1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波夏 丹天津理工大學天津理工大學 電子信息工程學院電子信息工程學院 學科基礎課學科基礎課Electromagnetic Fields and Waves2015.09 2015.12Email：聯系方式：聯系方式：Email：EI_密碼：密碼：dianxin課程信箱：課程信箱： 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 教材及參考書教材及參考書 謝處方、饒克謹謝處方、饒克謹 編，楊顯清、王園、趙家升編，楊顯清、王園、趙家升 修訂修訂. 電磁電磁場與電磁波（第場與電磁波（第4版）版）. 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2006.馬冰然馬冰然. 電磁場與微波技術（上冊）（

2、第電磁場與微波技術（上冊）（第2版）版）. 廣州：華南理工大學出版社，廣州：華南理工大學出版社，1999.美 N. Ida, J. P. A. Bastos. Electromagnetics and Calculation of field. 北京：世界圖書出版社，1999.鐘順時. 電磁場基礎. 北京：清華大學出版社，2006.美 Bhag Singh Guru. 電磁場與電磁波. 北京：機械工業出版社，2002. 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 課程的性質和任務課程的性質和任務 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 課程學習的目的課程學習的目的大學物理（電磁學）高等數學電磁波理論電磁波理論電路理論

3、電子技術高頻電路 通信原理計算機課程信號處理微波電路微波通信衛星通信移動通信光纖通信信號與系統電磁理論知識是專業知識大廈地基的主要組成部分電磁理論知識是專業知識大廈地基的主要組成部分 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 課程的主要內容課程的主要內容 核心核心：電磁場電磁波的基本規律、基本計算方法及：電磁場電磁波的基本規律、基本計算方法及 工程應用工程應用數學數學：MaxwellMaxwell方程組的建立、求解和應用方程組的建立、求解和應用 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 課程的特點課程的特點 需要用到偏微分、多重積分、矢量分析和場論等；需要用到偏微分、多重積分、矢量分析和場論等； 涉及的大多數物理量都

4、是矢量場，不僅是時間的函數，涉及的大多數物理量都是矢量場，不僅是時間的函數， 還是空間分布的函數，概念抽象。還是空間分布的函數，概念抽象。 從實驗出發，總結出規律從實驗出發，總結出規律(公式和方程，數學推導多公式和方程，數學推導多)； 根據規律，針對不同的情況，采取相應的求解方法解決根據規律，針對不同的情況，采取相應的求解方法解決 不同的實際問題；不同的實際問題； 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 課程學分、學時課程學分、學時 4學分，64學時（其中，理論課52學時、實驗課12學時）； 本學期第116周有課； 各周課時安排：116周 星期二 34節 （16-0106） 112周 星期五 12節 （

5、16-0106） 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 課程考核方式及各環節所占比例課程考核方式及各環節所占比例平時作業占平時作業占5；考勤和課堂表現占考勤和課堂表現占5。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 目目 錄錄 緒緒 論論 第一章第一章 矢量分析矢量分析 第二章第二章 電磁場的基本規律電磁場的基本規律 第三章第三章 靜態電磁場及其邊值問題的解靜態電磁場及其邊值問題的解 第四章第四章 時變電磁場時變電磁場 第五章第五章 均勻平面波在無界空間中的傳播均勻平面波在無界空間中的傳播 第六章第六章 均勻平面波的反射與透射均勻平面波的反射與透射 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 第八章第八章 電磁輻射電磁輻

6、射 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 緒緒 論論一、電磁場理論的發展歷史一、電磁場理論的發展歷史最初，人們只能定性觀察電現象、磁現象。最初，人們只能定性觀察電現象、磁現象。電磁場理論發展中的重大事件：電磁場理論發展中的重大事件：1785年：年：（Coulomb）1820年：電流磁效應（年：電流磁效應（Oersted） （Ampere） （Biot & Savart）1831年：年：（Faraday）1864年：位移電流假說，年：位移電流假說，（Maxwell）1888年：試驗證明電磁波存在（年：試驗證明電磁波存在（Hertz） 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、電磁場、電磁波和工程應用二、

7、電磁場、電磁波和工程應用1. 電磁場、電磁波電磁場、電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 2. 電磁場理論的工程應用電磁場理論的工程應用 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 矢量代數矢量代數1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系 1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量

8、場的環流與旋度矢量場的環流與旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.1 矢量代數矢量代數 1.1.1 標量和矢量標量和矢量 電磁場中遇到的絕大多數物理量， 能夠容易地區分為標量（Scalar）和矢量(Vector)。一、定義一、定義 標量：標量：只有大小，沒有方向的物理量。如電壓、溫 度、時間、質量、電荷等； 矢量：矢量：既有大小，又有方向的物理量。如電場、磁 場、力、速度、力矩等。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、零矢量和單位矢量二、零矢量

9、和單位矢量 零矢量：零矢量：大小為零的矢量，稱為空矢（Null Vector）或 零矢（Zero Vector）； 單位矢量：單位矢量：大小為1的矢量（Unit Vector）。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 三、矢量的表示方法三、矢量的表示方法 幾何表示：幾何表示：有向線段。如圖1.1.1所示，線段的長度表示矢量 的模，即大小 ，箭頭方向表示該矢量的方向。| AAP圖1.1.1 P點處的矢量 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 數學表示：數學表示： 若用 表示與矢量 同方向的單位矢量，則有：AeA| AAeA(1-1-1) 矢量 可表

10、示為：A| AeAA(1-1-2) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 其中， 為其模值，表征矢量的大小； 為單位矢量，表征矢量的方向。| AAe注：矢量書寫時，印刷體為場量符號斜體加粗斜體加粗，如 。教材上符號即為印刷體。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.1.2 矢量的加法和減法矢量的加法和減法圖圖1.1.2 矢量的加法和減法矢量的加法和減法 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖圖1.1.3 矢量的減法矢量的減法)( BA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1. 標積（點積或點乘）標積（點積或點乘） 兩個矢量的標積是一個標量，定義為這兩個

11、矢量的大小與它們之間較小的夾角(0)的余弦之積：A 1.1.3 矢量的乘法矢量的乘法一、矢量與標量的乘法一、矢量與標量的乘法乘積仍為矢量： 當k大于0時，該乘積與 同方向； 當k小于0時，該乘積與 反方向；A二、矢量與矢量的乘法二、矢量與矢量的乘法 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖1.1.4 兩個矢量間的夾角及其標積BcosAB(1-1-6) 如圖1.1.4所示： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 2. 矢積（叉積或叉乘）矢積（叉積或叉乘） 兩個矢量的矢積是一個矢量， 其大小等于兩個矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積：(1-1-9) 方

12、向為當右手四個手指從 到 旋轉時大拇指的方向如圖1.1.5所示。AB 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖1.1.5 兩個矢量間的矢量積 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 為了考察某一物理量在空間的分布和變化規律，必須引入坐坐標系標系。通常根據被研究物體幾何形狀幾何形狀的不同，采用不同的坐標系。在電磁場理論中，常用的坐標系有三種：、和。 任何描述三維空間的坐標系都要有三個獨立的坐標變量三個獨立的坐標變量u1、u2、u3（如直角坐標系中的x、y、z），當u1、u2、u3均為常數時，就代表三組曲面（或平面），稱為坐標面坐標面。 若三組坐標面在

13、空間每一點正交（內積為零，即相互垂直），則坐標面的交線（一般是曲線）也在空間每點正交，這種坐標系叫做正交曲線坐標系正交曲線坐標系。上述三種坐標系是許多正交曲線坐標系中較常用的三種。 空間任一點M沿坐標面的三條交線方向各取的單位矢量，稱為坐標單位矢量坐標單位矢量。它的模等于1，并以各坐標變量正的增加方向作為正方向正方向。一個正交曲線坐標系的坐標單位矢量相互正交并滿足右相互正交并滿足右手螺旋法則手螺旋法則。1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.2.1 直角坐標系直角坐標系 三個基本變量三個基本變量x、y、z 它們的變化范

14、圍均為(-, +) 。 空間任一點P(x0, y0, z0)是三個坐標曲面： x=x0, y=y0, z=z0 的交點，如圖1.2.1所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 圖1.2.1 直角坐標系坐標單位矢量 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1-2-1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 單位矢量單位矢量 、 、 過空間任一點P(x0, y0, z0)的這三個相互正交的坐標單 位矢量分別是x、y、z增加的方向，是常矢量，其方向不 隨P點位置的變化而變化，這是直角坐標系的一個重要特重要特 征征，且遵循右手螺旋法則：xezeye 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1-2-2) 其中，Ax, Ay,

15、Az分別是矢量 在 、 、 方向上的投 影。兩個矢量的加、減、乘法如前所述。 矢量表示矢量表示 在直角坐標系內的任一矢量 可以表示為：AAAxeyeze 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 其微分元為： 位置矢量位置矢量 在直角坐標系中可以表示為：(1-2-6) (1-2-7) 與三個坐標單位矢量相垂直的三個面積元分別為：(1-2-8) 體積元是：dxdydzdV (1-2-9) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.2.2 圓柱坐標系圓柱坐標系 三個基本變量三個基本變量、 z 它們的變化范圍分別為： 0, +)、0, 2、(-, +) 空

16、間任一點P(0, 0, z0)是如下三個坐標曲面的交點： =0 圓柱面圓柱面； =0 半平面半平面； (包含z軸并與xz平面構成夾角為0的半平面) z = z0 平面平面。 如圖1.2.2所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖 1.2.2 圓柱坐標系 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圓柱坐標系三個互相垂直的坐標面zz 常 數 常 數y 常 數Ox 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 22yx 以z軸作軸線的半徑為的圓柱面xyarctan(1-2-10) z=z (1-2-11) 圓柱坐標系與直角坐標系之間

17、的變換關系為：以z軸為界的半平面平行于xy平面的平面或者為： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 單位矢量單位矢量 、 、過空間任一點P(, , z)的這三個相互正交的坐標單位矢 量分別是、z增加的方向，且遵循右手螺旋法則：ezee(1-2-12) 特別強調： 圓柱坐標系中的三個單位矢量（與直角坐標系的不同） 除 外， 和 都不是常矢量，因為它們的方向隨P點的 位置（即空間坐標）不同而變化。eeze 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 兩種坐標系下的坐標單位矢量之間的變換關系：兩種坐標系下的坐標單位矢量之間的變換關系：(1.2.13) 或者圓

18、柱坐標系到直角坐標系的關系： zzyxeeeeeeee,cossin,sincos(1.2.14) 由圖1.2.3可得到直角坐標系到圓柱坐標系的關系： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 圖 1.2.3 兩種坐標系的坐標單位矢量的關系zzyxyxeeeeeeee,cossin,sincos 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 或者： 上述變換關系寫成矩陣形式分別為： zyxzeeeeee1000cossin0sincoszzyxeeeeee1000cossin0sincos 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 由式(1.2.13)可知 和 是隨變化的，且：eeeeeeeeeey

19、xyxsincoscossin(1.2.15) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.2.16) 其中，A、A、Az分別是矢量 在 、 、 方向上的 投影。 矢量表示矢量表示 在圓柱坐標系內的任一矢量 可以表示為：AeezeA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量運算： 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 其微分元為： 位置矢量位置矢量 在圓柱坐標系中可以表示為：(1.2.20) (1.2.21) 其在、z增加方向上的微分元分別是： d、d、dz. 如圖1.2.4所示。三者都是長度，與各自坐標的微分比稱為度量

20、系數度量系數（或拉梅系數拉梅系數）： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 ee 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖 1.2.4 圓柱坐標系的長度元、面積元、體積元 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 11dzdzhddhddhz(1.2.22) 與三個坐標單位矢量相垂直的三個面積元分別為： 體積元是：(1.2.24) (1.2.23) dzdddV 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.2.3 1.2.3 球坐標系球坐標系 三個基本變量三個基本變量r、 它們的變化范圍分別為： 0, +)、0, 、0, 2 空間任一點P(r0,0,0)是如下三個坐

21、標曲面的交點（球心在原點）： 半徑r=r0的球面球面； 頂點在原點、軸線與z軸重合且半頂角=0的正正 圓錐面圓錐面； 包含z軸并與xz平面構成夾角=0的半平面半平面。 如圖1.2.5所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖 1.2.5 球坐標系 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 球坐標系三個互相垂直的坐標面z 常 數 常 數r 常 數Oaaaryx 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 半徑為r的球面222arccoszyxz(1-2-25) (1-2-26) 球坐標系與直角坐標系之間的變換關系為：222zyx

22、r以原點為頂點、以z軸為軸線的圓錐面以z軸為界的半平面或者為： xyarctan 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 單位矢量單位矢量 、 、過空間任一點P(r,)的這三個相互正交的坐標單 位矢量分別是r、增加的方向，且遵循右手螺旋法 則：reee(1-2-27) 特別強調特別強調： 球坐標系中的三個單位矢量(與直角坐標系的不同) 都不是常矢量不是常矢量，因為它們的方向隨P點的位置(即空間坐標) 不同而變化。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 球坐標系與直角坐標系下的坐標單位矢量之間的變換關球坐標系與直角坐標系下的坐標單位矢量之間的變換關

23、系：系：由下圖可得變換關系為： 球坐標的三個單位矢量在ex、ey和ez 上的投影 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.2.28) 或者： sincoscossincossinsinsincoscoscossineeeeeeeeeeerzryrx(1.2.29) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 或者： 上述變換關系寫成矩陣形式分別為： zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossineeeeeerzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossin 第一章第一章

24、 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 由式(1.2.28)可知這三個單位矢量不是常矢量，且：sincos0sincosrrrreeeeeeeeeeee ，(1.2.30) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.2.31) 其中，Ar、A、A分別是矢量 在 、 、 方向上的 投影。 矢量表示矢量表示 在圓柱坐標系內的任一矢量 可以表示為：AreeeA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量運算： 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 其微分元為： 位置矢量位置矢量 在球坐標系中可以表示為：(1.2.35

25、) (1.2.36) 其在r、增加方向上的微分元分別是： dr、rd、rsind. 如圖1.2.6所示。三者都是長度，與各自坐標的微分比稱為度量系數度量系數(或拉梅系數拉梅系數)：rerr 第一章第一章 矢量分析矢量分析 sineeeerr， 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 圖 1.2.6 球坐標系的長度元、面積元、體積元 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 sinsin1rddrhrdrdhdrdrhr(1.2.37) 與三個坐標單位矢量相垂直的三個面積元分別為： 體積元是：(1.2.39) (1.2.38) ddrdrdVsin2 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電

26、磁場與電磁波電磁場與電磁波 作作 業業1.1、1.5、1.6、1.9 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.3 1.3 標量場的梯度標量場的梯度v 場的概念場的概念 如果在一個空間區域內，某物理系統的狀態可以用一個 空間位置和時間空間位置和時間的函數來描述，即每一時刻，區域中的每 一點都有一個確定值，則在此區域中就確立了該物理系統 的一種場場。如：物體溫度分布的溫度場、空間電位分布的 電位場、流體壓力分布的壓力場，等等。場的一個重要的屬性重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域 內，除有限個點和表面外，其物理量應是處處連續的。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁

27、場與電磁波電磁場與電磁波 v 場的分類場的分類 若所研究的物理量是一個標量，則其確定的場稱為標量標量 場場。標量場中各點的場量是隨空間位置變化的標量。一個 標量場u可以用一個標量函數標量函數來表示，如在直角坐標系中 可表示為：),(zyxuu 若所研究的物理量是一個矢量，則其確定的場稱為矢量場矢量場。若所研究的物理量與時間無關，則該場稱為靜態場靜態場；若該 物理量與時間有關，則該場稱為動態場或稱為時變場時變場。(1.3.1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.3.1 1.3.1 標量場的等值面標量場的等值面一、定義一、定義(1.3.2) 第一章第一章 矢量分析矢

28、量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、特點二、特點（1）常數c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值等值面族面族；（2）若M(x0, y0, z0)是標量場中的任一點，則曲面 u(x, y, z) = u(x0, y0, z0) 是通過該點的等值面，因此標量場的等值面族充滿場所在的整個空間充滿場所在的整個空間； （3）由于標量函數u(x, y, z)是單值的，一個點只能在一個等值面上，因此標量場的等值面互不相交互不相交，如圖1.3.1所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 圖1.3.1 等值面 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.3.2 1.3.2 方向導數方向導數 標量場u(

29、x, y, z)的等值面只描述了場量u的分布狀況分布狀況，而研究標量場的另一個重要方面是，研究標量場u(x, y, z)在場中任一點的鄰域內沿各個方向的變化規律沿各個方向的變化規律。為此，引入了標量場的方向導數方向導數和梯度梯度的概念。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 設M0是標量場u(M)中的一個已知點，從M0出發沿某一方向引一條射線l。M是l上的動點，到點M0的距離為l，如圖1.3.2所示。若當M沿射線趨于M0(即l趨于零)時，比值 的極限存在，則稱此極限為標量場u(M)在點M0處沿l方向的方向導數，記為 ，即：lMuMu)()(00Mlu圖1.3.2 方向導

30、數(1.3.3) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 一、方向導數的概念一、方向導數的概念 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 由此可知，方向導數是標量場u(M)在點M0處沿l方向對距離的變化率對距離的變化率：注：注： 方向導數與點方向導數與點M0和和l方向都有關，因此，標量場中，在一個給定點方向都有關，因此，標量場中，在一個給定點M0處沿不同的方向，其方向導數一般是不同的。處沿不同的方向，其方向導數一般是不同的。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、方向導數的計算公式二、方向導數的計算公式 方向導數的定義定義與坐標系無關，但其具體的計算公式計算公式卻與坐標系有關。根據復合

31、函數求導法則，在直角坐標系中：dldzzudldyyudldxxulu設l方向的方向余弦為cos、cos、cos，即：cos,cos,cosdldzdldydldx則得到直角坐標系中方向導數的計算公式為：(1.3.4) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 補充：矢量的方向余弦補充：矢量的方向余弦 矢量與坐標軸（或坐標矢量）所成的角稱為矢量的方向角方向角，方向角的余弦稱為矢量的方向余弦方向余弦。一個矢量的方向完全可由它的方向角來決定。矢量的方向余弦也可用矢量的分量來表示。 定理定理：非零矢量a = eiX+ejY+ekZ的方向余弦為式中的 分別為矢量a與i軸、j軸、k軸

32、的交角，即矢量a的三個方向角。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 且 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 例題：例題： 求數量場 在點M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方 向的方向導數。zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222 解：解：l方向的方向余弦為： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 而：222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu數量場在l方向的方向導數為： 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點M處沿l方向的方向導數： 324232132131Mlu 第一章第一章 矢量分

33、析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.3.3 1.3.3 梯度梯度 從標量場的某一點出發有無窮多個方向。一般來說，沿這些不同方向上的變化率的大小(方向導數)是不同的，必然存在一個變化最變化最大的方向大的方向。為此，引入梯度的概念。一、梯度的概念一、梯度的概念 標量場變化最大的方向為標量場梯度的方向，其數值為標量場的梯度值，記作grad u，即：(1.3.5) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、梯度的計算公式二、梯度的計算公式 梯度的定義與坐標系無關，但其具體的計算公式卻與坐標系有關。在直角坐標系中，令：由式(1.3.4)：zyxzyxlezueyuexu

34、Geeeecoscoscos可得： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 (直角坐標系中方向導數的計算公式) 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 ),cos(lleGGeGlulele(1.3.6) 矢量 是l方向的單位矢量，矢量 是在給定點處的一常矢量，與方向l無關。因此上式中，當 與 的方向一致時，即cos( , )=1 時，標量場在該點處的方向導數最大，即沿矢量沿矢量 方向的方向導數最大方向的方向導數最大，此最大值為矢量 的模。因此得到直角坐標系中梯度的計算公式為： leGGGGG(1.3.7) 矢量分析中常用到哈密頓算符哈密頓算符“”，其在直角坐標系中為： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 (1.3

35、.8)具有矢量和微分的雙重性質，故又稱為矢性微分算符矢性微分算符。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 這樣，梯度可表示為：(1.3.9)這表明標量場u的梯度可認為是算符算符作用于標量函數作用于標量函數u的一種運算的一種運算。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 梯度在圓柱坐標系和球坐標系中的計算公式分別為：(1.3.11)(1.3.10) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 三、梯度的性質三、梯度的性質（1）標量場u的梯度是一個矢量場矢量場，通常稱u為標量場 u所產生的梯度場梯度場；（2）標量場u(M)中，在給定點沿任意方向l的方向導數 等于梯度

36、在該方向上的投影投影。（3）標量場u(M)中每一點M處的梯度，垂直于過該點的 等值面，且指向函數u(M)增加的方向。也就說，梯 度就是該等值面的法向矢量法向矢量。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 四、梯度的運算法則四、梯度的運算法則uufufvuuvvvuvuuvuvvuvuuccuc)( )()(1)()()(02 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第

37、一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.4 1.4 矢量場的通量和散度矢量場的通量和散度( , , )( , , )( , , )xxyyzzFe F x y ze F x y ze F x y z),(zyxFF),(zyxF若所研究的物理量是一個矢量，則其確定的場稱為矢量場。一個矢量場 可用一個矢量函數矢量函數來表示。在直角坐標系中 可表示為：(1.4.1)一個矢量場 可以分解為三個分量場，在直角坐標系中，(1.4.2)其中的三個分量分別是 沿x、y、z方向的分量。FF 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.4.1 1.4.1 矢量場的矢

38、量線矢量場的矢量線一、定義一、定義 對于矢量場 ，可用一些有向曲線有向曲線來描述矢量在空間的分布。在這些曲線上的每一點處，切線方向切線方向都與該點的場矢量方向相同，這些有向曲線稱為矢量線矢量線，如圖1.4.1所示。如靜電場中的電場線，磁場中的磁場線。)(rF圖1.4.1 矢量線 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 一般地，矢量場中的每一點都有矢量線通過，因此，矢量線也充滿充滿矢量場所在的整個空間矢量場所在的整個空間。二、矢量線的性質二、矢量線的性質 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 三、矢量線的微分方程組三、矢量線的微分方程組 設矢量場為)

39、,(),(),(zyxFezyxFezyxFeFzzyyxxM(x, y, z)是場中矢量線上的任意一點，其矢徑為dzedyedxerdzyxzeyexerzyx則其微分矢量為 在點M處與矢量線相切。根據矢量線的定義可知，在點M處， 與 共線，即 / ，則有rdFrdF 第一章第一章 矢量分析矢量分析 zyxFdzFdyFdx(1.4.3)這就是矢量線的微分方程組矢量線的微分方程組。解此方程組即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 【例1.4.1】設點電荷q位于坐標原點,它在空間任一點M(x, y, z)處所產生的電場強度矢量為：rrqE34式中，q、均為常數，

40、為M點的位置矢量。求 的矢量線方程并畫出矢量線圖。 xyzre xe ye zE 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.4.2 1.4.2 通量通量一、面元矢量及其法向單位矢量一、面元矢量及其法向單位矢量 設S是一空間曲面，dS為其上的面元，取一個與此面元相垂直的單位矢量，即法向單位矢量 ，則稱矢量dSeSdn為面元矢量，即 分析和描繪矢量場的性質時，矢量場穿過一個曲面的通量矢量場穿過一個曲面的通量是一個重要的基本概念。ne(1.4.4) 第一

41、章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 ne 法向單位矢量 的取法有兩種情況：如圖1.4.3所示。圖1.4.3 矢量場的通量閉合曲面情況閉合曲面情況非閉合曲面情況非閉合曲面情況 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 F二、通量的概念二、通量的概念 將矢量場 與其中的任一面元矢量 的標量積標量積 定義為矢量 穿過面元矢量 的通量。將曲面S上各面元的 相加，得到矢量 穿過曲面 的通量通量，即：SdFSdFSdFSdFSddSeFSdFSSn(1.4.5)如果 是一個閉合曲面，則通過閉合曲面的總通量可表示為：dSeFSdFSSn(1.4.6) 若 從面元矢量

42、 的負側穿到 的正側時， 與 相交成銳角銳角，則通過面元 的通量為正值正值；反之，二者相交成鈍角鈍角，通過面元 的通量為負值負值。FSdneF 第一章第一章 矢量分析矢量分析 SSSdSd 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 通過閉合曲面的通量的物理意義： 正通正通量源量源 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.4.3 1.4.3 散度散度一、散度的概念一、散度的概念 在矢量場 中的任一點M處作一個包圍該點包圍該點的任意閉合曲面S，設S所限定的體積為V，當體積V以任意方式任意方式縮向M點，即趨近于零時， 若下列極限：F存在，則稱此極限為矢量場 在點M處的散度散度。 矢量場

43、穿過閉合曲面的通量是一個積分量積分量，不能反映場域內每一點每一點的通量特性的通量特性，為此，引入矢量場的散度。F(1.4.7)VSdFFdivSV0lim 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、散度的物理意義二、散度的物理意義即單位體積即單位體積內散發出來內散發出來的通量的通量圖1.4.4 散度的意義即單位體積即單位體積內散發出來內散發出來的通量的通量單位體積單位體積內散發出內散發出來的通量來的通量 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 三、散度的計算公式三、散度的計算公式 散度與V的形狀無關形狀無關，只要在取極限過程中，所有尺寸都趨于零即可

44、。算符算符作用于矢量作用于矢量函數的一種運算函數的一種運算 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.4.4 1.4.4 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 第一章第一章 矢量分析矢量分析 (1.4.12) 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 散度定理表明，矢量場的散度在體積散度定理表明，矢量場的散度在體積V上的體積分等于上的體積分等于該矢量場在限定該體積的閉合面該矢量場在限定該體積的閉合面S上的面積分，是矢量散度上的面積分，是矢量散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關系，是的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關系，是矢量分析中的一個重要的恒等式，在

45、電磁理論中非常有用。矢量分析中的一個重要的恒等式，在電磁理論中非常有用。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.5 1.5 矢量場的環流與旋度矢量場的環流與旋度 矢量場的環流與旋度同樣反映矢量場的空間變換規律。 1.5.1 1.5.1 環流環流一、定義一、定義如圖如圖1.5.1示：示：圖1.5.1 閉合路徑(1.5.1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 與通量源不同，不發出、也不匯聚矢量線與通量源不同，不發出、也不匯聚矢量線. 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電

46、磁場與電磁波 二、環流面密度（描述場中每一點附近的環流狀態）二、環流面密度（描述場中每一點附近的環流狀態）：(1.5.2)保持以保持以 為法線方向為法線方向ne 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 一、旋度的概念一、旋度的概念1.5.2 1.5.2 旋度旋度 既然環流面密度與面元的法矢 有關，那么在矢量場的一給定點M處，沿不同方向 的環流面密度值一般是不同的，有可能在某一確定的方向上取得最大值。為此，引入旋度的概念。nene環流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量環流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量(1.5.3) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁

47、場與電磁波 二、旋度的物理意義二、旋度的物理意義矢量的旋度為矢量，是空間位置的函數；矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的旋渦源密度；矢量場在某個方向的環流密度是旋度在該方向上的投影。如圖1.5.2所示，即：FroteFrotnn(1.5.4)圖1.5.2 旋度在某個方向上的投影 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 三、旋度的計算公式三、旋度的計算公式 旋度的定義定義與坐標系無關，但其具體的計算公式計算公式卻與坐標系有關。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 算符算符作用于矢量作用于矢量函數的另一種運算函數的另一種運算 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 在圓柱坐標系和球坐

48、標系中的旋度表達式分別為： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 21sin1sinsinzzrreeeFzFFFerereFrrFrFrF 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 四、旋度的的重要性質四、旋度的的重要性質（1）任意標量場梯度的旋度等于零任意標量場梯度的旋度等于零。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 （2） 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 斯托克斯定理表明，矢量場的旋度在曲面斯托克斯定理表明，矢量場的旋度在曲面S上的面積分上的

49、面積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線C上的線積分，是矢上的線積分，是矢量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換關系，也是矢量分析中的一個重要的恒等式，在電磁理論中關系，也是矢量分析中的一個重要的恒等式，在電磁理論中也是很有用的。也是很有用的。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 在直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系中，梯度梯度的表達式為 第一章第一

50、章 矢量分析矢量分析 sinrueruerueuzueueueuzueyuexueurzzyx小結：小結：梯度的定義：梯度的定義： 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 FrFrFrrrFzFFFFzFyFxFFrzzyxsin1)(sinsin1)(11)(122 第一章第一章 矢量分析矢量分析 在直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系中，散度散度的表達式為VSdFFdivSV0lim散度的定義：散度的定義： 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 FrrFFrerererFFFFzeeeFFFFzyxeeeFrrzzzyxzyxsinsinsin112 第一章第一章 矢量分析矢量分析 在直角坐標系、圓柱坐標系和球

51、坐標系中，旋度旋度的表達式為旋度的定義：旋度的定義： 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 作作 業業1.12、1.16、1.18、1.23、1.27 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 是標量，產生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；是矢量，產生的矢量場具有旋渦性質，穿過一曲面的旋渦源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環流環流，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場 矢量場的散度與旋度反映了產生

52、矢量場的兩種不同性質的源；相應地，不同性質的源產生的矢量場也具有不同的性質。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.6.1 1.6.1 無旋場無旋場一、定義一、定義由散度源產生的，場僅有散度源而無旋度源由散度源產生的，場僅有散度源而無旋度源. 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.6.1)(1.6.2)其中的負號為的是使其與電磁場中電場強度E和電位的關系相一致。二、無旋場的性質二、無旋場的性質根據斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的環流為0，即這表明無旋場的曲線積分與路徑無關，只與起點與終點有關。 一個標量場可由其梯度完全確定。梯度的旋

53、度恒等于梯度的旋度恒等于0 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.6.2 1.6.2 無散場無散場一、定義一、定義由旋渦源產生的，場僅有旋渦源而無散度源由旋渦源產生的，場僅有旋渦源而無散度源. 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.6.5)(1.6.6)二、無散場的性質二、無散場的性質根據散度定理可知，無散場沿閉合曲面的通量為0，即 旋度的散度恒等于旋度的散度恒等于0 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 源在要討論的區域之外：00FF F0)(補充補充1. 1. 在要討論的場區，既無旋又無散在要討論的場區，既無

54、旋又無散 第一章第一章 矢量分析矢量分析 02 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 補充補充2. 2. 既可能有散，也可能有旋的矢量場既可能有散，也可能有旋的矢量場這樣的場可分解為兩部分： 無旋場部分 無散場部分)()()(rArrF無旋場部分無散場部分 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.7 1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.7.1 1.7.1 拉普拉斯運算拉普拉斯運算一、標量場的拉普拉斯運算一、標量場的拉普拉斯運算 標量場 u 的梯度u為一矢量場，若再對u求散度，則稱為標量函數u的拉普拉斯運算，記為2u，即 2u =(u) 其中的“2”稱為拉普

55、拉斯算符。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 在直角坐標系中，在直角坐標系中，由梯度公式 (1.3.7)可得2u =(u)的表達式為 和散度公式 (1.4.9)2222222zuyuxuu(1.7.1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.7.2) 在圓柱坐標系中，在圓柱坐標系中，由梯度公式 (1.3.10)和散度公式 (1.4.10)可得2u =(u)的表達式為 2222221)(1zuuuu 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 (1.7.3) 在球坐標系中，在球坐標系中，由梯度公式 (1.3.11)和散度

56、公式 (1.4.11)可得2u =(u)的表達式為2222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru 第一章第一章 矢量分析矢量分析 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 二、二、 矢量場的拉普拉斯運算矢量場的拉普拉斯運算 矢量場F 的拉普拉斯運算定義為)()(2FFF在直角坐標系中為 zzyyxxFeFeFeF2222(1.7.4)(1.7.5) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 2222222zyx這里， 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 1.7.2 1.7.2 格林定理格林定理一、一、格林第一恒等式格林第一恒等式 格林定理又稱為格林恒等式，是矢量分析中的重要公式。在電磁場理論中，研究解的唯一性、電磁輻射和電磁波傳播等問題中經常用到。dSeFSdFdVFnSSV中，令矢量等于一個標量函數和一個矢量函數的乘積，則有 在散度定理 第一章第一章 矢量分析矢量分析 2)(FnFnnee代入上式得到格林第一恒等式格林第一恒等式為 dSndVSV)(2閉合曲面閉合曲面S上的外上的外法向矢量法向矢量(1.7.6) 電磁場與電磁波電磁場與電磁波 若將式(1.7.6)中的和互換，則有：dSndVSV)(2由式(1.7.6)與式(1