1、頁1第2020屆湖南名師聯盟高三第一次模擬考試卷理科數學注意事項:1 答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼 在答題卡上的指定位置。2 選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3 非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和 答題卡上的非答題區域均無效。4 考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 已知集合 A =y|y =2x,x

2、R ,B二x| y = lg(2 - x)，則 B 二()A.(0,2)B.(：,2C.(：,2)D.(0,22若復數z滿足 z(i-1)=2i ( i 為虛數單位)，則Z為( )A1 iB.1 -iC.-1 iD -1 -i3.AQI即空氣質量指數，AQI越小，表明空氣質量越好，當AQI不大于100時稱空氣質量為“優良”，如圖是某市 3 月 1 日到 12 日AQI的統計數據，則下列敘述正確的是()AQI_|_|_|_|_|_L_l_I_I_I呂1*鈕曲弟店住晉弄日亦A.這 12 天的AQI的中位數是 90B.12 天中超過 7 天空氣質量為“優良”C從 3 月 4 日到 9 日，空氣質量越

3、來越好D.這 12 天的AQI的平均值為 1004.已知平面向量 a = (2,3)，號證考準名姓級班頁2第b= (x,4)，若 a (a - b)，則 x =()頁3第中有女隊員的概率為（）7.函數 f（x） = .3sin（2x）（| h 寸）的圖象向左平移才個單位長度后，所得到的圖象關于原點對稱，則等于（）.nB .-丄C.n6638 .下圖是某實心機械零件的三視圖，則該機械零件的表面積為（）9.函數 f（x）=l n（xV）-x2的圖象大致是（）A. 1C. 2D. 35.某圍棋俱樂部有隊員5 人，其中女隊員 2 人，現隨機選派 2 人參加圍棋比賽,則選出的 2 人6 .已知 m, n

4、 表示兩條不同的直線,A.若 m/： , n/ ：,貝 U m/ nC .若 m - - , m _ n ,貝 U n/:-表示平面， 下列說法正A.66 2nB.66 4nC. 66-2nD.66-4nB.3規亠F2頁4第10正三角形 ABC 的邊長為 2，將它沿高 AD 折疊，使點 B 與點 C 間的距離為 3 ,則四面體 ABCD 外接球的表面積為（）A.6nB.7nC. 8n11. 有如下命題：函數y二sinx與 y=x 的圖象恰有三個交點；函數y=s in x與y = .x的圖象恰有一個交點；函數y =sinx與 y = x2的圖象恰有兩個交點；函數 y =sinx與 y = x的

5、圖象恰有三個交點，其中真命題的個數為（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若函數 f（x）二（x）（x2ax b）的圖象關于點（-2,0）對稱，為,X2分別是 f x 的極大值點與極小值點，則 X2-X1二f）A. -、3B. 2、3C. -2,3D. 一 3二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分.13._ 在 ABC 中，若AB=TT3， BC=3， C=120，貝 U AC =_ .T T14. 如圖，圓 C （圓心為 C ）的一條弦 AB 的長為 2，則AB，AC =_15._在（1+X+A/7）4的展開式中，x2項的系數為_ （結果用數值表示）16. 定義在正實數上的函數

6、f （x） =x x，其中x表示不小于x的最小整數，如0.2 =1,D.9n頁5第1.6 =2，當（0,n，n N*時，函數 f（x）的值域為代，記集合 A 中元素的個數為 a.，則三、解答題：本大題共 6 大題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （ 12 分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，AB=2.3，AC = 2，. ADC - CAB = 90，設DAC - v .(1) 若二=60，求BD的長度;(2) 若 ADB =30，求 tan,.18.（12 分）為了解全市統考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000 名考生的成績，頻率分布直方圖如下圖所示.頁6

7、第（1）求這 4000 名考生的平均成績X（同一組中數據用該組區間中點值作代表）；(2 )由直方圖可認為考生考試成績 z 服從正態分布N(JF)，其中，二2分別取考生的平均 成績X和考生成績的方差s2，那么抽取的 4000 名考生成績超過 84.81 分(含 84.81 分)的人數 估計有多少人？(3 )如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況，現從全市考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過 84.81 分的考生人數為，求 P(、3).(精確到 0.001)附： s2=204.75，、204.75 14.31；2ZN(4,CT2)，貝 U P(Per vz +b) = 0.6826，

8、P(42 貯 c z 4+2r) = 0.9544；30.841340.501.19. (12 分)如圖，二棱柱 ABC AEG 中，也 B1AA = GAA = 60 ， AAj= AC = 4， AB = 2，P，Q 分別為棱 AA，AC 的中點.頁7第(1 )在 BC 上確定點M，使 AM /平面 PQR，并說明理由;(2)若側面 ACGA 丄側面 ABB.A，求直線 AG 與平面 PQR 所成角的正弦值.20.(12 分)已知兩直線方程與2： y = -x，點 A 在 li上運動，點 B 在上運動, 且線段 AB 的長為定值2、2.(1) 求線段 AB 的中點 C 的軌跡方程；(2)設

9、直線 l :kx m 與點 C 的軌跡相交于M, N 兩點，O 為坐標原點，若koMko5，求原點 0 到直線 l 的距離的取值范圍.41121.(12 分)已知函數f (x)二一e22)X2e f ()x.22(1 )求f(x)的單調區間；(2)若存在X1, X2(X1：X2)，使得 f (xjf 區)=1，求證:x1X2： 2 .頁8第請考生在 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22. ( 10 分)【選修 4-4:坐標系與參數方程】在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為x八3 2co(:.為參數)，直線 C2的方| y = 2 2sin二程為y=，以坐標

10、原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.3(1) 求曲線G的極坐標方程；(2) 若直線 C2與曲線G交于 P，Q兩點，求|OP| |OQ|的值.頁9第23.(10 分)【選修 4-5:不等式選講】已知函數f (x) =| x一m|一|2x 2m |(m . 0).(1 )當 mJ 時，求不等式f(x)_1的解集；(2)若-X- R，LR，使得f(x)|t -1|：|t 1|，求實數 m 的取值范圍.2020屆湖南名師聯盟高三第一次模擬考試卷理科數學答案一、選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】A【解析】IA =y |

11、y =2x,x：二 R = y| y 0,B x| y =lg(2 -x)二x|2 -x 0 = x|x：2 = (-：,2), AB -x|0 : x i1ir 2 3、-2r-12. 【答案】C【解析】由題意可得f(-2) =3(4-2a b) =0，函數圖象關于點(20)對稱，且f 1，故f(-5)=0， 即f (-5) =6(25 -5a b) =0，故函數的解析式為 f(x) =(1 x)(x2 7x 10) = x36x23x 10,f (x) -3x212x 3 = -3(x24x 1),結合題意可知：xi,x2是方程x24x0的兩個實數根，且xix2,故 x?_ Xi = |

12、Xi- x?(Xi X2) _ 4XiX2 _42一 4 i 二-2 3 .二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分.13. 【答案】i【解析】由余弦定理得i3=9AC23AC，解得 AC =i 或 AC =-4 (舍去).14. 【答案】2【解析】過點 C 作 CDAB 于 D，則 D 為 AB 的中點，TTTTT TTIT2二AB AC =AB (AD DC) =AB AD | AB |=2 .i5.【答案】i9據此結合排列組合的性質可得 x2項的系數為c4c；c；C4C3C1C!C4-6 i2 i9.i6.【答案】詈【解析】易知：當 n 胡時，因為（0,i，所以X =i，所以x X

13、=1,所以 A =1，ai.當 n =2 時，當 X，（1,2，則x=2，所以xx（2,4，所以 A 二1,3,4，a?=3 .當 n=3 時，當 x (2,3，則x =3，所以x X二3X(6,9，【解A =1,3,4,7,8,9,亂=6 ;當 n =4 時，當 x (3,4，則x =4，所以x x二4x (12,16, 所以 A 二1,3,4,7,8,9,13,14,15,16 ,a10 ;當 n =5 時，當 x (4,5，則x =5，所以x x二5x(20,25,所以 A -1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25，a -15 .由此類推：an=an

14、l- n .故an=印2-印)3七2)川(an-anj=1 2 3川n =n(；1三、解答題：本大題共 6 大題，共 70 分，解答應寫出文字說明、_ 217.【答案】（1） 19 ; （2） 込.3【解析】（1）由題意可知，AD =1，在厶 ABD 中， DAB =150，AB =2、, 3，AD = 1，由余弦定理可知，BD2=(2 .3)212一22 31(一-)=19， BD19 .(2)由題意可知， AD =2cos， - ABD =60 - v18. 【答案】（1）x =70.5分；（2）約 635 人；（3） 0.499 .【解析】（1）由題意知：中間直45556575S5950

15、0450,20.30.1- x=45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 = 70.5， 4000 名考生的競賽平均成績x為 70.5 分.證明過程或演算步驟.在厶 ABD 中，由正弦定理可知,ADABsin ABD - sin ADB2cossin(60 -巧 tan& =43 .3（2）依題意 z 服從正態分布 N（；2），其中二又=70.5，二2二 D =204.75,二 14.31, z 服從正態分布 N（；2） = ”（70.5,14.3 冇,而P（-；：z：；）= P（56.19 : z：84.81） = 0.6826,1 0.

16、6826 P（z _84.81）0.1587.2競賽成績超過 84.81 分（含 84.81 分）的人數估計為 0.1587 4000 = 634.8 人635 人.（3）全市競賽考生成績不超過 84.81 分的概率 1 -0.1587 = 0.8413.而 、B（4,0.8413），二P（乞3） =1 -P（ =4） =1-C：0.84134: 1 -0.50仁0.499.19. 【答案】（1）詳見解析；（2）三9.13【解析】（1）取 BB1中點 E，連結 AE , BQ ,在厶 BRQ 中，取 H 為 BQ 中點，連接 EH,AH，則 EH / B.Q , 延長 AH 與 BC 交于點

17、M，則 M 即為所求點，ABB.A 為平行四邊形，點 E , P 為中點，貝 U AE / PB,由線面平行的判定定理可得 AE/平面 PQB ,同理可得，EH/平面 PQB,又 AEEH=E,RPDEQ,據此可得平面 AME/平面 PQB1，故 AM /平面 PQB .（2）作 00 丄平面 ABBA，與 AA 延長線交于 O , 則AO = 1,QO = 3, 0= 25 4-2 5 2 19，二QR =22, BP=2 ,PQ=23，二 cosQPB =12十；222 沃 2 丁 3 漢 2作 PN /GA，則直線 AO 與平面 PQB1所成角即直線 PN 與平面 PQR 所成角, sn

18、QPR,4-SA PQB1A二2、3 2241 _ _ 1 _ _=4：丿3=2.3, VB1_PQ- 323.3 =2.231 V394.139設N到平面噸的距離為h，則3-2，-，-SAPQNx2220.【答案】【解析】(1)：點 A 在li：y = -x上運動,點 B 在12： -22x上運動,設A(xi，lFxi)，B(x2J)，線段 AB 的中點C(x,y)，則有寧，2 2yx12x2廠2， % X2=2x, x x2=22y ,T線段 AB 的長為定值2 2, (x1- x2)2( x1?X2)2=8,2 22即(2$y)2(J2x)2=8，化簡得y1 ,42線段 AB 的中點 C

19、 的軌跡方程為yU(2)設 M 區小),N(&,y4)，聯立 42x2.y= 1,得(4k21)x28kmx 4m2-4 =0 , 二(8km)2-4(4k21)(4m2-4) 0 ,令 h(x) =e2(x一 2x 1 , h(x) =2e2(x)-2=2(ex 1)(ex-1), X =1時，函數f (x)取得極小值即最小值，f (x)一f (1) = 0, 函數f (x)在 R 上單調遞增.(2由可得：函數心弓嚴在R上單調遞增. 要證明：x1x2：2=x-!：2x2二 f(xj： ：f(2x2),又 f(x) f(X2)=1，因此 f(G：f(2 -X2)= 1 f(X2)：f(

20、2 - X2),11即 f (X2) f (2 -X2) -1 0 ,f (1)1 1，則 &：1：X2,22令g(x) = f (2 -x) f (x)-1 =e2(1一(2 x)22 x亠2)-x2x _12 212(1 x)12(x1)_2-ee-2x4x -3,22化簡得m，則禺X4-眾，g 甘，2 2y3y4=(kx3m)(kx4m) = k x3x4km(x3x4) m,若koM“4，則，即4y3y-5x3X4，X3X4所以4k2x3x44km(x3x4) 4m2二5x3x4,2即(4k2一 5)仆 4km(-瞬)4m=04k +14k +1化簡得m2 k25,由得。川冷，卻宀4，因為 O 到直線 I 的距離d二一竺，所以 d2+k2一1+92 2 2 ?1 k 1 k4(1 k )又因為丄：:k2乞5，所以0乞d2:8,2047所以 O 到直線 I 的距離的取值范圍是0,守).21. 【答案】(1)函數f(x)在 R 上單調遞增；(2)證明見解析.【解析】(1)f(x)=e2(z1-2x e f (),21一1，則(2)*e fC)，解得f(1)11， f (x) =e22 -2x 1,2 e2( x書x 1 ,g(1) =0, g(x)= 一嚴嚴4x 4 ,令(x)二-