1、2021年成都市中考專題4幾何模型之隱圓問題【模型講解】常見的隱圓模型有：（I）動點到泄點的距離為定長：（2）四點共圓；（3）左邊對宦角（專題3）等.4例1圖例3圖AD=AC=ABZADB= ZACB2 ZADB= ZACBZBAC+ZBDC= 180【例題分析】例 1如圖，已AB=AC=AD, ZCBD=2ZBDC, ZBAC=44 ,則ZCAD的度數為例2.在矩形ABCD中，已知AB = ICm , BC= 3cm ,現有一根長為ICm的木棒EF緊貼著矩形的邊 （即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒EF的中點P在運動過程中所圍成的圖形的而積為加.例3如圖，泄長弦CD

2、在以AB為直徑的OO上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP丄于點P,若AB=8,則PM的最大值是。例4.如圖，點A與點B的坐標分別是（1, 0）, （5, 0）,點P是該直角坐標系內的一個動點.（1）使ZAPB=30的點P有個；（2）若點P在y軸上，且ZAPB=30 ,求滿足條件的點P的坐標；（3）當點P在y軸上移動時，ZAPB是否存在最大值？若存在，求點P的坐標：若不存在，請說 明理由.Ay【鞏固訓練】1如圖1，矩形ABCD中，AB = 2, AD = 3,點E、F分別AD. DC邊上的點，且EF = 2,點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA + PG的最小

3、值為圖2AB = 49 AD = 6, E是AB邊的中點,F是線段BC邊上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊得到ZkEBT,連接BtD9則BT）的最小值是3在平而直角坐標系中，點A的坐標為（10）,點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內一 點，且AC = 2.設tanZBOC = ?,則山的取值范圍是.4 如圖 3,在 RtABC 中，ZC = 90o , AC = 6, BC = 8 ,點 F 在邊 AC 上，并且 CF = 2,點 E 為 邊BC上的動點，將CEF沿直線EF翻折，點Q落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值圖35如圖4,四邊形ABCD中,IiDCIlAB , BC = I

4、, AB = AC = AD = 2 則BD的長為&如圖 5,在四邊形ABCD 中，AB=AC=AD9 若ZBAC=25 , ZCAD = 75 ,貝IJZBDC=ZDBC=7.足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好.如圖6的正方形網格中，點A, B, C, D, E均在格點上，球員帶球沿CD方向進攻，最好的射點在（）A點CB點D或點EC 線段DE （異于端點）上一點D 線段CD （異于端點）上一點圖8&如圖7,已知AB是。O的直徑，P0是OO的弦，Po與AB不平行，R是PQ的中點,作PS丄PQAB9 QTLAB.垂足分別為S、T（Sm 并且ZSRT=6

5、0 ,則 的值等于.AB9.如圖 8,若 PA=PB. ZAPB=2ZACB. AC 與 PB 交于點 D,且 PB=49 PD=3,則 AD DC=.10在平面直角坐標系中，已知點A（4, 0）、B（-6, 0）,點C是）,軸上的一個動點，當ZBCA =45。時，點C的坐標為11 如圖9, RIZXABC中，ZC=90% AC=3, BC= 4,點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不 與點B、C重合），且DA=DE,則AD的取值范圍是X圖10圖912. 如圖10,在平而直角坐標系的第一象限內有一點B,坐標為（2,加）過點B作AB丄y軸，BC丄X軸，垂足分別為A、C,若點P在線段AB上滑動（點

6、P可以與點A、B重合），發現使得AOPC=45的位置有兩個，則加的取值范圍為13. 在銳角 ABC中,AB = 4,BC=5, ZACB=45,將ZSBC繞點B按逆時針方向旋轉得到厶A,B,C（1）如圖11-1.當點C在線段CA的延長線上時，求ZCCIAI的度數：（2）如圖11-2,連接A兒，CG若ZiAB人的而積為4,求ACBG的而積；（3）如圖11-3,點E為線段AB中點，點P是線段Ae上的動點，在AABC繞點B按逆時針方向 旋轉過程中，點P的對應點是點幾，求線段長度的最大值與最小值.圖圖 11-38314. 如圖，拋物線y= 一扌一二+ 3與入軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸

7、交于點3 4C. （1）求點A. B的坐標：（2）若直線/過點E （4, O）, M為直線/上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形 有且只有三個時，求直線/的解析式.315. 如圖，直線y=-x3與軸、y軸分別交于B、A兩點，點P是線段OB上的一動點，若能4在斜邊AB上找到一點G使ZoCP=90 ,設點P的坐標為（加，0）,求加的取值范圍.15幾何模型之隱圓問題參考答案例1.【解答】解：9:AB=AC=AD,B, C, D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，ZCAD=2上CBD, ZBAC=2ZBDC, ZCBD=2ZBDC, ZBAC=44 ,：.ZCAD=IZBAC=88故答案為：88

8、例2【解答】解：如圖所示：由題意根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出P到B點距離始終為1則木棒EF的中點P在運動過程中的軌跡為分別以A , B, C, D為圓心，1。為半徑的弧， 2故所圍成的圖形的而積為：矩形而積-4個扇形面積=6-4x22二L = 6-初必360B故答案為：6-兀例3.【解答】解：連接CO, MO, ZCPo=ZCMO=90 ,.c, M, O, P,四點共圓，且Co為直徑（E為圓心），連接PM,則PM為C）E的一條弦，當PM為直徑時PM最大，所以 PM=CO=4 時 PM 最大即 PMnar=4.例4【解答】解：（1）以AB為邊,在第一象限內作等邊三角形ABG

9、以點C為圓心，ACe為半徑作G）G交y軸于點戸、Pi.在優弧AP1B 任取一點P,如圖1,則ZAPB=IZACB= i60 =302 2使ZAPB=30的點P有無數個.故答案為：無數.(2)當點P在y軸的正半軸上時，過點C作CG丄AB,垂足為G,如圖1.Y點 A (1, 0),點 B (5, 0), OA= 1, OB=S.AB=4.T 點 C 為圓心，CG丄AB. ：.AG=BG=-AB=2.2OG=OA+AG=3.V AABC是等邊三角形，/.AC=BC=AB=4 CG= AC2-AG2=42-22=23點C的坐標為(3, 23).過點C作CD丄y軸，垂足為D,連接CP2,如圖1, T 點

10、 C 的坐標為(3, 23), CD=3, OD=23VP1. A 是G)C 與 y 軸的交點,A ZAPiB=ZAPIB=30 .:CP2=CA=A9 CD=3,DP2=42-32=7.點 C 為圓心，CD丄PR, P1D=P2D=Vt AP2(0, 23-7). Pl (0, 23+V).當點P在y軸的負半軸上時， 同理可得：PXO, - 23-T). PA (0 -2)綜上所述：滿足條件的點P的坐標有：(0, 23-7) (0, 23+7). (0, - 23-T) (0, 3+T)（3）當過點A. B的OE與y軸相切于點P時，ZAPB最大理由：可證：吩Z例當ZW最大時，ZAEH最大.由

11、SinZ仙詩得：當AE最小即PE最小時，ZAEH最大.所以當圓與y軸相切時，ZAPB最大. 當點P在y軸的正半軸上時，連接EA,作EH丄X軸，垂足為H,如圖2.VQE與y軸相切于點P、：.PE丄OP.：EH丄AB, OP丄OH, ZEPO= ZPOH= ZEHO=9X 四邊形 OPEH 是矩形：.OP=EH. PE=OH= 3. ：.EA = 3.V ZEHA=90 , AH=2, EA=3,-EH= EA2-AH2=32-22=忑OP=5 ：.P （0, 5）. 當點p ZAMBV ZAPB=ZANB. ：. ZAPB ZAMB若點P在y軸的負半軸上，同理可證得：ZAPB ZAMB綜上所述：

12、當點P在y軸上移動時，ZAPB有最大值, 此時點P的坐標為（O, 5）和（0, -5）.【鞏固訓練】答案AfE共線時時，此時BT）的1解：VEF = 2,點G 為 EF 的中點,. DG = If.G是以Z）為圓心，以1為半徑的圓弧上的點，作A關于BC的對稱點A ,連接A,交BC于P ,交以D為圓心，以1為半徑的圓于G , 11 PA + PG的值最小，最小值為AG的長；V AB = 2 , AD = 3, AA, = 4 , /. AfD = 5 ,： A,G=AtD-DG = 5- =4 :/. PA + PG的最小值為4；故答案為4.2.解：如圖所示點F在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，

13、當D、BJ值最小,根據折疊的性質，EBF = EBtF ,EBt丄BfF , EBf = EB ,.E是AB邊的中點，AB = A . AE = EBJ2, AD = 6 ,.Df = 62+2f = 210 ,D=210-23.解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當OC與圓A相切（即到C點）時，ZBoC最 小，AC = 2, OA = 3,由勾股泄理得：OC = ,VZBoA = ZACO = 90 ,.OC +ZAOC = 90o , ZCAO + AAOC = 90 ,：.ZBOC = ZOAC 9tan ZBOC = tan ZOAC = = ,AC 2隨著C的移動，ZBOC越

14、來越大，.c在第一象限，.-.C不到X軸點，即 ZBoC - 12）.綜上所述，點C坐標為（0, 12）或（0,-12）.故答案為：（0, 12）或（0, - 12）.VVC.,By E、 BE、 SlOyAX、答圖211. 【解答】解：VRtZMBC 中，ZC=90o , AC=S9 BC=4,=AC2+bc2=5,以D為圓心，AD的長為半徑畫G）D, 如圖b當G）D與BC相切時，DE丄BC時，設 AD=9 貝IJ DE=AD=X, BD=AB-AD=5 - x.V ZBED=ZC=90 , ZB 是公共角，： BDEsBAC、：.翌即E=K,解得：X= 1.ABAC 538 如圖2,當G）

15、D與BC相交時，若交點為B或C,則D=Xw=：.AD的取值范帀是8 2SIl團212. 【解答】解:如圖3中，在X軸上方作AOKG使得AOKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE丄AB于E.TOC=2,：0K=KC=近、當EK= fC=3.以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時川=BC=l+2 在 AB 上只有一個點 P 滿足ZoPC=LZoKC=45 ,2當BK=近時,在AB上恰好有兩個點P滿足ZOPC=ZOKC=45Q2此時 m=BC=2,綜上所述，滿足條件的也的值的范用為2nl + 故答案為2nl+213. 【解答解:(1)由旋轉的性質可得:ZAlClB=ZACB=450 , BC

16、=Bex ZCCiB= CB=45 , ZCCS = ZCC/+ZACB=45 +45 =90 (2) V2MBCABCb：.BA=BAI, BC=BCX ZABC= ZAIBC,F的切線這樣的切線有2 條連接FM,過M作MN丄X軸于點MVA ( -4, O), B (2, O),：.F ( - h O), G)F 半徑 FM=FB=3又TE (4, 0),AFE=5,在 RtAMEF 中，2=4 SinZMFE= , CoSZMFE=5旦. 在 RlAFMN 中，MN=MFsinZMFE=3X = , FN=5 55MFcosZMFE=3 .則 ON=-.5 55M點坐標為( )直線 / 過 M (, ), E (4, 0),55設直線/的解析式為y=kx+b,則有Irj 12Cl 3 T