1、山東省青島市膠州市2019-2020學年高一數(shù)學下學期期中學業(yè)水平檢測試題（含解析）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的.L某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有30種、10種、35種、25種不同的品牌.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本進行質量檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數(shù)是7種，則=A. 100B. 50C. 20D. 10#【答案】C 【解析】 【分析】 首先計算商品品牌的種數(shù)，再按抽樣比列式計算.100【詳解】由條件可知共有30+10+3

2、5 + 25 = 100種品牌，采用分層抽樣，則得：n = 20.故選：C 【點睛】本題考查分層抽樣，重點考查抽樣比計算，屬于基礎題型.2,已知向量" = (1,2),向量B = (x,4),且aJJ；,則工=()A. 6B. 2D.【解析】 【分析】 由向量數(shù)量積的沖算公式直接列式求解.【詳解】由條件可知萬_LB,則1x+2x4 = 0,解得：x = -8.故選：D 【點睛】本題考查向量數(shù)量積表示垂直關系，屬于簡單題型.3,復數(shù)Z =（i是虛數(shù)單位），則z在復平而內對應的點位于（ 2 + 1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡復數(shù)Z,再求復

3、數(shù)對應復平面的點所在的象限.i i(2-i)2/ + 1 1 2.(1 2【詳解】z =-二=八 = - = - + -11則z在復平面內對應的點是 二，二，2 + 1 (2 + /)(2-/)55 5V5 5；位于第一象限.故選：A【點睛】本題考查復數(shù)的除法計算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題型.4 .在A43C中，b、。分別是角A、B、。的對邊，若，一=- = ' =2點， sin A cosB sin B則A43C的面積為()A. 2B. 4C. y/2D. 2y/2【答案】A【解析】【分析】首先由條件和正弦定理判斷ABC是等腰直角三角形，由三角形的性質可知直角三角形的外接圓的圓

4、心在斜邊的中點，所以由A3C外接圓的半徑可求得三角形的邊長，再求面積.【詳解】由正弦定理可知一。一=二=J = 2rsin A sin B sin C已知=-=2>/2 ,所以 sin 8 = cos B 和 sin C = sin B .sin A cos B sin B所以8 = 45'，C = 45'，所以aABC是等腰直角三角形，由條件可知ABC外接圓的半徑是JJ，即等腰直角三角形的斜邊長為2式，所以='x 2 >/2 x >/?. = 2.2故選：A【點睛】本題考查正弦定理判斷三角形形狀，重點考查直角三角形和外接圓的性質，屬于基礎題型.5.已

5、知數(shù)據(jù)補七,020的平均數(shù)、標準差分別為7 = 90,久=20,數(shù)據(jù)如為，乃020的 >一x平均數(shù)、標準差分別為SV,若% =m+ 5( = 1，2，,，2020),則()A. y = 45, s = 5B. y = 45, sy = 10 C. y = 50, sy = 5D.5y = 50,5V =10> 】D【解析】【分析】 分別代入平均數(shù)和標準差的公式，得到無和下的關系，以及3,和1的關系，計算求值.Y詳解% =冷+5( = 1,2,.,2020)五+ 5 + /&+5+. + 弧 + 5 = '|"1甘+毛+. + /。2。 + 520202)

6、2)( 2) 20202)= 15=ix20 = 10.22故選：D【點睛】本題考查樣本平均數(shù)和標準差的計算公式，重點考查計算化簡能力，屬于中檔題型, 本題的關鍵是利用公式正確化簡兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差.6.已知向量不=。,2), A(6,4), 8(4,3), B為向量幾 在向量d上的投影向量，則1=()A. 土£B. 1C. J5D. 45【答案】A【解析】【分析】首先計算而，再根據(jù)投影公式計算投影向量的模.由投影公式可知b2 xl + (1)x2故選：A 【點睛】本題考查投影的計算，屬于基礎題型.7.已知復數(shù)3 2i是關于x的方程2/_a+ = 0的一個根，則實數(shù)相，的值分別

7、為（）A. 6,8B. 12,0C, 12,26D, 24,26【答案】C【解析】 【分析】由條件可知2x（3 ?（3 2i） + = 0,化簡求值.【詳解】由條件可知3 2i是方程的一個實數(shù)根，則2x（3 ?（3 2i） + = 0化簡為：（103加 + ）+ （27 24" = 0,即，解得：加= 12, = 26.2? - 24 = 0故選:c【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)計算，重點考查計算化簡能力，屬于基礎題型.8 .在A43C中，若總IA總F,則此三角形為（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】而，=|而做差化簡.衣貓而（=/

8、.而而，利用數(shù)量積的公式判斷三角形的 形狀.【詳解】麗，=|麗.：.77-B=ACAB-AB=AB-（AC-AB = ABBC>Qt而通.比 =|通口而卜0$（乃_8） = -府口前卜0$8>0,.cos8<0,即角8為鈍角，所以此三角形是鈍角三角形.故選:B【點睛】本題考查向量數(shù)量積，重點考查轉化與化歸的思想，計算，化簡能力，屬于中檔題 型.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有 多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.9 .已知復數(shù)Z =上！（i是虛數(shù)單位），則下列結論正確的是（）1A. lzl=V

9、2B.復數(shù)z的共規(guī)復數(shù)之= l+iC.復數(shù)z的虛部等于1D. lz2nl=2M,neN*【答案】ACD【解析】【分析】首先化簡復數(shù)Z = 1 i，再分別分析四個選項，利用復數(shù)的相關定義判斷.初1 I （I），211 .【佯解】z =-；=1 /i r -i所以|z| = J（_l）2+（_1）2 =壺,故A正確：復數(shù)Z的共胡復數(shù)N = 1 + i,故B不正確： 復數(shù)z的虛部等于-1,故C正確：,=卜）1 = 口）"卜%1 = 2"，eN.故D正確. 故選：ACD【點睛】本題考查復數(shù)的的化簡，定義，運算律，屬于基礎題型.10.如圖，在梯形A8CO中，AB/CD, AB=2CD

10、t 與8C相交于點O,則下列結 論正確的是（）DABA. AD -AC = AB 2B. AB + BC + CD + DA = OC. OA + 2OD 1=02> 1D. OA = -DC + -DB 33I ABC【解析】【分析】由條件可知，OCDzNDAB,所以空="=?,再根據(jù)向量加減法的法則，分別計算 AB OA 2每個選項. I I I I 【詳解】A. AD-AC = CD = -AB 9所以A正確；2B.而+瑟+5+方彳=6正確，所以B正確；.CD OD 一 1 一 “C.NJCDzNDAB,所以=一，即一一04,所以 AB OA 22|oA+2d5| = |

11、oA-OA| = |6| = o,所以C正確：D. OA = -DA = -（DB + BA）= -（DB + 2DC）= -DB + -DC ,故 D 不正確.故選：ABC【點睛】本題考查向量加，減法，以及平面向量基本定理的應用，屬于基礎題型，本題后兩個選項的判斷，需根據(jù)條件08OA8,所以空=絲=:，確定向量關系.AB OA 21L設Z為非零向量，下列有關向量義的描述正確的是（）a IA.14-1 = 1B. 2ZI 6/1C.aD.-4 =1 a Ia【答案】ABD【解析】【分析】-A首先理解告表示與向量不同方向的單位向量，然后分別判斷選項.【詳解】各表示與向量不同方向的單位向量，所以=

12、1正確，口/不正確，所以AB正確, 同7當d不是單位向量時，3不正確,不一 aa=B|cosO =gx同=|磯，所以D正確.故選：ABD【點睛】本題重點考查向量自的理解，和簡單計算，應用，屬于基礎題型，本題的關犍是理 解而表示與向量,同方向的單位向量.12.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染 的標志為“連續(xù)7天，每天新增疑似病例不超過5人”.過去7日，甲、乙、丙、丁四地新增 疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，則一定符合該標志的是（ ）甲地：總體平均數(shù)3,且中位數(shù)為0;乙地：總體平均數(shù)為2,且標準差s<2：丙地：總體平均數(shù)3,且極差。<2：丁地：眾數(shù)為

13、1,且極差c<4.A.甲地B,乙地C.丙地D. 丁地【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)條件，舉例說明甲地和乙地，根據(jù)極差的概念，說明每天新增疑似病例的最大值，判斷 丙地和丁地.【詳解】甲地：滿足總體平均數(shù)743,且中位數(shù)為0,舉例7天的新增疑似病例為0, 0, 0, 0, 5, 6, 7,則不符合該標志：乙地：若7天新增疑似病例為1, 1, 1, 1, 2, 2, 6,滿足平均數(shù)為2,標準差§ =（1一2）2+2（-2）2+（6一2）2 < 2 ,但不符合該標志：丙地：由極差c«2可知，若新增疑似病例最多超過5人，比如6人，那么最小值不低于4人, 那么總體平均數(shù)了

14、43就不正確，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合該標志；丁地：因為眾數(shù)為1，且極差。<4,所以新增疑似病例的最大值<5,所以丁地符合該標志.故選：CD【點睛】本題考查統(tǒng)計的實際應用，重點考查統(tǒng)計的相關概念，以及舉例推理的能力，屬于 基礎題型.三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z =是純虛數(shù)，則?=.2 + 13【答案】-2【解析】【分析】由條件設與士 =萬（人工0）,再化簡，列式求解.4I <【詳解】Z是純虛數(shù)，則設f =萬伍工。）4I .m-?>i = （2+i）bi = -b+?l）i,m = -b33,解得：b

15、= ,i = 一2/7 = -3223故答案為：-2【點睛】本題考查根據(jù)復數(shù)的特征求參數(shù)的取值范圍，重點考查計算能力，屬于基礎題型.14.若向量滿足Ii=1, 1臼=2"1+ 2臼=&L記"與，的夾角為6,則8 =【】y【解析】【分析】 根據(jù)公式卜+ 2q=,（切+ 26，展開后利用數(shù)量積的運算公式化簡求值.【詳解】因為 a + 2b =+=JQ+4戶+4向日=Jl + 16 + 4，.b = &T，所以不 =1即同 b cosO = 2cos® = 1 = cos。=,因為6£o,4）,所以e = f.故答案為：!【點睛】本題考查向量數(shù)

16、量積，模，夾角的運算公式，屬于基礎題型.15.某地區(qū)年齡超過40周歲的男士的體重（單位：千克）全部介于49千克到99千克之間，現(xiàn) 從該地區(qū)年齡超過40周歲的男士中隨機抽取100人組成一個樣本進行統(tǒng)計.將這100名男士的體重的統(tǒng)計結果按如下方式分成五組：第1組49,59）,第2組59,69）,第3組69,79）,第4組79,89）,第5組89,99,其頻率分布直方圖如圖所示.則：（1）加=：（2）以每組的中位數(shù)作為本組每人體重的估計值估算該地區(qū)年齡超過4。周歲的男士體重的平均值為 （千克）.【答案】（1）. 0.035（2）. 72【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知頻率和為1,求加；（

17、2）根據(jù)頻率分布直方圖直接求解平均值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知（0.01 + 0.03 + ?+0.02+0.005）xl0 = l9解得：m = 0.035 ；(2)平均數(shù)為(54x0.01 + 64x0.03+74x0.035+84x0.02+94x0.005)x10 = 72.故答案為：0.035 ： 72【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，平均數(shù)的計算，屬于基礎題型，本題的關鍵是熟 記公式.16 .已知開始時A輪船在8輪船正南6千米處，當A輪船以2千米/分鐘的速度沿北偏東60。 方向直線行駛時，4輪船同時以近千米/分鐘的速度直線行駛去攔截A輪船，則3輪船攔截 所用的最短時間

18、為 分鐘.【答案】2【解析】【分析】設攔截所用的最短時間為7分鐘，由題意畫出A8C,根據(jù)余弦定理解三角形.【詳解】如圖，設攔截所用的最短時間為1分鐘，AB = 6千米，N84C = 60，4c = 21千米，8c = "/千米，根據(jù)余弦定理可知 BC2 = AB +AC2-2xABxACx cos 60S所以力2 =36+4/ 12r ，即產(chǎn)+4，-12 = 0，解得：7=2或/ = -6 (舍)故答案為：2【點睛】本題考查解三角形的實際應用問題，重點考查余弦定理解三角形，屬于基礎題型.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17 .甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零

19、件，在10天中，兩臺機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為: 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0：乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0.（1）分別求兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)：（2）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)和標準差的計算結果比較兩臺機床性能.【答案】（1）甲的眾數(shù)等于0：乙的眾數(shù)等于0和2：甲的中位數(shù)等于0：乙的中位數(shù)等于1：（2）甲乙的平均水平相當，但是乙更穩(wěn)定.【解析】【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的公式直接計算，眾數(shù)是指數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)是按從小到大排列，若是奇數(shù)個，則正中間的數(shù)是中位數(shù)，若是偶數(shù)個數(shù)，則正中間兩個數(shù)的平 均數(shù)是中位數(shù)；（2）平均數(shù)指數(shù)據(jù)的平均水平，標準差指數(shù)據(jù)的穩(wěn)

20、定程度，離散水平.【詳解】解：（1）由題知：甲的眾數(shù)等于。：乙的眾數(shù)等于。和2：甲的中位數(shù)等于0：乙的 中位數(shù)等于10 + 0 + 1 + 2 + 04-0 + 3 + 0 + 4 + 0(2)甲的平均數(shù)等于-=1乙的平均數(shù)等于2+0+2+0+2+0+2+0+2+010-17-甲的方差等于(0-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1尸+(0-1)2+(0-1尸+(3-1)2+(0-1尸+(4-1)2+(0-1)210乙的方差等于(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2 , =110所以甲標準

21、差等于J?，乙的標準差1 因此，甲乙的平均水平相當，但是乙更穩(wěn)定！【點睛】本題考查樣本的眾數(shù)，中位數(shù)，標準差，重點考查定義和計算能力，屬于基礎題型.18 .在復平面內，平行四邊形OA3C的頂點。，A，C，對應復數(shù)分別為0, 2+i, -l + 3i.（1）求赤，方及I麗I, ICAI：V210(2)設NOC5 = 6，求cos8.【答案】(1)OB = 1 + 4i9 OB = y/V7 之=3 2 1011 = 713 ： (2)【解析】【分析】（1）因為無=函+無，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知向量d礪，方的坐標，再表示方=方-花的坐標，再根據(jù)向量模的計算公式計算;（2）分別求向量將和赤坐標，再

22、根據(jù)夾角公式cose =icSmcoi計算.【詳解】解：（1）因為礪=3+反 所以礪所對應的復數(shù)4 = （2 +，） +（-1+ 3，）= 1 + 4,所以方= （L4）, |O§| = 712+42 =717因為。4 =。4一。6 所以五所對應的復數(shù)"=(2 + i)-(-l + 3i) = 3-2i所以徐=(3,-2), |04| = 32+(-2)2 =713(2)由題夕=<C從C。因為方=取= (2,1), CO = -OC = (L-3)所以屈4 = 2xl + lx(3) = l，I函:拉+尸=&= jF+(-3)2 =如所以 cos 0 = co

23、s <CB.COCBCOCB-CO正10【點睛】本題考查復數(shù)，向量，以及坐標的關系，向量數(shù)量積的坐標表示，重點考查定義, 公式，屬于基礎題型，本題的關鍵是理解向量坐標和復數(shù)的幾何意義的關系.19 .已知 tan（生+ a） = l,aeR .42（1）若向量Z = （2tane）I = （l,一lana）,求）萬的值： (2)若向量。= (6,l + cos2a),B = (-5,sin2c-cos%),證明:a/b .【答案】（1）一;；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式求tana,再表示萬石=tana：（2）根據(jù)公式計算si'2夕cos-a的值,再根據(jù)

24、向量平行的坐標表示判斷兩向量平行. 1 + cos 2a1 + tan a1 一 tan atan f tan a【詳解】解：(1)因為tan(J + a) =4. 乃1 - tan tan a4所以 tan a =- 3_ - 一 1所以 a Z? = 2 tan a - tan a = tan <z =3(2)因為-2s-a1+cos 2a2 sin a cos a - cos2 a2cos2 a2sina - cosa1 5=tan a =2cos<z26所以6(2sin2a-cos2 a)-(-5)(1 +cos2a) = 0.所以【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變形，向量平行

25、的坐標表示，重點考查基本公式，恒等變形 能力，屬于基礎題型.20 ,在八43。中，若。、b、c分別是內角A、B、。的對邊，已知同時滿足下列4B ：個條件中的3個：sin = ：a2+2-/+" = o；h = 2y/3tc = 3. 2 2（1）請指出這3個條件，并說明理由：（2）求 sin A .【答案】（1），理由詳見解析；（2） 土亙. 8【解析】【分析】（1）由可知8 = 60，由可知cosC =a2+b2-c22ab= -，可得。= 12。，所以條件 2不能一起，所以一起，再分別判斷或那個條件滿足；（2）由正弦定理求sinC,再求cosC,再根據(jù) A + 8 + C = 1

26、80 ,表示sinA = sin（3 + C）,化簡求值.【詳解】解：（1）AA8C同時滿足條件，.理由如下：若AA3C同時滿足，.因為sin& =2,且具(0," 所以與二：，即8 = g 2 2222 63因為c°sC = 土二生二二=一1,且Ce（0,左），所以。=三 2ab 23所以8+。=萬，矛盾所以AA8C只能同時滿足，.因為Z;>c,所以BC,故AA3C不滿足故AABC滿足，（2）在 AABC 中，h = 2y/3 , c = 3, B = 3又由正弦定理知：一二=一，所以sinC = ?"0 = 3sin B sinCb 4又因為c&

27、lt;Z?,所以C£（0,g）, cosC = ®24,乃 6a 13 3 + 庖 所以 sin A = sin(B + C) = sin(y + C) = x j- + x =-【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，三角恒等變換，屬于基礎題型，本題的關鍵是判斷 條件不能一起，再判斷其他就迎刃而解了.21.一年來，某足球隊的A足球運動員每天進行距離球門20米遠的射門訓練100次，若打進 球門算成功，否則算失敗.隨機提取該球員連續(xù)20天的成功次數(shù)統(tǒng)計如下：68,66,72,58,49,62,67,49,80,76,66,59,6。, 71,70,68,78,60,66,68 .

28、（1）估計該球員一天射門成功次數(shù)的四分位數(shù)：（2）若每天4民C三位球員均進行“三角戰(zhàn)術”配合訓練，要求三位球員在運動中必須保持如下規(guī)則：三人所在的位置構成AA3C, NB4C = £, AA8C的面積S = 4jT （平方米）.求8.C球員之間的距離的最小值（米）.【答案】（1）第25, 50, 75分位數(shù)分別約為：60, 66.5, 70.5： （2） 4米.【解析】【分析】（1）首先將球員連續(xù)20天的成功次數(shù)從小到大排序，按照四分位數(shù)的定義計算；（2）根據(jù)面積公式計算可得加= 16,再根據(jù)余弦定理結合基本不等式計算求得BC距離的最小值.【詳解】解：（1）將該球員連續(xù)20天的成功次

29、數(shù)從小到大排序，可得49 49 58 59 60 60 62 66 66 6667 68 68 68 70 71 72 76 78 80因為25%x20 = 5, 50%x20 = 10, 75%x20 = 15.所以，樣本數(shù)據(jù)的第25分位數(shù)等于”"=6°，第50分位數(shù)等于蛆包=66.5, 22第75分位數(shù)等于"4 = 70.5 2所以該球員一天射門成功次數(shù)的第25, 50, 75分位數(shù)分別約為：60, 66.5，70.5（2）設A48C的內角所對的邊分別為小4c,則A = £,3因為 S = besin A = 叵be = 4小»所以歷=16 24由余弦定理知：a2 =b2 +c2 -2bccosA所以/ =b + c -be > The-be = be = 16 （當且僅當h = c = 4時等號成立）所以所以aC球員之間的距離的最小值是4（米）【點睛】本題考查四分位數(shù)，余弦定理，基本不等式求最值，重點考查基本公式，基本轉化, 計算能力，屬于基礎題型.22.如圖所示，在四邊形45CD中：ZACB = -t AB = B AC + BC = 3t AC>BC, 3點七為四邊形45。的外接圓劣弧（不含C。）上一動點.E（2）若從。=工人3 +）么石（1,丁£1）,設ND4£ = a，