1、楊輝三角（1）內(nèi)容分析 本課的主要內(nèi)容是總結楊輝三角的三個基本性質(zhì)及研究發(fā)現(xiàn)楊輝三角橫行的若干規(guī)律。楊輝三角的三個基本性質(zhì)主要是二項展開式的二項式系數(shù)即組合數(shù)的性質(zhì)，它是研究楊輝三角其他規(guī)律的基礎。楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關系。組合關系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系。研究性課題，主要是針對某些數(shù)學問題的深入探討，或者從數(shù)學角度對某些日常生活中和其他學科中出現(xiàn)的問題進行研究。目的在于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。它要求教師給學生提供研究的問題及背景，讓學生自主探究知識的發(fā)生發(fā)展過。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師不可代替，但作為組織者，

2、可提供必要指導。教師首先簡介楊輝三角的相關歷史，激發(fā)學生的民族自豪感和創(chuàng)造欲望，然后引導學生總結有關楊輝三角的基本知識（研究的基礎）及介紹發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的主要方法（研究的策略），并類比數(shù)列的通項及求和，讓學生對n階楊輝三角進行初步的研究嘗試活動，讓學生充分展開思維進入研究狀態(tài)。以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數(shù)字規(guī)律，重點發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。 1用電腦展示賈憲三角圖、朱泄杰的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖（附后），同時播放用古代民族樂器演奏的音樂。教師介紹楊輝三角的簡史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋數(shù)學家楊輝在詳解九章算法（1961年）記載并

3、保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數(shù)學家朱世杰在四元玉鑒（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家帕斯卡在13歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。 2用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發(fā)給學生。對照楊輝三角，回顧高二下學期學過的楊輝三角的構造及基本性質(zhì)，并由學生敘述。1°與二項式定理的關系：楊輝三角的第n行就是二項式展開式的系數(shù)列。2°對稱性：楊輝三角中的數(shù)字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即。3°結構特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和，即。（二）分組研究楊

4、輝三角橫行規(guī)律（將全班學生按前后排四或五人一組分成若干研究小組）1介紹數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學家如賈憲、楊輝、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，并將研究結果應用于其他工作。他們研究的方法可以歸納為：  15階楊輝三角2學生嘗試探索活動。（1）n階楊輝三角中共有多少個數(shù)？（2）n階楊輝三角的通項公式是什么？即n階楊輝三角中的第k行第r個數(shù)是什么？（3）n階楊輝三角的第k行各數(shù)的和是多少？所有數(shù)的和是多少？學生獨立思考后，由學生發(fā)言，得出結論。n階楊輝三角中共有個數(shù)，第n+2行第3個數(shù)；通項公式為，。3按研究橫行數(shù)字規(guī)律的方向開展研究工作，

5、工作的重點是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最后由小組代表陳述研究結果及建立猜想的大致思路。（1）楊輝三角的第2k行中第k個數(shù)最大；即；第2k1行中第是k個數(shù)與第kl個數(shù)相等且最大，即；2k階楊輝三角中最大數(shù)為，2k1階楊輝三角中的最大數(shù)為。  （2）楊輝三角中第行的所有數(shù)都是奇數(shù)（kN*），即為奇數(shù)（m=0，1，）；第行的所有數(shù)（除兩端的1以外）都是偶數(shù)（kN*），即為偶數(shù)（r=1，2，）；其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又有除1以外的奇數(shù)。（3）第p（p為素數(shù)）行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r1，2，n-1，都有是素數(shù)。（

6、4）將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于。（5）第2n行的第n個數(shù)是第2n-1行的第n-1個數(shù)的2倍，即。如圖，每一幅小圖中的圓的個數(shù)及圓上的點、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數(shù)目有一定的變化規(guī)律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關系嗎？  附（1）：證明：當時，是奇數(shù)。證明：對任何一個正整數(shù)m，都存在唯一的自然數(shù)與正奇數(shù)，使。設，。當時，上式的分子、分母都是奇數(shù)，且分式值是正整數(shù)，是奇數(shù)。附（2）： 楊輝三角（2）內(nèi)容分析1從研究平行于楊輝三角形“兩腰”的斜邊上的數(shù)字規(guī)律的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)朱世杰恒等式：。這個規(guī)律其實是楊輝三角第三

7、條基本性質(zhì)的推廣形式。應用朱世杰恒等式，可以求出的和式值。2研究經(jīng)過兩數(shù)，或的斜邊上的數(shù)字規(guī)律，可以得到著名的斐波那契數(shù)列。由斐波那契數(shù)列的通項公式，可得組合數(shù)的性質(zhì)：，。3將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形類似于分形幾何中的謝爾賓斯基三角形（如圖），這種三角形是研究自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象（海岸線性狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等）的嶄新教學工具。  4教科書中的正六棱柱形木板滾球?qū)嶒炚f明楊輝三角與概率統(tǒng)計之間存在聯(lián)系。講授時，老師應制作一個教具，并用16個小球。做實驗若干次，然后引導學生挖掘?qū)嶒灲Y果與楊輝三角之間的關系，并用排列組合知識

8、與概率知識加以解釋。1用電腦展示8階楊輝三角圖，以備用上節(jié)課主要是研究楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律，這節(jié)課首先來研究斜行的數(shù)字規(guī)律（如圖）。  2學生分小組研究，得出的結果可能是：（1）n階楊輝三角形的第k+1條斜邊上的數(shù)（從左到右，從上到下）組成的數(shù)列是：。（2）上述數(shù)列的和為：。3引導學生證明上述等式，并介紹有關朱世杰研究上述組合數(shù)恒等式的情況（1）證明過程： （2）朱世杰問題（如象招數(shù)問題）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉(zhuǎn)多一尺，今招十五日，問招兵幾何？用數(shù)列語言來說就是：第k日招兵，共招n日，一共招兵多少？問題可轉(zhuǎn)化為求和： 。4引導學生觀察8階楊輝三角表。研究圖中

9、標出的斜行各數(shù)之間的關系（1）將各斜邊的數(shù)字相加后按從上而下的順序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。（2）研究上述數(shù)列的規(guī)律后，可以猜測：無窮階楊輝三角類似的數(shù)列為：（3）引導學生將表示成組合數(shù)的和，并證明。，根據(jù)楊輝三角的基本性質(zhì)3可以推出。（4）指出上述數(shù)列是斐波那契數(shù)列，該數(shù)列有廣泛應用。5觀察下圖15階楊輝三角中，各小正三角形內(nèi)的數(shù)有什么特點？并推廣到階楊輝三角中 （1）（自上而下）第k個正三角形內(nèi)的數(shù)都是偶數(shù)，即都是偶數(shù)（kN*）。（2）第k個正三角形兩腰外的第一條斜邊上的數(shù)都是奇數(shù)，即都是奇數(shù)（kN*）。這條性質(zhì)和上節(jié)課推出的性質(zhì)“第行上的所有數(shù)中既有偶數(shù)也

10、有非1的奇數(shù)”相吻合。（3）階楊輝三角中，偶數(shù)與奇數(shù)，哪個更多？階楊輝三角中，共有個奇數(shù)，共有個偶數(shù)（kN*），試比較與的大小（留課外思考）。6演示實驗教師或?qū)W生將16個均勻小球逐個平穩(wěn)地放入如圖的教具內(nèi)。統(tǒng)計最后各個矩形框內(nèi)的小球個數(shù)。連續(xù)做三次實驗，分析統(tǒng)計結果；并將結果推廣到有n+1層的教具，個小球的情形，并給出合理解析。（1）設小球從第一層落入第n層下面的第k個矩形框的通道條數(shù)為F（n，k），則根據(jù)教具的對稱性及小球的均勻性，可建立如下遞推模式：F（1，1）=1，F(xiàn)（n，k）=F（n，n-k+1），F(xiàn)（n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1，2，n+1，規(guī)定F（n，0）=F（n，n+1）=0（nN*）。    類比楊輝三角形的基本性質(zhì)：可猜測：。（可以用數(shù)列方法證明結論為真，留課后思考）故在理想狀態(tài)下，個小球從第一層落到第n層，從左到右各矩