e1,e2,en及正交矩陣Q .使；1,；2,，；n = e ,，enQ7. 兩個有限維歐氏空間同構的充分必要條件是它們的維數相同8. 設;:是n維

12、歐氏空間V的一個線性變換，以下四個命題是等價的：二保持內積不變，即對任意的- - V,都有；:,；=:,2；匚保持向量的長度不變,即卅",；：=：;3如果；1，；2,，；n是標準正交基，那么匚；1,匚；2,，；n也是標準正交基；4；在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.9. 如果子空間v1,v2 ,Vs兩兩正交，那么和y，v2亠亠vs是直和.10. n維歐氏空間V的每一個子空間都有唯一的正交補.11. A是實對稱矩陣，那么A的特征值都是實數，且屬于A的不同特征值的特征向量必正交.12. 設;堤對稱變換,V1是二一子空間，那么匕乜是二一子空間.13. 對于任意一個n階實對稱矩陣A,都存

13、在一個n階正交矩陣T,使T AT =T AT成對角形.14. 任意一個實二次型Fj j-jaij XiXj , a 二aji,i, j =1,|l, n.都可以經過正交的線性替換變成平方和. 2 _ 2 、 2'1 yi .<2 y2 亠亠 .n yn 其中平方項的系數 1,2,，n就是矩陣A的特征值15. 線性方程組AX =匕的最小二乘解為滿足方 程組A AX = A b的解X.16. 埃爾米特矩陣的特征值為實數，它的屬于不同特征值的特征向量必正交17. 假設A是埃爾米特矩陣，那么有酉矩陣C,使C JAC 二 C ac 是對角形矩陣.18. 對埃爾米特二次型n n_fX1,X2

14、,|l|,Xn HaijXiXj =XAX必有酉矩陣C,當X二CY時f X1,X2，Xn二d1y1 2丫22 dnynVn.19. 設V是數域P上的n維線性空間，/, ；2,，；n是V的一組基，&忌,，an是P中任意 n個數，存在唯一的V上線性函數f,使f ；i = ai .i = 1,2，,n.20. 設1, ；2,，；n及1，2，n是線性空間V的兩組基，它們的對偶基分別為2，f 及91,92，.如果由1，；2,，；n到1，2,，n的過渡矩陣為A ,那么由f1, f2,，fn到91,92，gn的過渡矩陣為A'.21. V是一個線性空間，V*是V的對偶空間的對偶空間，V到V *

15、的映射* *Xr X是一個同構映射.22. 同一個雙線性函數在不同基下的度量矩陣是合同的23. 雙線性函數是非退化的充要條件為其度量矩陣為非退化矩陣24. 設V是數域P上n維線性空間，f ：, J是V上對稱雙線性函數，那么存在V的一組基1，；2,，；n,使f，J在這組基下的矩陣為對角矩陣.25. 設V是復數域上n維線性空間，fC , 是V上對稱雙線性函數，那么存在V的一組基nn1,；2,，；n,對V中任意向量Xi d,yi d有i =1i =±f G，：=為力 X22Xr yr 0 - n26設V是實數域上n維線性空間，f(，J是V上對稱雙線性函數，那么存在V的一組基nn1，；2,；

16、n ,對V中任意向量 = Xi ,yi ；i.有i 二iMf (： , ：) =xiyi 亠 亠Xpyp -Xp iyp i - xyr (0 乞 p r 遼n)27. 設fC, )是n維線性空間V上的反對稱雙線性函數，那么存在V的一組基；1,；丄，:r，；丄，1,，s 使f (S J)=1,i =1山r;f(；i, ；j)=0,i j 7;f C , QV,k =1,|山 s.三、根本方法1. 常用的歐氏空間(1)線性空間Rn,對如下定義的內積構成歐化空間:-=(a1,a2,，an), 一： =(64,g)(:, F) = a1b1 a2b2 anbn.線性空間C(a,b).f(x),g(x

17、) C(a,b)對如下定義的內積構成歐氏空間b(f,g) = Jf(x)g(x)dx.ba2. 將對稱矩陣的理論、二次型的理論及對稱雙線性函數的理論互相轉化，會給解題帶來方便.試題精選1.(東南大學,2006)設f是有限維Enclid空間V上的正交變換 (1)證明：f的特征值只能是1或-1;(2)證明：f的屬于不冋特征值的特征向量相互正交；如果1和-1都是f的特征值，并且V1和V分別表示f的屬于特征值1和-1的特征子空間假設f 2 =1(I表示V上的恒等變換),證明:V4 =V|2 .證明：(1)假設R,鳥嚴0.由f是正交變換，那么(f ： f=ha=乙2, a a = q a)(,且G /

18、)0,于是2 =1/ R,那么=1或 T.假設 f(1)=、1, f (2)- =2,那么(：1, ： 2)= (f(： 1)，f (： 2) =(：1，-： 2)= -(：1，2)于是 C 1，： 2)= 0.E0假設f 2 =1,那么f可以對角化,于是存在V的一組基：1，：2，:，f J2,，二n )=(_：/,二 2,，二n)那么V1 =L 冷，用2,，、；rV 二=LC<r 1，右 2，用n-由2, Vi Vi,且 dimVj = n r,dimy二 n r 由正交補的唯一性 V二Vi2.東南大學，2006假設A是s n實矩陣，在通常的內積下，A的每個行向量的長度為a,任意兩個不

19、同的行向量的內積為b,其中a,b是兩個固定的實數.1求矩陣aat的行列式；假設a2 .b_0證明：AAt的特征值均大于零.解1令ApA2,，As是A的s個行向量，那么aatAAT =a2,i Tils .A1A1t,A：)二 A2atAsA：AA：=bi# j iAA；AiA：a2A2A：A2A： = bAsA：As A：bba2bb =a2 (s 1)b(a2 b)sa2s.由aat是半正定矩陣.證明 設1,'2,，S是aat的特征值，那么aat 于是>0,i =1,，s.只要證明 AAT式0,那么AAt的特征值均大于零.因為 a2 Ab 30,那么a2 +(s1)b(a2 b

20、)s=AAt >0.3. 東南大學,2005設V是n維Euclid空間,f是V上的線性 變換,并且滿足條件：對任意 二產：二V,有f ：=：, f：.其中,表示向量',的內積.1證明：f的屬于不同特征值的特征向量是相互正交的2I證明：如f = f,那么V。二乂一,其中V M分別表示f的關于特征值i和0的特征子空 間證明設 f ：,-、冷，f 2- 2 >2，1, 2 * R,，1 f.2,、= 0,2 = 0.那么f ： 1，2= ' 11, ： 2= 1 C 1，爲2.由條件f：i,： 2 =：1, f： 2 =：1, 2： 22： 1,： 2. 于是1 一 2冷

21、，>2=°，所以1, >2".由f? =f,那么f? _ f =o令mx是f的最小多項式,那么mxx? _ x,于是mx沒 有重根，f可以對角化，那么存在V的一組基 冷，：？,，n.使f 冷，>2，：n=冷,2，:n)Er0、°.:由n (于 是Vi = (： L hl,|： r ?,3, V r )|° L,：r(1) ,V° 二 Vi.dimV° =dimVi二 nr,由正交補的唯一性，V° =Vi4. 東南大學,2°°4設；i,；2, ；3為歐氏空間V的標準正交基，： =；i-2；

22、?, ： =2 “ ；3,求(1 '岔a =，82，E3 2 P =街，帝2，£3° .1°丿0 -1 °門 ' Q° ° 1 | -2 卜 °I1 ° °丿1°丿J丿0 -1 °xH (可，名2 ,名3 )=(知，名2 ,名3 ) ° °1° ° 丿那么H是正交變換,且H : 口5 .東南大學,2004A是n階實對稱陣，,是A的特征值，相對應的標準正交特征 向量為1,；.求證:A =打©即+扎雋即這里"T&q

23、uot;表示轉置.證明 令Q =2,n那么Q是正交矩陣.A肚2,弋¥， = <'-n 丿于是A=QQT=(©,J，_，En)= 111T -'n n'T.6.大連理工，2003設V是一個n維歐氏空間，匚是正交變換，匚在V的標準正交基底上 是A.證明：的矩陣1假設uvi是二的一個虛特征值，那么有:，W，使二=：,；：=-v±2假設;的特征值皆為實數，那么V可分解為一些兩兩正交的一維不變子空間的直和 假設二的特征值皆為實數，那么A是對稱陣.證明1容易證明，如果的坐標是實向量貝二的坐標也是實向量.令 二=u vi ， u，v R， v =

24、0，=0，-三 V.設；i： i :.那么；_；亠 i、£_； I 亠 i；用=u 亠 iv,亠 i、；= -V ：.亠ul 亠 i u:：£ 亠 vl .于是；、£=ux 亠vl, ； =-vx 亠ull令1,，2,，n是二的實特征值，由Schur定理,A正交相似于一個上三角形矩陣，那么存在正交矩陣Q ,使Q AQ = Q T AQ =(1)1式兩邊取逆，那么4 n JT nTQ A Q Q A Q 1式兩邊取轉置，那么QT ATQ 二由2式Q AQ =QTAQ 二設；1，；2,，；n是V的一組標準正交基.、.(:.i , ：2 ,，:n )=(：1 ,：2 ，

25、 ' n ) A,因為:是正交變換,那么A是正交矩陣ei2,，en = ；1，；2， , ；nQ，那么ei , ,en是V的一組標準正交基1二(ei,e2,en)二代，,en)Q AQ =(&(2, ,en)于是有二q二畫一厲=1,2, ,n,令« =Lq ,i =1廠，n.那么 V二Vi二V2三三Vn,ViV2,Vn是兩兩正交的一維不子鑾間3由3式% 、A=Q S. QT顯然A是對稱陣.7. 大連理工，2005設V是一個n維歐氏空間，:,一,:是V的一個標準正交基，匚是V的一個線性變換，A=ajnn是二關于這個基的矩陣 證明aji =二冷，： j,i, j =1,2

26、，n.,表 示內積.證明 二1 ,2，n=冷，2，nAC i，j)n(""j)吃看"j)8jiC jj"aji.8. 北京理工,2005設A是一個3階正交矩陣 ，且 IA-1.1證明：=1必為A的特征值；2證明:存在正交矩陣Q ,使*100 'QT AQ = 0 cos 日 sin 日.0 -sinT cos6證明(1) |e _A =(1)3|a_e| =-a_e| =-|at _耳.另一方面，E _A = AAT _A =|A |at _e| =|aT _E.兩式相加，有E _A =0.即 =1是A的特征值.2令1As 且 a 1 =1,將a

27、 1擴充成3維歐氏空間R3的一個標準正交基，色衛齊那么A: 1, ： 2, ： 3=：1, ： 2, ： 3令Q =冷,、s，用3，那么Q是正交矩陣，那么3 x y ) C = 0 a bI0 cd 丿也是正交矩陣，于是x = y =0,且a, b, c, d滿足a2 +c2 =1b2 +d2 =1ab cd =0.于是存在角:-,使a = cos 篇,c = sin 二.由 cos(二)=cos,sin(二)-sin，因此不妨令a =cos.二,c =si n.z 同理,存在角一：,使b =cosA,d =sin :. 那么 cos I 'cos:：£ 亠sin I 

28、9;sin : =0.即cos(-:;J =0.于是 ：=:(2k1).2cos:二 cos：(2k 1匸sin，當k為偶數;sin ：，當k為奇數.sin - -sin:Jt(2k 1)-二cos 一：?當k為偶數； -cos二,當k為奇數.因此1 0 0，Z1 0 0C =0 cosa -sin a或0 cosa sin a0 sin a cos。丿0 sina cosa丿由A =1,那么C =1.于是前者成立，令-2那么q o o'C = O cos日 sin 日.E -sin 日 cos©由(1)式,存在正交矩陣Q,使 fl00 'QT AQ = 0 cos0

29、 sin Q卩一sin日cos日丿9. (北京交通大學,2002)設匚是n維歐氏空間V的正交變換 是匚不變子空間.,證明W的正 交補W乜是曲勺不變子空間.證 明(W),由 是正交變換，那么 (；)W , W存在W,使-;(),那么(；(:)，：)=(；(:),；( -1) =(:，:J =0,即；(：JWW,所以W -也是二的不變子空間.10. (北京交通大學,2004)設；是歐氏空間V的線性變換,.是同一空間V的一個變換，且對 -，xv,有(；d)=(：, C).證明：(1) 是V的線性變換；(2) ；的核等于.的值域的正交補.證明-，"有(:,.( ) =(；(:)， )=(；(

30、:)，)(；(:)，)=(：，)(，()= (：，()()于是，卅WV(：，( ) -() ( ) =0.令-C - )-( ( )(),那么( )()(),( )()()=0.因此 C )()().仿上方法容易證明.(k )二k .).因此 是V的線性變換.(2)'、； ：= ker；,那么二()=0.一：(V).那么存在：；-V,使:=(：).(,：)=(,()=(二()，：)=(0,： ) =0,于是 (V)-從而 ker；(V)-.反之，(V)(V),有(，)=0.令=(；),那么(，(；)=&(),；()=0.于是二(0/ ker；,從而.(V)- ker因此ker；

31、- . (V).11. (北京交通大學，2005)設是n維歐氏空間V中的非零向量,定義變換如下A(x) = x 亠 k(x,、£)芒(一xV)(1) 證明A是線性變換;設：在V的一組標準正交基；1,；2,，；n下的坐標為(aa?,an)T ,求A在這組基下的矩陣證明A是對稱變換; 2(4)證明A是正交變換的充分必要 條件是k二.(0(,0(,)證明 A(x y) =(x y) k(x - ys):=x k(x,、f)很 亠 y k(y,、R:= A(x) A(y).八三 R, A( x) = x k( x,義= (x k(x, _：?=1；A(x).因此A是線性變換。(2):- =a

32、1- a? ；2 ：an m=(d- ) d ( ；2,) ；2 宀(；n,；n于是 (* ,鳥)=ai ,i =1,2, n.A( ；J =；1k(ka1(a1a2 ；2 亠亠an ；n)=(1 kaj) t - ka1a2 ；2 亠"ka1an ；n.A( ；2)=；：2k(；2,：)： -；2ka2(ai；i*2；2亠 亠an；n)2=ka2ai ；i (1 ka2)；2"ka2an ；nA( ；n)八n k( ；n,：)_ ;n - ka.a? ；2an ；n)2二 kanai ；i kana2 ；2(1 kan) ；n.所以,A在基；仆；2 ,，；n下的矩陣為1

33、+kajka? a:kan a1ka1a21 +ka29 kana2a,ka anka2 an2：1 +kan yA 二由(1) A是V的線性變換，-x, y.二V.(A(x), y) =(x k(x, : ): , y)=(x, y)k(x, ： )(： , y)(x,A(y) =(x, y k(y,:):)= (x, y) k(y, : )(x,:).是(A(x), y) =(x, A(y).所以A是對稱變換. k =0時，A顯然是正交變換.(A(x),A(x) 二(x k(x, ：) , x k(x,：)2 2 2 2= (x,x) k(x,:) k(x,: ) k (x,: ) (:

34、,: )=(x,x)2k(x,：)2 k2(x, ： )2(：,：)A是正交變換=(A(x)，入(x) =(x, x)2 2k 一丄(：,：),2000)設A是正交矩陣，證明：2(x, ： ) k(x, ： ) (： , ： ) =012. (北京工業大學(1) A的行列式等于1或-1; A的特征值的模等于1;如果是A的一個特征值，值那么也是A的一個特征值；(4) A的伴隨矩陣也是正交矩陣；如果A的行列式等于-1,那么-1是A的一個特征值；證明(1) ata = e,那么 ata設B是正交矩陣且 A= B,那么A+B=0.=E| =1,=1, A e R,于是 A=1 或1.(2) 令 M=h

35、a,aM0,那么 a H ah = ¥心 H ,于是 口 H a H a HH«1 HH ，因此(二)=0,而二 h：£a0,因此-1.九E A =1九(E _ A)=需E _丄An=扎ATA丄 A=%n A. ATE =(丸廣 A.E-A/u/u1如果 hE A = 0,而(&)n| A 式 0,那么一E A = 0。/u*dt(4) AA 二 AE，那么 A 二 AA 二 AA .(A*)T = A A,因此A*(A*)T = A2AA 二 E.所以A*也是正交矩陣.(5) 卜E A = -AA-A=A：-A-E=-E-A,因此，E A =0即卩1是A

36、的一個特征值.(6) A +B| =|A，E +AB.= A，BTB +AB = A，BT +AT| B' = A + B.因此 A B =0.13. (大連理工,2004)設V是4隹歐氏空間匸是V的一個正交變換，假設二沒有實特征值，求證V可分解為兩個正 交的二維二不變子空間的直和.證明 設；g冷J =(a - bi)(爲-i '-).其中a,b R, b = 0/ ,-的坐標為實數，那么 二(_：J=a:-b：(1)；(：)= a,：亠b:(2)假設：-,-線性相關，不妨令- - k> ,二()=a- kb -(a-kb)：，二有實特征值，矛盾. 因此,:線性無關，令=

37、L()，由(1),(2), W1是匚的不變子空間，又V=W二WT.由 第9題的結果，0也是二的不變子空間，顯然dim W1二dimWr =2.14. (北京大學，1996)用Rx4表示實數域R上次數小于4的一元多項式組成的集合，它是一個歐幾里得空間，其上的內積為(f,g)= 0f (x)g(x)dx設W是由零次多項式及零多項式組成的子空間，求W-以及它的一個基解-f(x)三 Rx4.令f(x) =a3xa2x a1 x a0,那么f(x)W：= (f(x),c) =0,cWcf (x) =0J(x) =04 a3 -3 a2 2 ai a。=0關于ag,a2,ai,a°的齊次線性方程

38、組的根底解系為(4,0,0,-1), (0,3,0,-1), (0,0,2,-1).因此,W = f (x) Rx44x3 - 1,3x2 - 1,2x -1 是W 闿勺一個基.15. 北京大學,1997設匚是n維歐氏空間V內的一個線性變換，滿足", =-：,；：，-】，71假設是二的特征值 證明怎-0 ;證明V內存在一組標準正交基，使匚2在此組基下的矩陣為對角矩陣3設二在V的某組基下的矩陣為 A，證明:把A看作復數域C上的n級方陣，其特征值必為零或純虛數于是證明1設；： - t ,; =0,二 R.；:，：=出,:=,：(1)另一方面；:，：= :,；:= ,：由1,2兩式2 (_

39、：:, 一:。= 0且=0,所以=0.令；1, 2,，；n是V的一個標準正交基，二在這組基下的矩陣為 A, A=ajn n,那么aji=二；i，；j=a1i；1aji；jani；n，；j aj - ；i,二；j = ；i,a1jaijanj ；n由 O j 一 ；i，；j,那么aj -3ji，i, j =1,川,n.所以A是反對稱矩陣,A'：A.2 2 2 _ 2A -A =A二A .所以；由 r m _0,那么 AA0.假定 s n由 R(A)乞 n,那么 R(AA)R(A)乞 n：s, AA =0，矛盾，所以 s _ n. 令1, '2,，s為AA的特征值.由AA是s階半正

40、定矩陣，那么i _0,i =1,，s.而AA' 0,那么 1,，2, , s =AA 0,于是'i 0,i =1, , n.16. (北京大學,2001)在實數域上的n維列向量空間 Rn中,定義內積為 Or-,從而Rn成為歐幾里得空間.(1)設實數域上的矩陣在基彳，；2,，；n下的矩陣A是實對稱矩陣因此，V內存在一組標準正交基,使廣2 在此組基下的矩陣為對角矩陣。(3)：_ ( 1 , ?，2 , ? n )二(冷，-2 , ，? n ) A.令 A 二：'*, -0.那么(A )H =(H, H AH = H 人丁 =：H AH.最后一個等式兩邊右乘-；,由A =，,

41、于是C.亠；.)H=o,且=o,那么 -0.所以是0或純虛數15.(北京大學,2000)設實數域上的sx n矩陣A的元素只有0和1,并且A的每一行元素的 和是常數r, A的每兩個行向量的內積為常數m,其中m：r.(1)求 AA(2) 證明 s n ;(3) 證明AA 的特征值全為正實數設A=(aj )s知,由 aij =0或1,令A= (ai1,土 j, A/A= r,i, j=1,，s. 于.曰是AAAA；IIIAXrmIIImA?"a2a2IIIA2A；mrIIIm川IIIIIIIIIinAsAAsA2IIIAsA；mm111rAA =Ai Aj =m _0,iai2,，am),

42、i =1,，s 那 么$1_35-2A= 2 13 1-1-794、J求齊次線性方程組 AX =0的解空間的一個正交基(2)設A是實數域 R上的s n矩陣，以W表示齊次線性方程組AX =0的解空間，用U表示A 的列空間(即A 的列向量組生成的子空間)證明:U =W-.解(1)對系數矩陣A施行行初等變換-35 -2、1-35-2、10451、q0451、5A =-21-3 1 It0-573 |t-5-3T01735I-1_79 -4丿e-1014_6丿000000kJJ4.1X1X3X4J5573X2X3X4i 55根底解系為-4y(1、7-3% =50<0丿<5丿將冷，2正交化，

43、令= :j ：2 二：'2C'2, -1:nnj 118-21925、90丿那么J是W的一個正交基% 'A= A2 ,那么 A" = A；, A；,，A：lAs丿設R(A)二n-r，r，r是齊次線性方程組 AX =0的一個根底解系，那么W 二L(：仆：2,，:，且 dimW 二rA： j =0, j =1,2, rj A =j A1 , A?, As = -：i j A，-：j A2 ,，二j As = 0, j h , r.U 二 LA；,A2，,As.那么 U 二 W,又 dimW 二 n _ r =dim U ,所以 U =W-.17. (武漢大學，19

44、95)設A是n階正交矩陣,虛復數.是A的特征根,Z是屬于，的特征 向量,令 Z =X iY,其中X,丫為實向量,證明：(1) 的模等于1；(2) X與丫的長相等且X與 丫正交.證明(1)見第12題(2).(2)令 A(X iY)=(a bi)(X iY),X=O或Y = 0,由(1),a2 b2=1,a,b R,b = O于是AX =aX -bY(1)AY =bX aY(2)由A是正交矩陣，兩邊左乘A；有X =aA X -bA Y(3)Y =bAX aA Y(4)a (3) b (4),有aX bY =(a2 b2)AX 二 AX轉置,aX bY = X A(5)由式aXX bYX =XAX

45、=X (aX bY) =aXX -bX Y因此2bX Y =0,且b =0.那么 X Y = 0.(5)式兩邊右乘Y,再由(2)aX Y +bY Y = X Ay = X (bX +aY) = bX X +aX Y于是bYY =bX X.而b = 0因此 YY =XX.18. (武漢大學,2003)設f是n維歐氏空間V的對稱變換(即f是V的線性變換，且對 任意：V , (f ), ：) = (，f (:),證明：f的像子空間Im f是f的核子空間ker f的正交補子空間.證明 由正交補的唯一性，只要證明 kerf =(lmf)-.-ker f, f ( ) =0, . ：；一 Im f,存在卩

46、:=V,使f (I')=:-那么(,：)=(,() =(f(), 1)=(0, 1)=0.于是 -；：=(I mf -)從而 ker (flm反之，.I 三(Im f) -, - : Im f,(，二)=0.取=f(f(),那么(，f(f( ) =(f( )，f( ) =0.因此 f( ) =0,即匚kerf,從而(Imf) ker f所以kerf =(lm f)_,從而 Im f =(kerf)-.19. 武漢大學，2005在歐氏空間R3中,F：=a,b,c為一單位向量，線性變換匚定義為；：-:- 2,，.工三 R31證明匚是R3的一個正交變換;求二關于R3的基q =1,0,0忌=0

47、,1,0,包=0,0,1的矩陣A.證明1由是單位向量，那么，J=1.匚是R3的線性變換，；:，；:=: -2，： -2，=：,：-4： , 24： , 2,=二，二因此c是正交變換.2ce-| =e-| -2q, =1 - 2a2 e-| - 2abe2 - 2ace3二e2 =e22e2,= -2abe11-2b2e22b ce匚氏=e3 -2e3, = -2a ce-2b ce 1 -2c2e3所以；咲于基e1,e2,e3的矩陣/ 2 、1 2a2 ab 2ac2A= -2ab 1 -2b-2bc-2ac -2bc 1 2c220.武漢大學，1996證明n維歐氏空間中至多有n 1個向量，其

48、兩兩之間的夾角都大于900.證明 對n用數學歸納法證明當n =1時,設有3個向量r，其兩兩之間的夾角都大 于90 ,令V = L ；J,且|訃=1,那么>1 二印；1,2 二 ；1,3 二 a3；1,、冷，、=玄1玄2 ： 0,'冷，'S=玄1玄3 ： 0,圧2，'S =玄2玄3 ： 0心1, a?,玄3兩兩異號是不可能的. 因此當n =1時結論成立.假定n =k -1時結論成立，當dim V =k,假設V中有k - 2個兩兩夾角都大于90°的向?1 ,，-;k , -k 1 , -k 2.令；1：'1將j擴充成V的一個標準正交基i =2, k

49、2.:-i 二玄訂；i - ai2 ；2 _aik ；k由(oti ,cti) =gi aii <0,那么aii c°,i =2,，k + 2.$ 71 ；iL( ；2, ；Q, i =2, k 2.(_：ii aii i，二j aji ；i) = (_：，二j) aa ji ： 0,i = j, i, j = 2,，k 2.于是L；2川I, ；k中有k 1個兩兩夾角都大于90的向量,矛盾所以結論成立.21.武漢大學,19960 b -cA = b 0 ac a 0為實矩陣，令=A2 qA E,q =a2 b2 c2 , E為單位矩陣，問:當且僅當q為何值時，B是正交矩陣？解

50、B B =A2 -qA EA2 qA E二A 2A2 E -q2A2B是正交矩陣 =BB =E= A4 =(q2 -2)A2=九3 +(a2 +b2 +c2)h=(&2 +q)那么 A4=(q2-2)A2= q2a2- $),r =0, .；2 = ., qi,幾3二-.qi是A的特征值，那么存在可逆矩陣T,使1T AT =0Jqi_、 丿fo、2q,T，(q2 22 _2)A2T =2q(2 -q )2<q丿<q(2-q2)當q =0,那么B是正交矩陣.2 2 2 2 2當q =0, q =2q ,q q2 =0,那么(q 2)(q1) = 0,于是q = -2,q =1,由q = a b c , 那么q _0,因此q =1所以當q =0,1時B是正交矩陣.22. 四川大學,1996 S為n維歐氏空間V的非平凡子空間，飛三V,匕2 :,S, S,給定'tJ-M,證明是V的線性、對稱、幕等變換.證明 V = S二S,那么給定的是V的一個變換,丫 二，： V ,= r V 2 , ： = r ：2,-卯，-r