1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)第1章隨機(jī)事件及其概率Pnm!從m個(gè)人中料k由n個(gè)人:井(1)排列組合公式Pm/八m1/二十n|，也(mn)!行排列的可能數(shù)。cm口從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)n!(mn)!行組合的可能數(shù)。(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mXn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mn種方法來完成。(3)些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對(duì)立事件(至少有一個(gè)

2、)順序問題1和隨機(jī) 事件但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的三能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)不，不管事件有多少個(gè)，一總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（5）基 本事 件、樣 本空間 和事件任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。事件，用由來表刀、。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間,用Q表7Ko一個(gè)事件就是由。中的部分點(diǎn)（基本事件”）組成的集合。通常用大寫字母4B,G表示事件，它們是。的子集。0為必然事件，0為不可能事件。不可能事件（0）的概率為零，而概

3、率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事關(guān)系:i如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通

4、常用大寫字母A,B,C,表示事件，它們是的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，1必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。關(guān)系:如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AB如果同時(shí)有AB,BA,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=BAB中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者ab,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。AB同時(shí)發(fā)生：AB,或者ABAB=?,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事

5、件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為限它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對(duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(A1UB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)德摩根率：iiiiABAB,ABAB概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿足下列三個(gè)條件：10P(A)0,則稱竟1為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)3。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/

6、A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，對(duì)事件A,若P(AAAn-1)05則有P(A1A2.An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)01兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB)p(A)p(B),則稱事件A、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)0,則有P(B| A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)P(B)1若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到:與B、A與B、A與B也都相互獨(dú)立。(14)獨(dú)立性?與任何事件都互斥多個(gè)事件的獨(dú)立性必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，

7、P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。設(shè)事件(15)全概公 式P(Bi) 0(iBi, B2,Bi, B2,1,2,B,Bn,n),n滿足兩兩互不相容，2。A則有BiP(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)o設(shè)事件B1,1O_B1B2B2,)Bn及A滿足Bn兩兩互不相容,P(Bi)021,nBiiP(A)02(16)貝葉斯 公式則P(BA)nP(Bi)P(A/Bi),i=1,2,-noP(Bj)P(A/Bj)j1此公

8、式即為貝葉斯公式。劈),。率。P(Bi/A)后驗(yàn)郎的念),通常叫先驗(yàn)概?，“犍商為12-J,(i1.2.+率。貝葉廝公式反映.的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷我們作了n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；(17)伯努利 概型每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則云發(fā)生的概率為1Pq,用網(wǎng)的表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0kn)次的概率)八、一kknkPn(k)Cnpq)k0,1,2,no第二章隨機(jī)變量及其分

9、布(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=X)的概率為P(X=x05q=1-po隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量x的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a,b上為常數(shù)j即ba1f(x)ba,aw強(qiáng)他則稱隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布，記為XU(a,b)o分布函數(shù)為Jba,axLxF(x)f(x)dx1,當(dāng)ax1x2b時(shí))X落在區(qū)間(必？2)內(nèi)的概率為_x2XP(x1Xx2)oba11f(x)0,其中0,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為記住積分公式:xnexdxn!0正態(tài) 分

10、布設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為,1(X2(x)j2e)x)其中”、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)2變量x服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布)記為XN(,2)。f(x)具有如下性質(zhì)：1f(x)的圖形是關(guān)于x對(duì)稱的；20 當(dāng)x值；XN（,某x）1、2時(shí)，f()一為最大.2x2)原則X的分布函數(shù)為e 2 dto o參數(shù)0、1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN(0,1),密度函數(shù)記為(x)2e2分布函數(shù)為xt2e2dto(x)是爾可求積函數(shù)，其函數(shù)值,已編制成表可供查用。（-x）=1-（x）且（0）=/如果XN（,2）貝UjXN（0,1）。x2x1P（xXx2）一-O(6)分位下分位表：P(X)=；上分

11、位表：P(X)=。函數(shù)離散型已知X的分布列為Xx1,x2,xn,P(X,xi)R，,P2Pn，一rj分布Yg(X)的務(wù)布列(yig(Xi)互不相等)如下：Yg(x1),g(x2),g(xn),磬有M些飛湍相等廣則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的Pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)0(i,j=1,2,(2)pj1.2二維 隨機(jī) 變量 的本 質(zhì)連續(xù)對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果存型在非負(fù)函數(shù)f(x,y)(x,y),使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|axb,cy0;(2) f(x,y)dxdy1.(Xx,Yy)(XxYy

12、)1聯(lián)合 分布 函數(shù)(3)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)PXx,Yy稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(r2)lX(1)x,Y(2)y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0F(x,y)1;(2) F(x,y)分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2xi時(shí)，有F(x2,y)F(xi,y);當(dāng)y2yi時(shí)，有F(x,y2)F(x,yi);(3) F(x,y)分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);F(,)F(,

13、y)F(x,)0,F(,)1.(4) 對(duì)于xx2，y1y2，F(xiàn)(x2,y2)F(x2,y1)F(x1，、2)F(x，y1)0.1(4)離散P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy型與連續(xù)型的關(guān)系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(Xx,)Pj(i,j1,2,)；Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為fX(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fY(y)f(x,y)dx.(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為Pijp(yyj|Xx,)；Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(Xxi|

14、Yyj),P?j1連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)3;fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)*fx(X)獨(dú)立性般型F(X,丫尸F(xiàn)x(x)FY(y)離散型PjPi?p?j有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形一維正態(tài)分布221x12(x1)(y2)y212(12)1122f(x,y)ee,2124；12=01隨機(jī)若X,X2,X,Xm+1,X相互獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù))則：h(X,XX)和g(Xm+i,X)相互獨(dú)立。特例：若X與丫獨(dú)立，則：h(X)和g(Y)獨(dú)立。例如：若X與丫獨(dú)立，則：

15、3X+1和5Y-2獨(dú)立。i（8）二維 均勻 分布設(shè)隨機(jī)向量（X, Y）的分布密度函數(shù)為Sd(x,y) df(x,y)0, 其他其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱（X,Y）服從D上的均勻分布，記為（X,Y）（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。yi一/3.1xi圖3.2(9)二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為f(x,y)1212.112(12)e22x12(x1)(y2)112(10)函數(shù)分布其中1，2,10，20，lI1是5個(gè)參數(shù))則稱(X)Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)N(1,2,12,；,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XNI(

16、1,：),yn(2,2).但是若XN(1,；),yn(2,22),(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。z=x+根據(jù)定義計(jì)算rYFz(z)P(Zz)P(XYz)對(duì)于連續(xù)型，fz(z)=f(x,zx)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12,122)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。Ci22Z=ma x,min( Xl,X2, Xn)若X1,X2Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fxi(x),Fx2(x)Fxn(x)則Z=max,min(X3X2，Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x)Fxi(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)11Fxi(x)?1Fx2(x)1Fxn(x)12分布

17、設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2, ,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n2WXi1 1n i u2 一 2u2 e 2u 0,u 0.的分布密度為1nf(u)22n2Q我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的2分布，記為W2(n),其中nn21xAx2edx.2 0所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)丫2(n)k2,、ZYi(nin2nk).i11t分布設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且2XN(0,1),Y(n),可以證明函數(shù)n 1n的概率密度為).我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。ti(n)t(n)iF分布

18、設(shè)X2(n”%2),且X與Y獨(dú)立，可以證明F泮的概率密度函數(shù)Y/n2為n1n2n1n1n22n12g1n12f(v)y1y,y0f(y)n1n2n2n2萬220,y0我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為m,第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(n1,n2).L/、1F1(小口).、Fn,)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1(1) 一維期望隨 機(jī) 期望就是平均值變量的數(shù)字特征離散型設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(Xxk)=pk,k=1,2,n,nE(X)xkPkk1(要求絕對(duì)收斂)連續(xù)型設(shè)X是連續(xù)若機(jī)變量，其概其度為f(x),E(X)xf(x)dx(要求絕對(duì)收函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)g(xk)

19、Pkk1方差D(X)=EX-E(X)2,標(biāo)準(zhǔn)差(X)JD(X)_2D(X)xkE(X)pkkE(Y)2D(X)xE(X)2Y=g(X)g(x)f(x)dx1對(duì)于正整數(shù)對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次塞的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,即vk=E(Xk)=kXiPi,k=1,2,.對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次騫的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為即kE(XE(X)kk(XiE(X)Pik=1,2,稱隨機(jī)變量X次嘉的數(shù)學(xué)期為X的k階矩，記為Vk,IVk=E(X)=xkf(xk=1,2,對(duì)于正整數(shù)稱隨機(jī)變量X(X)差的k；的數(shù)學(xué)期望為的k階中心矩為k,即kE(XE(X)kk(xE(X

20、)fk=1,2,.2切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E1=以，方差D(X)=b意正數(shù),有下列切比雪夫不等2P(X)一2切比雪夫不等式給出了在未知分布的情況下，對(duì)概率P(X的一種估計(jì)，它在理論上有重要義。(2)(1)(3)E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)nnE(GXi)CiE(XJi1i1(4)E(XY)=E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立;充要條件：X和Y不用(3)1方差的性質(zhì)(1) D(C)=0;E(C戶C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX戶aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(

21、X2)-E2(X)(5) D(XY)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立充要條件：X和丫二關(guān)。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常見分布的期望和|方差期望方差0-1分布B(1,p)pp(1p)二項(xiàng)分布B(n,p)npnp(1p)泊松分布P()幾何分布G(p)1p1p2p超幾何分布H(n,M,N)nMNnM,MNr1NNN1均勻分布U(a,b)ab2(ba)212指數(shù)分布e()112正態(tài)分布N(,2)22分布n2n1t分布0(n2)(5)二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望nE(X)XiPi?i1nE(Y

22、)yjP?jjiE(X)E(Y)xfX(x)dxyfY(y)dy函數(shù)的期望EG(X,Y)=G(Xi,yj)pjEG(X,Y)=G(x,y)f(x,y)dxdy方差：D(X)XiE(X)2Pi?D(Y)XjE(Y)2p?jD(X：D(Y)xE(X)2fyE(Y)2fY協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱它們那階混合中心矩11為X與Y的協(xié)7或相關(guān)矩，記為XY或cov(X,Y),即XY11E(XE(X)(YE(Y).與記號(hào)XY相對(duì)應(yīng)，X與Y的方5(X)與D(Y)也可分別記為xx與1相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果1D(Y)0,則稱XY為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作XY時(shí)可簡記為)。|W1,當(dāng)|=1時(shí)，稱X完全相關(guān)

23、：P(XaYb)1完全相關(guān)正相關(guān)，當(dāng)負(fù)相關(guān)，當(dāng)1 時(shí)(a 0),1 時(shí)(a 0),而當(dāng)0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)以下五個(gè)命題是等價(jià)的： XY。； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果有E存在，則稱之為X與Y的k+l合原點(diǎn)矩，記為 心矩記為：k+l2(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)獨(dú)立和不則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 X和YUkiE(XE(X)k(YE(Y)1.cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii) cov

24、(Xi+X,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(i)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則XY。；(ii)若(X,Y)N(i,2,2,2,),相關(guān)關(guān)第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X切比雪夫大數(shù)律設(shè)隨機(jī)變量X,X,相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(X)C(i=1,2,)，則對(duì)于任意的正數(shù),有1ninlimPXi-E(Xi)1.nni1ni1特殊情形：若X1,X具有相同的數(shù)學(xué)期望E(X)=以，則上式成為1nlimP-Xi1.nni11伯努利大數(shù)律設(shè)N是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概

25、率，則對(duì)于任意的正數(shù),有l(wèi)imPp1.nn伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即limPp0.nn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)律設(shè)X,X,，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(X)二,則對(duì)于任意的正數(shù)有1nlimPXi1.nni11(2)心極定理XN(中列設(shè)隨機(jī)變量X,X2,相互獨(dú)限維立，服從同一分布，且具有相同2一)n林德伯格的數(shù)學(xué)期望和方差：E(XQ,D(XQ20(k1,2,)則隨機(jī)變量nXknYnk1n的分布函數(shù)Fn(X)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X)有1lim Fn (x) lim PnXk n1、.nt21X-x一e2d

26、t.、-2此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗一拉普拉斯理limPn設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n,P(0P1)的二項(xiàng)分布)則對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,有Xnnp.np(1p)t2ix2e2dt.2(3)項(xiàng)定理若當(dāng)N時(shí),Mp(n,k不變)貝CknkMCNMkknknCnp(1p)(N).CN超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理若當(dāng)n時(shí),npCnPk(1P)0,則knk-ek!(n).2其中k=0,1,2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體統(tǒng)計(jì)的基本概念稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有

27、分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單兀稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品Xl,X2,Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指田-次抽取的結(jié)果時(shí)，Xi,X2,Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，XX2,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。1樣本函數(shù)設(shè)Xi,X2,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱(Xi,X2,Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(X1,X2,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。和

28、統(tǒng)常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值XXi.nii樣本方差1nS2d(XiX)2.n1i1樣本標(biāo)準(zhǔn)差SAn(Xix)2.nn1i1樣本k階原點(diǎn)矩1nLMk-Xik,k1,2,.ni1樣本k階中心矩1 n-Mk一(XiX)k,k2,3,.ni12E(X)D(X)nE(S2)E(S*2)n12,nn其中S*21nX)2為二階中心ni17矩。1正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)X1,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)defXu=-N(0,1)./而t分布設(shè)X1,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)defxt一一t(n1),s/Vn其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分

29、布。2分布設(shè)X1,X2,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)一_2w%MS2(n1),其中2(n1)表示自由度為n-1的2分布。1F分布設(shè)Xl,X2,xn為來自正態(tài)總體N(,12)的一個(gè)樣本，而yi,y2,yn為來自正態(tài)總體N(,力的一個(gè)樣本)則樣本函數(shù)1,n2 1),def2/122F(n1S2/2其中S2nini 1ii(xi x)2，S221n21n2(yi 1y)2;2F(n11,n2述表示第一自由度為n11)第二自由度為n21的F分布。(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)X與S2獨(dú)立第七章參數(shù)估計(jì)(1)點(diǎn)估矩估計(jì)計(jì).1設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)F(x;vk數(shù)，m,則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩E(Xk)(k1,2,m)中也包含了未知參1,2,m,即vkvk(1,2,m)O又設(shè)X1,X2,Xn為總體X的門個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為1n,1Xik(k1,2,m).ni1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩的原則建立方程，即有v1(1,2,m)mXi由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)知參數(shù)(,m)即為參數(shù)，m)的矩估計(jì)量。為的矩估計(jì))g(x)為連續(xù)函數(shù),則g(3為g()的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(X；1，2,m),其中1，2，m為未知參數(shù)。又設(shè)X1,X2,Xn為總體的一個(gè)