1、一 幾 何 光 學(xué)1.1 幾何光學(xué)基礎(chǔ)1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。2、光的獨立傳播：幾束光在交錯時互不妨礙，仍按原來各自的方向傳播。3、光的反射定律：反射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；反射角等于入射角。4、光的折射定律：折射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；入射角與折射角滿足；當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角大于臨界角C時，將發(fā)生全面反射現(xiàn)象（折射率為 的光密介質(zhì)對折射率為的光疏介質(zhì)的臨界角）。1.2 光的反射1.2.1、組合平面鏡成像：ABSS1S2S3O圖1-2-11.組合平面鏡 由兩個以上的平

2、面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因而會出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡單的現(xiàn)象，兩面互相垂直的平面鏡（交于O點）鏡間放一點光源S（圖1-2-1），S發(fā)出的光線經(jīng)過兩個平面鏡反射后形成了、三個虛像。用幾何的方法不難證明：這三個虛像都位于以O(shè)為圓心、OS為半徑的圓上，而且S和、S和、和、和之間都以平面鏡（或它們的延長線）保持著SS1S2S3S4S5O圖1-2-2對稱關(guān)系。用這個方法我們可以容易地確定較復(fù)雜的情況中復(fù)像的個數(shù)和位置。圖1-2-3 L1L2AO兩面平面鏡AO和BO成60角放置（圖1-2-2），用上述規(guī)律，很容易確定像的位置：以O(shè)為圓

3、心、OS為半徑作圓；過S做AO和BO的垂線與圓交于和；過和作BO和AO的垂線與圓交于和；過和作AO和BO的垂線與圓交于，便是S在兩平面鏡中的5個像。雙鏡面反射。如圖1-2-3，兩鏡面間夾角=15,OA=10cm，A點發(fā)出的垂直于的光線射向后在兩鏡間反復(fù)反射，直到光線平行于某一鏡面射出，則從A點開始到最后一次反射點，光線所走的路程是多少？L1L2AOCBCOD圖1-2-4 如圖1-2-4所示，光線經(jīng)第一次反射的反射線為BC，根據(jù)平面反射的對稱性,，且。上述均在同一直線上，因此光線在、之間的反復(fù)反射就跟光線沿直線傳播等效。設(shè)是光線第n次反射的入射點，且該次反射線不再射到另一個鏡面上，則n值應(yīng)滿足的

4、關(guān)系是90，。取n=5，總路程。2、全反射全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2，當(dāng)入射角大于臨界角iABn1n2圖1-2-5時，光線發(fā)生全反射。全反射現(xiàn)象有重要的實用意義，如現(xiàn)代通訊的重要組成部分光導(dǎo)纖維，就是利用光的全反射現(xiàn)象。圖1-2-5是光導(dǎo)纖維的示意圖。AB為其端面，纖維內(nèi)芯材料的折射率，外層材料的折射率，試問入射角在什么范圍內(nèi)才能確保光在光導(dǎo)纖維內(nèi)傳播？圖1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，表示光第二次的入射角，只要大于臨界角，光在內(nèi)外兩種材料的界面上發(fā)生全反射，光即可一直保持在纖維內(nèi)芯里傳播。 P1P2MNabABS圖1-2-6 只要即可。例1、如圖1-2-6所示，AB表示一平

5、直的平面鏡，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一條豎直的縫（即ab之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔S（其位置如圖所示），可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上用三角板作圖求出可看到的部位，并在上把這部分涂以標(biāo)志。分析: 本題考查平面鏡成像規(guī)律及成像作圖。人眼通過小孔看見的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經(jīng)過平面鏡反射后，反射光線進(jìn)入人的眼睛，人才會看到米尺刻度的像。可以通過兩種方法來解這個問題。解法一：相對于平面鏡AB作出人眼S的像。連接Sa并延長交平面鏡于點C，連接與點C并延長交米尺于點E，點E就是人眼看到的米尺

6、刻度的最左端；連接并延長交米尺于點F，且 與平面鏡交于D，連接S與點D，則點F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E與F之間的米尺刻度就是人眼可看到部分，如圖1-2-7所示。圖1-2-7圖1-2-8解法二：根據(jù)平面鏡成像的對稱性，作米尺及屏MN的像，分別是及，a、b的像分別為，如圖1-2-8所示。連接Sa交AB于點C，延長并交于點，過點作的垂線，交于點E，此點就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接交AB于點D，延長并交于點，過點作（AB）的垂線交于點F，點F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通過平面鏡可看見的米尺部分。點評：平面鏡成像的特點是物與像具有對稱性。在涉及到平面鏡的問題中，利

7、用這一特點常能使問題得以簡潔明晰的解決。ABOPP1P2120 （d）ABOP1P2P3P4（a）P5ABOP1P2P3P460（b）P4ABO45P1P2P3P5P6P7 （c）圖1-2-9例2、兩個平面鏡之間的夾角為45、60、120。而物體總是放在平面鏡的角等分線上。試分別求出像的個數(shù)。分析：由第一面鏡生成的像，構(gòu)成第二面鏡的物，這個物由第二面鏡所成的像，又成為第一面鏡的物，如此反復(fù)下去以至無窮。在特定條件下經(jīng)過有限次循環(huán)，兩鏡所成像重合，像的數(shù)目不再增多，就有確定的像的個數(shù)。解：設(shè)兩平面鏡A和B的夾角為2，物P處在他們的角等分線上，如圖1-2-9（a）所示。以兩鏡交線經(jīng)過的O點為圓心，

8、OP為半徑作一輔助圓，所有像點都在此圓周上。由平面鏡A成的像用表示，由平面鏡B成的像用表示。由圖不難得出：在圓弧上的角位置為在圓弧上的角位置為。其中k的取值為k=1，2， 若經(jīng)過k次反射，A成的像與B成的像重合，則 即 ABCPO圖1-2-10AOCP圖1-2-11當(dāng)時，k=4，有7個像，如圖1-2-9（a）所示；當(dāng)時，k=3，有5個像，如圖1-2-9（b）所示；當(dāng)時，k=1.5，不是整數(shù)，從圖1-2-10（d）可直接看出，物P經(jīng)鏡A成的像在鏡B面上，經(jīng)鏡B成的像則在鏡A面上，所以有兩個像。例3、要在一張照片上同時拍攝物體正面和幾個不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個直立的大平面鏡AO和BO，

9、使物體和它對兩個平面鏡所成的像都攝入照像機(jī)，如圖1-2-11所示。圖中帶箭頭的圓圈P代表一個人的頭部（其尺寸遠(yuǎn)小于OC的長度），白色半圓代表人的臉部，此人正面對著照相機(jī)的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽子，圖1-2-11為俯視圖，若兩平面鏡的夾角AOB=72，設(shè)人頭的中心恰好位于角平分線OC上，且照相機(jī)到人的距離遠(yuǎn)大于到平面鏡的距離。1、 試在圖1-2-11中標(biāo)出P的所有像的方位示意圖。2、在方框中畫出照片上得到的所有的像（分別用空白和斜線圖1-2-13ABPO圖1-2-12表示臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂上的帽子）。本題只要求畫出示意圖，但須力求準(zhǔn)確。解: 本題的答案如圖1-

10、2-13所示。例4、五角樓是光學(xué)儀器中常用的一種元件，如圖1-2-14所示。棱鏡用玻璃制成，BC、CD兩平面高度拋光，AB、DE兩平面高度拋光后鍍銀。試證明：經(jīng)BC面入射的光線，不管其方向如何，只要它能經(jīng)歷兩次反射（在ABCAEBD112.5112.5112.590圖1-2-14 與DE面上），與之相應(yīng)的由CD面出射的光線，必與入射光線垂直。解: 如圖1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序則以下標(biāo)注明。光線自透明表面的a 點入射，在棱鏡內(nèi)反射兩次，由CD面的e點出射。可以看得出，在DE面的b點；入射角為 反射角為 在四邊形bEAC中，i1ABCDE112.5112.5

11、112.5901i2i2i3i345i44F圖1-2-15 而 =于是， 在cdb中cdb=180 =180這就證明了：進(jìn)入棱鏡內(nèi)的第一條光線ab總是與第三條光線ce互相垂直。由于棱鏡的C角是直角，=360-270-dec=90-dec=。設(shè)棱鏡的折射率為n，根據(jù)折射定律有 總是成立的，而與棱鏡折射率的大小及入射角的大小無關(guān)。只要光路符合上面的要求，由BC面的法線與CD面的法線垂直，又有出射光線總是與入射光線垂直，或者說，光線經(jīng)過這種棱鏡，有恒點的偏轉(zhuǎn)角90。圖1-2-16例6、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2-16所示的形狀，一束平行光垂直地射入平表面A上。試確定通過表面A進(jìn)入的光全部從

12、表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射為1.5。分析: 如圖1-2-17所示，從A外側(cè)入射的光線在外側(cè)圓界面上的入射角較從A內(nèi)側(cè)入射的光線入射角要大，最內(nèi)側(cè)的入射光在外側(cè)圓界面上的入射角最小。如果最內(nèi)側(cè)光在界面上恰好發(fā)生全反射，并且反射光線又剛好與內(nèi)側(cè)圓相切，則其余的光都能保證不僅在外側(cè)圓界面上，而且在后續(xù)過程中都能夠發(fā)生全反射，并且不與內(nèi)側(cè)圓相交。因此，抓住最內(nèi)側(cè)光線進(jìn)行分析，使其滿足相應(yīng)條件即可。圖1-2-17解: 當(dāng)最內(nèi)側(cè)光的入射角大于或等于反射臨界角時，入射光線可全部從B表面射出而沒有光線從其他地方透出。即要求 而 所以 即 故 點評 對全反射問題，掌握全反射產(chǎn)生的條件是基礎(chǔ)，而具

13、體分析臨界條件即“邊界光線”的表現(xiàn)是解決此類問題的關(guān)鍵。圖1-2-18例7 普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯A和包層B組成，B的折射率小于A的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時，在纖芯A和包層B的分界面上發(fā)生多次全反射。現(xiàn)在利用普通光纖測量流體F的折射率。實驗方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體F中。令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會聚在光纖入射端面的中心O。經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播。由于O點出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為，如圖1-2-18所示。最后光從另一端面出射進(jìn)入流體F。在距出射端面處放置

14、一垂直于光纖軸的毛玻璃屏D，在D上出現(xiàn)一圓形光斑，測出其直徑為，然后移動光屏D至距光纖出射端面 處，再測出圓形光斑的直徑，如圖1-2-19所示。（1）若已知A和B的折射率分別為與。求被測流體F的折射率的表達(dá)式。（2）若、和均為未知量，如何通過進(jìn)一步的實驗以測出的值？圖1-2-19分析 光線在光纖中傳播時，只有在纖芯A與包層B的分界面上發(fā)生全反射的光線才能射出光纖的端面，據(jù)此我們可以作出相應(yīng)的光路圖，根據(jù)光的折射定律及幾何關(guān)系，最后可求出。解: （1）由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的O點出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過軸的縱剖面內(nèi)，圖1-2-20為縱面內(nèi)的光路圖。設(shè)由O點發(fā)出的與軸的夾角

15、為的光線，射至A、B分界面的入射角為i，反射角也為i，該光線在光纖中多次反射時的入射角均為i，射至出射端面時的入射角為。若該光線折射后的折射角為，則由幾何關(guān)系和折射定可得 90 當(dāng)i大于全反射臨界角時將發(fā)生全反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強射向出射端面。而的光線則因在發(fā)生反射時有部分光線通過折射進(jìn)入B，反射光強隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱，以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了。因而能射向出射端面的光線的i的數(shù)值一定大于或等于，的值由下式?jīng)Q定：圖1-2-20 與對應(yīng)的值為 當(dāng)，即時，或時，由O發(fā)出的光束中，只有的光線才滿足的條件下，才能射向端面，此時出射端面處的最大值為 若，即時，則由O發(fā)出的光線都能滿足的條件，因而都能射向端面，此時出射端