1、指數形式有時改寫為極坐標形式：注意：要熟練掌握復數的四種表示形式及相互轉換關系，這對復數的運算非常重要。2. 復數的運算(1) 加減運算 采用代數形式比較方便。若則即復數的加、減運算滿足實部和實部相加減，虛部和虛部相加減。復數的加、減運算也可以在復平面上按平行四邊形法用向量的相加和相減求得，如圖 8.2 所示。(2) 乘除運算 采用指數形式或極坐標形式比較方便。圖 8.2若則即復數的乘法運算滿足模相乘，輻角相加。除法運算滿足模相除，輻角相減，如圖 8.3 示。圖 8.3圖 8.4(3) 旋轉因子：由復數的乘除運算得任意復數 A 乘或除復數， 相當于 A 逆時針或順時針旋轉一個角度 ，而模不變，

2、如圖 8.4 所示。故把稱為旋轉因子。當當故 +j, j, -1 都可以看成旋轉因子。復數運算定理3.定理 1式中 K 為實常數。定理 2定理 3若則例 81 ，計算 復數解：本題說明進行復數的加減運算把極坐標形式轉為代數形式。例 82 ，計算 復數解：本題說明進行復數的乘除運算把代數形式轉為極坐標形式。§8.2正弦量1.正弦量電路中按正弦規律變化的電壓或電流統稱為正弦量，以電流為例，其瞬時值表（本書采用 cosine 函數）：波形如圖 8.5 所示。圖 8.5注意：激勵和響應均為正弦量的電路稱為正弦電路或交流電路。研究正弦電路的意義：（1）正弦電路在電力系統和電子技術領域占有十分重

3、要的地位。由于：1） 正弦函數是周期函數，其加、減、求導、2） 正弦信號容易產生、傳送和使用。運算后仍是同頻率的正弦函數；（2）正弦信號是一種基本信號，任何復雜的周期信號可以分解為按正弦規律變化的分量。因此對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義。2. 正弦量的三要素（1）Im幅值(振幅、最大值)：反映正弦量變化過程中所能達到的最大幅度。（2）角頻率：為相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。它與周期和頻率的關系為：rad/s（3）y 角：反映正弦量的計時起點，常用角度表示。需要注意的是：1）計時起點不同，位不同，圖 8.6 給出了同一個正弦量在不同計時起點下位的取值。2）一般規定位取主值

4、范圍，即 |y| 。圖8.63）如果余弦波的正最大值發生在計時起點之后，如圖 8.7 所示，則位為負，如果余弦波的正最大值發生在計時起點之前，則位為正。4）對任一正弦量，可以任意指定，但同一電路中許多相關的正弦量只能對于同一計時起點來確定圖8.7各自的相位。3. 相位差相位差是電路中兩個同頻正弦量之間相位關系的量。設則相位差為：差，通常相位差取主值范圍，即：|上式表明同頻正弦量之間的相位差等于如果上式中 0 ，稱 u超前 i，或 i滯 u ，表明 u比 i 先達到最大值；如圖 8.8（a）所示。如 0 ， 稱 i超前 u，或 u滯后 i, 表明 i 比 u先達到最大值。如 =±p ，

5、稱 i與 u 反相，如圖 8.8（b）所示；如 =0 ，稱 i 與 u 同相，如圖 8.8（c）所示。圖 8.8 （a）需要注意的是：（b）（c）兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數、同符號，且在主值范圍比較。4. 正弦電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其平均效應，工程上采用有效值來表示。周期電流、電壓有效值的物理意義如圖 8.9 所示，通過比較直流電流 I 和交流電流 i 在相同時間 T 內流經同一電阻 R 產生的熱效應，即令：從中獲得周期電流和與之相等的直流電流 I 之間的關系：這個直流量 I 稱為周期量的有效值。有效值也稱值。圖 8.9同樣，可定義電壓

6、有效值：設正弦電流相應的有效值為：因為所以即 正弦電流的有效值與最大值滿足關系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：若一交流電壓有效值為 U = 220V ，則其最大值為 Um311V ；需要注意的是：（1）工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水應按最大值考慮。（2）測量流測量儀表指示的電壓、電流讀數一般為有效值。（3）區分電壓、電流的瞬時值 i、u ，最大值 IMm 、 Um 和有效值 I、U 的符號。例 83 已知正弦電流波形， 103rad/s ，（1）寫出正弦 i(t) 表；（2）求正弦

7、電流最大值發生的時間 t1例 8 3 圖解： 根據圖示可知電流的最大值為 100A ， t=0 時電流為 50A，因此有：解得由于最大值發生在計時起點右側故取所以當時電流取得最大值，即：例 84 ，計算下列兩正弦量的相位差。解：（1）轉為主值范圍：說明 i1 滯后 i2。（2） 先把 i2 變為余弦函數：則說明 i1 超前 i2。（3） 因為兩個正弦量的角頻率，故不能比較相位差。（4）則說明 i1 超前 i2本題說明兩個正弦量進行相位比較時應滿足同頻率、同函數、同符號，且在主值范圍比較。§8.3相量法的基礎正弦穩態線性電路中，和各支路的電壓和電流響應與激勵源是同頻率的正弦量，因此應用

8、定理分析正弦電路將遇到正弦量的相減運算和、微分運算，在時域進行這些運算十分繁復，通過借用復數表示正弦信號可以使正弦電路分析得到簡化。1. 正弦量的相量表示構造一個復函數對 A(t) 取實部得正弦電流：上式表明對于任意一個正弦時間函數都有唯一與其對應的復數函數，即：A(t) 還可以寫成稱復常數為正弦量 i(t)對應的相量，它包含了 i(t)的兩個要素 I ,Y。任意一個正弦時間函數都有唯一與其對應的相量，即：注意：相量的模為正弦量的有效值，相量的幅角為正弦量的位。同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：例如若已知正弦電流和電壓分別為：則對應的相量分別為：若正弦電流的相量頻率則對應的正弦電流為：2.

9、 相量圖在復平面上用向量表示相量的圖稱為相量圖。如已知相量則對應的相量圖如圖 8.10所示。輻角為零的相量稱為參考相量。圖8.103.相量法的應用(1) 同頻率正弦量的加減圖8.11則：從上式得其相量關系為：故同頻正弦量相加減運算可以轉變為對應相量的相加減運算，運算過程如圖 8.11 所示。（2）正弦量的微分、運算設則即對應的相量為而即對應的相量為以上式子說明正弦量的微分是一個同頻正弦量，其相量等于原正弦量 i的相量 乘以，也是一個同頻正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量正弦量的除以。例如圖 8.12 所示 RLC 串聯電路，由 KVL 得電路方程為根據正弦量與相量的關系得以上微方程對應的相

10、量方程為圖 8.12因此引入相量的優點是：（1）把時域問題變為復數問題；（2）把微方程的運算變為復數方程運算；需要注意的是：1）相量法實質上是一種變換，通過把正弦量轉化為相量，而把時域里正弦穩態分析問題轉為頻域里復數代數方程問題的分析；2）相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。3）相量法用來分析正弦穩態電路。例 85 ，計算兩正弦電壓之和，已知：解： 兩正弦電壓對應的相量為 :相量之和為：所以本題也可借助相量圖計算，如下圖所示。例 8 5 相量圖的正、誤，并給出正確結果。例 86 ，試下列表解：（1）錯 ，瞬時式和相量，正確寫法為：（2）錯 ，瞬時式不能和相量相等，正確寫法為：（3）

11、 錯 ，有效值和相量（4） 對，正確寫法為：（5）錯 ，感抗和容抗，正確寫法為：（6）錯 ，有效值和相量，正確寫法為：（7）錯，電容和電感的VCR，正確寫法為：或§8.4電路定律的相量形式1. 電阻元件 VCR 的相量形式設圖 8.13(a)中流過電阻的電流為則電阻電壓為：其相量形式：圖 8.13（a）以上式子說明：（1）電阻的電壓相量和電流相量滿足復數形式的歐姆定律：，圖 8.13(b)為電阻的相量模型圖。（2）電阻電壓和電流的有效值也滿足歐姆定律：UR = RI（3）電阻的電壓和電流同相位，即：u = i圖 8.13（ b ）電阻電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.14(a)和(

12、b)所示。圖 8.14（a）電阻的瞬時功率為：圖 8.14（b）即瞬時功率以 2 交變，且始終大于零，如圖 8.14（a）所示，表明電阻始終吸收功率。2. 電感元件 VCR 的相量形式圖 8.15 （a）圖 8.15（b）設圖 8.15（a）中流過電感的電流為則對應的相量形式分別為：以上式子說明：（1） 電感的電壓相量和電流相量滿足關系：，其中 XL=L=2fL ，稱為感抗，為 (歐姆)，圖 8.16（b）為電感的相量模型圖。（2）電感電壓和電流的有效值滿足關系：，表示電感的電壓有效值等于電流有效值與感抗的乘積。（3）電感電壓超前電流相位，即：電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.16（a）

13、和（b）所示。注意:（1） 感抗表示限制電流的能力；（2）感抗和頻率成正比如圖 8.16（c）所示，當；電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.16（a）和（b）所示。圖 8.16 （a）電感的瞬時功率為：圖 8.16（b）圖 8.16（c）即電感的瞬時功率以 2 交變，有正有負，如圖 8.16（a）所示。電感在一個周期內吸收的平均功率為零。3.電容元件 VCR 的相量形式設圖 8.17（a）中電容的電壓為：則 對應的相量形式分別為：圖 8.17（a）圖 8.17（b）以上式子說明：（1）電容的電壓相量和電流相量滿足關系：其中 XC =1/C ，稱為容抗，為 (歐姆)，圖 8.17（b）為電容

14、的相量模型圖。（2）電容電壓和電流的有效值滿足關系：，表示電容的電壓有效值等于電流有效值與容抗的乘積。（3）電容電壓滯后電流相位，即：電容電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.18（a）和（b）所示。注意: 容抗和頻率成反比如圖 8.18（c）所示，當，說明電容有隔斷直流的作用，而高頻時電容相當于短路。圖 8.18（a）電容的瞬時功率為：圖 8.18（b）圖 8.18（c）即電容的瞬時功率以 2 交變，有正有負，如圖 8.18（a）所示。電感在一個周期內吸收的平均功率為零。4.定律的相量形式同頻率的正弦量以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦穩態電路中，KCL和 KVL 可用相應的相量形式表

15、示。對電路中任一結點，根據 KCL 有，由于得 KCL 的相量形式為：同理對電路中任一回路，根據 KVL 有，對應的相量形式為：上式表明：流入某一節點的所有正弦電流用相量表示滿足 KCL ；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示滿足 KVL 。例 87，圖(a)所示電路中電流表的讀數為：A1=8A ，A2=6A，試求：（1）若，則電流表 A0 的讀數為多少？I0max（2）若為何參數，電流表A0的讀數最大？= ？I0min（3）若為何參數，電流表A0的讀數最小？= ？（4）若為何參數，可以使電流表A0=A1 讀數最小，此時表 A2=？例 8 7 圖（a）(b)解：（1）設元件兩端的電壓相量為參考

16、相量，根據元件電壓和電流相量的關系畫相量圖如圖（b）所示，則：（2）因為是電阻，所以當也是電阻時，總電流的有效值為兩個分支路電流有效值之和，達到最大值：（3）因為是電感元件，所以當是電容元件時，總電流的有效值為兩個分支路電流有效值之差，達到最小值：（4）是電感元件，所以當是電容元件時，滿足，求電源電流 i(t)例 88 ，電路如圖(a)所示，已知電源電壓例 8 8 圖（a）(b)解：電壓源電壓的相量為：計算得感抗和容抗值為：電路的相量模型如圖（b）所示。根據 KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得：所以us(t)例 89 ，電路如圖（a）所示，已知電流，求。例 8 9 圖（ a ）(b)解：電流的相量為：計算得容抗為：電路的相量模型如圖（b）所示。根據KVL 和元件的 VCR的相量表示式得：例 810 ，電路如圖（a）所示，已知電壓，求電壓例 8 10 圖（ a ） (b)解：以電流為參考相量，相量圖如圖（b）所示，根據相量圖得：所