1、閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問(wèn)題一、 教材分析1、教學(xué)背景二次函數(shù)是重要的初等函數(shù)之一，很多問(wèn)題都要化歸為二次函數(shù)來(lái)處理。二次函數(shù)又與一元二次方程、一元二次不等式有著密切的聯(lián)系，因此必須熟練掌握它的性質(zhì)，并能靈活地運(yùn)用它的性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題。二次函數(shù)在高考中占有重要的地位，而二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值在各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用，主要考察我們分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想。這節(jié)課我們主要學(xué)會(huì)應(yīng)用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素：拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和區(qū)間的位置。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。2、學(xué)情分析從心

2、理特征來(lái)說(shuō)，高三學(xué)生邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。但同時(shí)，作為普通高中美術(shù)班的學(xué)生，學(xué)生層次參次不齊，個(gè)體差異比較明顯。大部分學(xué)生接受能力較慢、注意力容易分散，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和興趣不夠，所以在教學(xué)一方面運(yùn)用直觀生動(dòng)的形象，引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面，要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生自信心。從認(rèn)知狀況來(lái)說(shuō)，學(xué)生在此之前已經(jīng)復(fù)習(xí)了函數(shù)定義域、值域以及單調(diào)性，對(duì)二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱軸已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，這為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)，但對(duì)于閉區(qū)間上“動(dòng)對(duì)稱軸和動(dòng)區(qū)間”的二次函數(shù)最值

3、，由于其抽象程度較高，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生一定的困難，所以教學(xué)中應(yīng)予以簡(jiǎn)單明白，深入淺出的分析。3、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：軸定區(qū)間定的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題，軸變區(qū)間定的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值，軸定區(qū)間變的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題難點(diǎn)：軸變區(qū)間定的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值，軸定區(qū)間變的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題二、 教學(xué)目標(biāo)分析1. 會(huì)結(jié)合圖像與函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論，求解一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，提高學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)。2. 了解圖像與函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。3. 經(jīng)歷從“軸動(dòng)區(qū)間定”到“軸定區(qū)間動(dòng)”的類(lèi)比推理，培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)

4、比推理能力；使學(xué)生養(yǎng)成積極思考，獨(dú)立思考的好習(xí)慣，并且同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。三、教學(xué)方法：類(lèi)比推理法，講授發(fā)現(xiàn)法四、教學(xué)過(guò)程分析1. 課前回顧回顧：一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸為_(kāi)，頂點(diǎn)為_(kāi)。時(shí)，在_上是增函數(shù)；在_上是減函數(shù).2. 精析例題1) 軸定區(qū)間定：二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1. 函數(shù)在下列區(qū)間上最值： （1） （2） （3） （4）【學(xué)情預(yù)設(shè)】例1是最基本的題型，學(xué)生可以自己完成.（1）是學(xué)生非常熟悉的二次函數(shù)在的最值問(wèn)題，在初中就已經(jīng)解決過(guò)了；（2）、（3）、（4）依次是對(duì)稱軸在閉區(qū)間右側(cè)、內(nèi)部、左側(cè)的情形，通過(guò)

5、觀察圖像，運(yùn)用單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)也可以解決.這里難度較大的是如何讓學(xué)生討論例出此類(lèi)題型的最值的規(guī)律，故要借助圖像引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出解法及規(guī)律.2) 軸定區(qū)間變：二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例2. （1）如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。（2）如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最大值。（3）如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最值。解：分別設(shè)在上的最大、最小值分別為，則由對(duì)稱軸為，分4種情況討論：（1），即時(shí)，（2）時(shí)，（3），即時(shí)，（4），即時(shí)，綜上，【學(xué)情預(yù)設(shè)】例2是難度較大的題型涉及到分類(lèi)討論以及字母的推理運(yùn)算，因而通過(guò)三小問(wèn)來(lái)分解難度。教師要借

6、助幾何畫(huà)板引導(dǎo)學(xué)生觀察出變化時(shí)相應(yīng)的區(qū)間在變化，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像也隨著變化，從而影響到最值.教師注意和學(xué)生互動(dòng)討論并且在黑板上演示規(guī)范化解題的格式.學(xué)生對(duì)于是關(guān)于參數(shù)的函數(shù)較難理解，教師要注意用函數(shù)概念加以說(shuō)明，此處也是讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念螺旋式上升理解的一個(gè)具體例子. 學(xué)生討論歸納例2的解題方法和規(guī)律時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比軸變區(qū)間定的情形結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論，注意明確：如果兩個(gè)自變量的值到對(duì)稱軸的距離相等，則我們的函數(shù)值也相等，離對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，我們的函數(shù)值越大的性質(zhì)來(lái)求解函數(shù)的最大值的表達(dá)式。3) 軸變區(qū)間定：二次函數(shù)隨著參數(shù)的變

7、化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。方法：結(jié)合二次函數(shù)的圖象，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系： 軸在區(qū)間右邊 軸在區(qū)間左邊 軸在區(qū)間內(nèi) 例3. 已知在上的最小值為，求的解析式.解：對(duì)稱軸，分三種情況討論（1）時(shí)，（2）時(shí)，（3）時(shí)，綜上，【學(xué)情預(yù)設(shè)】例3是與例2有區(qū)別的另一類(lèi)難度較大的題型，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,學(xué)生可以對(duì)比例2的解題過(guò)程討論出例3的解題方法和規(guī)律來(lái). 如果時(shí)間允許，例3將為學(xué)生提供一次數(shù)學(xué)猜想、試驗(yàn)的機(jī)會(huì). 例3設(shè)置的目的是為學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)提供平臺(tái)，當(dāng)然，如果課堂上時(shí)間允許的話，可借助“多媒體課件”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的

8、結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證. 【設(shè)計(jì)意圖】例3通過(guò)講解讓學(xué)生體會(huì)解題過(guò)程中注意分哪幾類(lèi)討論，做到不遺漏不重復(fù)，同時(shí)怎樣結(jié)合圖像求解函數(shù)的最值，并且引導(dǎo)學(xué)生注意解題的規(guī)范性.3. 歸納整理1) 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法:四看(開(kāi)口方向、相對(duì)位置、單調(diào)性、最值點(diǎn))加一看（看圖像）.2) 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的規(guī)律:兩大類(lèi)（對(duì)稱軸在閉區(qū)間內(nèi)、外）四小類(lèi)（對(duì)稱軸在閉區(qū)間左側(cè)、右側(cè)、內(nèi)部靠近左端點(diǎn)、內(nèi)部靠近右端點(diǎn)）.3) 本節(jié)課用到的數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想.本節(jié)課涵蓋了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值中出現(xiàn)的常見(jiàn)問(wèn)題，不論是正向型還是逆向型，設(shè)計(jì)中主要體現(xiàn)在它們總體解題思路是：1、確定開(kāi)口;1、根據(jù)對(duì)

9、稱軸和區(qū)間的三種位置關(guān)系：（1）軸在區(qū)間右邊；（2）軸在區(qū)間左邊；（3）軸在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)這三種位置關(guān)系一一分類(lèi)討論并且結(jié)合二次函數(shù)圖像及性質(zhì)求解。在過(guò)程中我們運(yùn)用了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化規(guī)三種重要的數(shù)學(xué)思想方法。4. 課堂檢測(cè)1) 已知函數(shù)，上的最值。2) 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)的值。點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，本練習(xí)要求學(xué)生會(huì)求解已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值時(shí)函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值，并可由此總結(jié)得到，不管是哪一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵都是確定開(kāi)口和對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。5. 結(jié)束語(yǔ)數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非！ 華羅庚 【設(shè)計(jì)意圖】借

10、助名人名言再次強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性.6. 作業(yè)設(shè)計(jì)（一）課后習(xí)題A組一一必做題1) 函數(shù)在下列區(qū)間上最值：（1） （3） （4）2) 函數(shù)，求函數(shù)的最值。3) 函數(shù)，求函數(shù)的最值。【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生應(yīng)用探究所得知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題，進(jìn)一步鞏固和提高二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求解方法與規(guī)律.本節(jié)課是由實(shí)例引入的，課后讓學(xué)生思考完成實(shí)例，從而達(dá)到學(xué)以致用、解決實(shí)際問(wèn)題的目的.（二）課后習(xí)題B組一一選做題4) 已知，在區(qū)間上的最大值為，求的最小值。5) 如何求函數(shù)的最值？【設(shè)計(jì)意圖】讓部分學(xué)有余力的同學(xué)積極去完成，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.五、板書(shū)設(shè)計(jì)閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問(wèn)題1)軸定區(qū)間定2)軸定區(qū)間變例2過(guò)程2)軸變區(qū)間定例3過(guò)程六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明一方面二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是困擾學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)和教師教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樵诮忸}過(guò)程中滲透著學(xué)生不太容易掌握的分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 另一方面，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值屬于程序性知識(shí)，需要教師運(yùn)用理性的教學(xué)方法，讓學(xué)生在認(rèn)知單調(diào)性與最值等相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上熟練掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問(wèn)題的一般解法和規(guī)律.哈爾莫斯曾說(shuō)