1、課程設計任務書題 目: 高階系統的時域分析 初始條件：設單位系統的開環傳遞函數為要求完成的主要任務: （包括課程設計工作量及其技術要求，以及說明書撰寫等具體要求）（1） 當K=10，a=1，b=4時用勞斯判據判斷系統的穩定性。（2） 如穩定，則求取系統的單位階躍響應、單位斜坡響應和單位加速度響應，用Matlab繪制相應的曲線，并計算單位階躍響應的動態性能指標和穩態性能指標，計算單位斜坡響應和單位加速度響應的穩態性能指標。（3） 如不穩定，則計算系統穩定時K、a和b的取值范圍，在穩定范圍內任取一值重復第2個要求。（4） 繪制a=1，b=4時系統的根軌跡。時間安排：任 務時 間（天）指導老師下達任

2、務書，審題、查閱相關資料2分析、計算3編寫程序2撰寫報告2論文答辯1指導教師簽名： 年 月 日系主任（或責任教師）簽名： 年 月 日目 錄1 高階系統的數學模型12 系統穩定性分析13 高階系統的時域分析33.1 單位階躍響應43.1.1 求單位階躍響應43.1.2 單位階躍響應動態性能73.1.3 單位階躍響應穩態性能93.2 單位斜坡響應103.2.1 求單位斜坡響應103.2.2 單位斜坡響應穩態性能113.3 單位加速度響應113.3.1 求單位加速度響應113.3.2 單位加速度響應穩態性能134 系統根軌跡135 設計心得體會15參考文獻15高階系統的時域分析1 高階系統的數學模型

3、一個高階系統的閉環傳遞函數的一般形式為：對分子、分母進行因式分解，得到零極點形式： (1)式(1)中，K=b0/a0；zi ,pj分別為系統閉環零、極點。本設計給定的單位反饋系統的開環傳遞函數為 (2)則其閉環傳遞函數為（假設為負反饋）： (3)2 系統穩定性分析線性系統穩定的充分必要條件為：閉環系統特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環傳遞函數的極點均位于s左半平面。若求出閉環系統特征方程的所有根，就可判定系統的穩定性。但對于高階系統來說，求特征方程根很困難，并且不易對參數進行分析。現使用一種不用求解特征根來判別系統穩定性的方法勞斯穩定判據。設系統的特征方程為，則可列出勞斯表如表1所示。

4、表1 勞斯表按照勞斯穩定判據，系統穩定的充分必要條件為：勞斯表中第一列各值均為正。否則系統不穩定，且第一列各系數符號改變次數即為特征方程正實部根的數目。當K=10，a=1，b=4時，代入式(3)得到系統閉環傳遞函數則系統的閉環特征方程為：D(s)=s4+5s3+12s2+18s+40=0. 按勞斯判據可列出如下勞斯表：由于勞斯表第一列數值符號有兩次變化，故系統不穩定，且存在2個正實部根。現繼續用勞斯穩定判據求原給定系統穩定時K，a，b的取值范圍。原給定系統的閉環特征方程為：D(s)=s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+Kb=0，按勞斯判據可列出如下勞斯表：根據勞斯穩定判據，

5、令勞斯表中第一列各元素為正，即：即K、a和b必須滿足： (4)系統才穩定。3 高階系統的時域分析取K=15，a=2，b=2時系統閉環傳遞函數 (5)分析，此時K、a、b的值滿足不等式組(4)，系統穩定。3.1 單位階躍響應 求單位階躍響應單位階躍輸入r(t)=1(t)，R(s)=1/s.對于n（n3）階系統先將系統閉環傳遞函數一般形式化成如(1)式所示零極點形式，則在單位階躍輸入作用下，系統輸出可表示為（假設系統閉環極點均不相同）：將該式展開成部分分式的形式，響應可表示為式中，A0、Aj(j=1,2,q)、Bk和Ck(k=1,2,r)是由部分分式展開時獲得的系數。對上式取拉普拉斯反變換得到系統

6、時域響應表達式：由上式可知，高階系統的時域響應是由穩態值和一些慣性環節及振蕩環節的瞬態響應分量組成。對于穩定系統，上式瞬態響應分量的指數衰減項和正弦衰減項均隨響應時間t趨于無窮而趨于零，系統達到穩態值。各瞬態分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數的值及相應系數項Aj、Bk、Ck的大小。在瞬態過程中，某衰減項的指數|pj|或的值越大，則該項衰減越快，反之亦然。而|pj|和就是系統的極點到虛軸的距離。因此，如果分布在s平面左半部分的極點離虛軸越遠，則它對應的分量衰減越快。顯然，對系統過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點。各衰減項的系數不僅與相應的極點在s平面中的位置有關，而且還與

7、零點的位置有關。極點的位置距原點越遠，則相應分量的系數越小，該分量對系統過渡過程的影響就越小。如果某極點與零點很靠近，則相應分量的系數也很小，這時零極點對系統過渡過程的影響也將很小。因此，高階系統的瞬態響應特性主要由系統傳遞函數中那些靠近虛軸而又遠離零點的極點來決定。如果高階系統有一個極點（或一對共軛復數極點）離虛軸最近，且其附近又無零點存在，而其他所有極點與虛軸的距離都在此極點與虛軸的距離的五倍以上，則可近似地認為系統的瞬態響應特性由這個（或這對）極點來確定，而其它極點的影響可以忽略不計，這個（或這對）極點就稱為高階系統的主導極點。下面以選取的系統進行分析，其閉環傳遞函數為上面的式(5)。在

8、單位階躍輸入作用下，系統輸出為對上式進行部分分式展開：對部分分式進行拉普拉斯反變換，并設初始條件全部為零，得系統的單位階躍響應： (6)對于高階系統，用上述解析法求解系統單位階躍響應比較復雜，若借助MATLAB軟件將十分簡單。MATLAB中tf2zp()函數能將傳遞函數模型轉化為零極點模型，residue()函數可以直接求出傳遞函數部分分式展開，由這些結果可以直接寫出系統的輸出解析解。另外，利用step()函數還能準確繪制系統單位階躍響應曲線。式(5)所表示系統可以用下面的MATLAB語句求解系統單位階躍響應。num=15 30;den=1 6 16 31 30; %描述閉環系統傳遞函數的分子

9、、分母多項式sys=tf(num,den); %高階系統建模z,p,k=tf2zp(num,den);%對傳遞函數進行因式分解zpk(z,p,k) %給出閉環傳遞函數的零極點形式r,p,k=residue(num,den,0) %對C(s)部分分式展開 %在分母多項式后補零相當于乘以sstep(sys) %繪制高階系統的單位階躍響應曲線grid %添加柵格title(單位階躍響應); %標注標題xlabel(t); ylabel(c(t); %標注橫、縱坐標軸程序運行后得到系統零極點形式、部分分式展開式，這里不列出。繪制的單位階躍響應曲線如圖1所示。 圖1 單位階躍響應曲線由(6)式單位階躍響

10、應時域表達式可知系統閉環穩定時，單位階躍響應的指數項和阻尼正弦余弦項均趨近于零，穩態輸出為常數項1，這與用MATLAB繪制的響應曲線相符。現將(6)式中三個瞬態分量曲線用MATLAB軟件畫出，如圖2所示。其中曲線1為瞬態分量，曲線2為分量，曲線3為分量.由比較曲線可以看到，各分量的衰減速率和初始值都與相應的極點到虛軸的距離密切相關。與e-3t項相比，e-0.5t項具有慢得多的衰減速率。因此，對于除了t趨近于零以外的所有時間，e-3t項在合成的時域響應中的貢獻可以忽略不計。所以可以說，e-0.5t項在響應中起著主導作用，相應地，s = -0.5±2.1794i是該系統的主導極點。圖2

11、單位階躍響應瞬態分量比較 單位階躍響應動態性能動態性能指標是指穩定的系統在單位階躍函數作用下，動態過程隨時間t的變化狀況的指標，體現系統動態過程特征。用解析法求解高階系統的動態性能指標很困難，這里用MATLAB編程求解。調用單位階躍響應函數step()，獲得系統的單位階躍響應，當采用y,t=step(sys)的調用格式時，將返回值y及相應的時間t，通過對y和t進行計算，可以得到高階系統各項動態性能指標。利用MATLAB編程求取系統動態性能指標流程圖如圖3所示。圖3 求取系統動態性能程序流程圖利用MATLAB編程求取系統動態性能指標程序如下：sys=tf(15 30,1 6 16 31 30);

12、 %系統建模 %計算峰值時間tp和對應最大超調量MpC=dcgain(sys) %取系統終值y,t=step(sys); %求取單位階躍響應，返回變量輸出y和時間tY,k=max(y); %求輸出響應的最大值Y（即峰值）和位置ktp=t(k) %取峰值時間Mp=(Y-C)/C %計算最大超調量 %計算上升時間trn=1;while y(n)<C %循環求取第一次到達終值時的時間 n=n+1;endtr=t(n) %計算調節時間(誤差帶取2%)i=length(t); %求取仿真時間t序列的長度while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1

13、;endts=t(i)程序運行后，輸出結果為：C=1tp=1.8265Mp=0.3685tr=1.2645ts=7.5868即上升時間為1.2645s，峰值時間為1.8265s，最大超調量為36.85%，并且系統在7.5868s后進入穩態。 單位階躍響應穩態性能穩態性能是系統在典型輸入作用下，當時間t趨于無窮大時，系統輸出量的最終復現輸入量的程度。穩態性能分析主要是指穩態誤差的計算。穩態誤差是系統控制精度或抗干擾能力的一種度量。現采用靜態誤差系數法計算單位階躍響應穩態誤差。將K=15，a=2，b=2代入（2）式，得待分析系統的開環傳遞函數為，其靜態位置誤差系數為：所以單位階躍輸入作用下系統的穩

14、態誤差為：3.2 單位斜坡響應 求單位斜坡響應單位斜坡輸入，此時展開為部分分式：對部分分式進行拉普拉斯反變換，并設初始條件全部為零，得系統的單位斜坡響應： (7)用MATLAB繪制系統單位斜坡響應曲線使用lsim()函數，lsim()可以繪制線性定常系統在任意輸入信號作用下的時間響應曲線，程序代碼如下：sys=tf(15, conv(1 3,1 1 5); %系統建模t=0:0.01:10; %響應時間u=t; %單位斜坡輸入lsim(sys,u,t) %單位斜坡響應gridxlabel(t); ylabel(c(t) %標注橫、縱坐標軸title(單位斜坡響應); %標注標題程序運行后得到系

15、統單位斜坡響應曲線如圖4所示。圖4 單位斜坡響應曲線由(7)式單位斜坡響應時域表達式分析可知，本系統的單位斜坡響應的穩態分量為(t-0.5333)，系統穩態輸出速度恰好與單位斜坡輸入速度相同，即系統能跟蹤斜坡輸入，在位置上存在穩態跟蹤誤差，這與圖4所示曲線相符合。 單位斜坡響應穩態性能待分析系統的開環傳遞函數為，其靜態速度誤差系數為所以系統在單位斜坡輸入作用下的穩態誤差為3.3 單位加速度響應 求單位加速度響應單位加速度輸入，此時展開為部分分式形式：對部分分式進行拉普拉斯反變換，并設初始條件全部為零，得系統的單位加速度響應：(8)下面用MATLAB繪制系統單位加速度響應曲線，仍然使用lsim(

16、)函數。在MATLAB工作空間中輸入如下程序代碼：num=15; den=conv(1 3,1 1 5); sys=tf(num,den); %系統建模t=0:0.01:10; %響應時間序列u=0.5*t.2; %單位加速度輸入lsim(sys,u,t) %繪制單位加速度響應曲線gridxlabel('t'); ylabel('c(t)');title('單位加速度響應');程序運行后，得到系統單位加速度響應曲線如圖5所示。由(8)式單位加速度響應時域表達式分析可知，系統單位加速度響應的穩態輸出為()，穩定時系統不能跟蹤加速度輸入，隨響應時間t

17、的增大，穩態位置誤差將越來越大，從圖5所示單位加速度響應曲線也可以看出。圖5 單位加速度響應曲線 單位加速度響應穩態性能待分析系統的開環傳遞函數為，其靜態速度誤差系數為：所以在單位加速度輸入作用下的系統穩態誤差為：4 系統根軌跡繪制a=1，b=4時系統的根軌跡圖，將a、b的值代入式(2)，得到系統開環傳遞函數為 (9)MATLAB中提供了rlocus()函數，可以直接用于繪制開環系統的閉環根軌跡。先在MATLAB中輸入系統開環傳遞函數，然后調用rlocus()函數就可以繪制出精確的根軌跡曲線，具體MATLAB程序代碼如下：num=1 4; den=conv(1 0,conv(1 4 8,1 1

18、);sys=tf(num,den);rlocus(sys) %繪制根軌跡圖title(根軌跡圖)xlabel(實軸); ylabel(虛軸);程序運行后，得到系統根軌跡圖如圖6所示。圖6 系統根軌跡圖單擊根軌跡上的點，則可以顯示出該點處的增益值和其他相關信息。例如，若單擊根軌跡和虛軸相交的點，則可以得出該點處增益的臨界值為6.64，如圖6所示。可以看出，當0<K<6.64時，系統閉環穩定。5 設計心得體會對高階系統進行時域分析，運用經典解析方法，采用拉普拉斯反變換求解瞬態響應時域表達式比較復雜，要計算出各項動態性能指標也很困難。但對于許多高階系統，利用主導極點法可以簡化系統的分析和性能指標的估算。而利用MATLAB軟件可以方便地對高階系統時域響應進行準確分析。通過本次課程設計，加深了對所學自動控制原理課程知識的理解，特別是系統穩定性分析，系統各項動態性能指標，穩態誤差以及系統根軌跡等相關知識的理解。設計時借助MATLAB軟件進行控制系統分析，進一步熟悉了MATL