1、空間曲線方程不同形式間的轉化技巧李晶晶摘要：空間曲線的參數方程和一般方程是空間曲線方程的兩種非常重要的形式，它們表示同一條曲線，因此可以相互轉化兩種形式相互轉化的方法有很多，本文主要介紹了常用的幾種在轉化的過程中要保證方程的等價性和同解性關鍵詞：一般方程；參數方程；互化；等價性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve EquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematic

2、s ,School of Mathematics & Statistics)Abstract: Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve They represent the same curve, so they can be transformed into each other There are many methods for the conversion between these two kin

3、ds of forms This paper mainly introduces several methods commonly used During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solutionKey words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution1 引言空間解析幾何的首要問題是空間曲線的方程的求解空間曲線方程主要包含兩種形式，即

4、一般方程（普通方程）與參數方程空間曲線的一般方程反映的是空間曲線上點的坐標x,y,z之間的直接關系空間曲線的參數方程是通過參數反應坐標變量之間的間接關系在求空間曲線的弧長以及空間曲線上的第一類與第二類曲線積分等方面都用到了空間曲線的參數方程由于任何一種曲線方程的求解方法都不能適用于所有方程的求解，因此如何完成空間曲線方程不同形式的互化便成了一個基本問題.1空間曲線的方程是建立在平面曲線方程的基礎之上的，研究空間曲線方程不同形式之間的轉化依賴于平面曲線不同形式之間的轉化我們首先回顧之前所學的平面曲線方程的形式以及不同形式間的相互轉化1.1 平面曲線方程的形式1.1.1 平面曲線的一般方程 平面曲

5、線一般方程的定義2 當平面上取定了坐標系之后，如果方程或與一條曲線有著下列關系：滿足方程的必是曲線上的某一點的坐標；反過來，曲線上任何一點的坐標滿足這個方程，那么這個方程就叫做這條曲線的一般方程，而這條曲線叫做這個方程的圖形1.1.2 平面曲線的參數方程平面曲線參數方程的定義2 若取的一切可能取的值，滿足：由表示的向徑的終點總在一條曲線上；反過來，在這條曲線上的任意點，總對應著以它為終點的向徑，而這向徑可由的某一值通過完全決定，那么就把這個表達式叫做這條曲線的向量式參數方程，其中為參數參數方程為.1.2 平面曲線方程不同形式間的轉化 平面曲線的參數方程轉化為一般方程平面曲線的參數方程轉化為一般

6、方程的方法有很多，主要根據實際情況消去參數，從而轉化為一般方程下面重點介紹比較常用的代數消元法和三角公式消元法首先是代入消元法例1.1 化物體的運動方程 （）為一般方程解 由方程組的第一個式子得,代入方程組第二式子得即這是拋物線方程下面介紹應用三角公式消元法例1.2 化下列參數方程為一般方程:（）（為常數）（） （）解（1）原方程即 ，得 這是雙曲線的標準方程當，（是整數）時，,參數方程表示雙曲線的右面一支；當 時，表示雙曲線的左面一支 （2）原方程即 ，得由此，代入得，得，即， 平面曲線的一般方程轉化為參數方程我們也可以把平面曲線的一般方程改寫為參數方程一般地，根據實際情況選取參數，找出與參

7、數的關系式，然后代入原方程求出，那么，就是曲線的參數方程也可以先求出，然后，代入原方程得出曲線的參數方程.4例1.3 化普通方程為參數方程，其條件是解 把條件代入原方程，得解得或，所以曲線的參數方程為（其中為參數）或 (其中為參數)第二種類型，沒有任何條件需要自己選擇參數表示出恰當的函數關系例1.4 化平面曲線的普通方程為參數方程解 由原方程可得，即，根據三角公式，我們可設，所以參數方程為（為參數）.2 空間曲線方程的形式2.1空間曲線的一般方程空間曲線一般方程的定義3 空間曲線可以看做是兩個曲面的交線 設兩個曲面的方程分別為和，它們的交線為因為曲線上的任何點的坐標應同時滿足這兩個曲面的方程，

8、所以應滿足方程組 （2.1）反過來，如果點不在曲線上，那么它不可能同時在這兩個曲面上，所以它的坐標不滿足方程組（2.1）因此，曲線可以用方程組來表示，方程組叫做空間曲線的一般方程. 例2.1 方程組表示什么曲線？ 解 此方程組是以原點為球心，以4為半徑的一個被平面所截后得到的截口曲線，這一曲線表示的是圓也可以理解為中心軸是軸的圓柱面被平面所截后得到的截口曲線2.2 空間曲線的參數方程空間曲線參數方程的定義3 空間曲線的方程除了一般方程之外，也可以用參數形式表示，只要將上動點的坐標表示為參數的函數 （2.2）當時，就得到上的一個點；隨著的變動便可得曲線上的全部點方程組（2.2）叫做空間曲線的參數

9、方程.例2.2 一個動點繞定直線做等角速度圓周運動，同時沿該直線的方向做等速直線運動，這個動點的軌跡叫圓柱螺旋，試建立圓柱螺旋線的方程解 設動點在半徑為的圓柱面上以角速度做圓周運動同時又以線速度沿圓柱面軸線方向做等速度直線運動，則點的運動軌跡就是圓柱螺旋線 先建立空間直角坐標系設動點由出發經時間運動到點記在面上的投影為，它的坐標為，由于動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉，所以經過了時間后，從而， 又由于動點同時沿平行與軸的正方向勻速上升，線速度為，所以因此，圓柱螺旋線的參數方程為 令，而，則圓柱螺旋線可用作參數方程表示，即 這里 3 空間曲線方程不同形式的互化空間曲線的參數方程與一般方程是建立在平

10、面曲線方程的基礎之上的因此，我們類比平面曲線方程兩種形式間的轉化方法得出空間曲線不同形式間的轉化方法3.1 空間曲線的參數方程轉化為一般方程將空間曲線的參數方程化為一般方程應根據參數方程的具體形式，決定消去參數的方法下面重點介紹空間曲線的參數方程化為一般方程的代入消元法和三角公式消元法3.1.1 代入消元法將空間曲線的參數方程轉化為一般方程時，代入消元法是最常用的一種方法，同時也是最基本的一種方法 例3.1 一個動點繞定直線做等角速度圓周運動，同時沿該直線的方向做等速直線運動，試建立這個動點軌跡的一般方程解 由例22可知動點軌跡的參數方程為接下來，我們將此參數方程轉化為一般方程我們運用代入消元

11、法消去參數，由得出，然后代入或，可得或又由和得到因此，動點運動軌跡的一般方程為或 例3.2 化空間曲線的參數方程 為一般方程解 由可知，將代入和得空間曲線的一般方程為由例3.1，3.2可以看出對于某些形式的參數方程用代入消去法化為一般方程非常方便3.1.2 三角公式消元法 三角公式消元法的運用也非常廣泛例3.3 化下列空間曲線的參數方程（1） （2） 為一般方程解由可知：，又因為,因此曲線的一般方程為 （2）由得：，因為，所以曲線的一般方程為綜上所述，將空間曲線的參數方程化為一般方程的方法很多，應根據參數方程的具體形式，決定消去參數的方法3.2 空間曲線的一般方程轉化為參數方程將空間曲線的一般

12、式方程化為參數方程是一個難點將空間曲線的普通方程轉化為參數方程時，選取參數對我們來說是十分重要的當我們選取不同的參數時，同一曲線的參數方程就可以有不同的形式選取恰當的參數，方程將會有比較簡單的形式我們采取的方法一般是先根據實際情況，給出其中一個或兩個變量關于參數的方程，然后再代入空間曲線的一般方程，從而得到曲線的參數方程將空間曲線的一般方程轉化為參數方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外還可采用把曲線投影到坐標面上的方法，利用對稱式方程等方法.53.2.1 三角公式法若方程經過恒等變形可出現，則可用三角公式法例3.4已知半徑為的球面與一個直徑等于球的半徑的圓柱面，如果圓

13、柱面通過球心，那么這時球面與圓柱面的交線叫做維維安尼曲線，求維維安尼曲線的參數方程式 解 由已知條件，我們得到曲線的一般方程相對來說比較簡單，再將一般方程化為參數方程我們取球心為坐標原點，過球心的圓柱面的一條直徑為軸，通過球心的圓柱面的一條母線為軸，建立直角坐標系得到的球面的方程為，圓柱面的方程為因此，維維安尼曲線的一般方程為我們再將上述方程轉化為參數方程首先，結合我們之前所學的平面曲線的知識，圓柱面方程的參數方程為我們再將其代入球面方程得到 因此，我們得出曲線的參數方程為 與 如果我們令，即，代入公式后，上式就變成了因此，維維安尼曲線的參數方程為 例3.5 把 化為參數方程解 由得令可得，設

14、，則，代入得所以，曲線的參數方程為3.2.2 代入法對于空間曲線的一般方程，方程組中一個方程的形式非常簡單，例如, (為常數)等，可以直接將形式簡單方程帶入另一個方程，再利用三角法求得參數方程 例3.6 化下列一般方程為參數方程 （1） （2） 解（1）將代入，得，令，則，因此，所求的參數方程為 （2）將代入，得，令，則，則所求的參數方程為3.2.3 投影法利用曲線投影到坐標面上的方法，通過投影曲線標準方程的參數方程達到化空間曲線的一般式方程為參數方程的目的 例3.7 將曲線的一般式方程 化為參數方程.6 解 在方程中消去，得到曲線在平面上的投影曲線為配方后，得在xoy平面上作坐標變換 得到的

15、標準方程 此為橢圓方程，其參數方程為 ， 代回原變量，得 將代入的方程，得從而得的參數方程3.2.4 利用對稱式方程法當空間曲線為直線時，可以先求出直線的對稱式方程，再利用直線的對稱式方程求直線的參數方程變很容易了 例3.8 求直線的參數方程 解 令，則，得從而得直線上的一點我們取直線的方向向量為，于是對稱式方程為，令，則參數方程為綜上所述，將空間曲線的一般方程化為參數方程是一個難點也是一個關鍵點，我們必須根據空間曲線一般方程的特點，選取恰當的參數4 結束語本篇論文主要介紹了空間曲線方程的兩種形式，即一般方程和參數方程，以及它們之間的相互轉化方法參數方程轉化為一般方程時，主要介紹了代入消元法，

16、應用三角公式消元法等方法對于一般方程轉化為參數方程，介紹了代入法，三角公式法，投影法等我們應根據方程的具體形式選取恰當的方法此外，空間曲線的一般方程和參數方程的互化有兩點注意事項，即等價性和同解性.這是因為參數方程中參數的不同取值確定著不同的曲線在空間曲線方程的系數參數問題中，突出的反映了解析幾何數和形的對立統一思想，要特別注意變量的取值范圍在互化前后要保持一致將空間曲線的參數方程化為一般方程時，如果僅僅從空間曲線的一般方程消去參數得到并不一定是曲線對應的一般方程，它有可能具有不能從的某值通過得出的解，從而給原曲線增加了新的點將曲線的一般方程化為參數方程時要注意標明參數的取值范圍把參數方程化成一般方程時，要注意方程的同解性是否被破壞有時參數方程中的參數取值有范圍的限制，圖像只表示曲線的一部分，然而在消去參數后，得到一般方程的圖像卻是曲線的整體這樣，一般方程與原來的參數方程表示的曲線就不完全相同了因此，在轉化過程中，要注意參數方程中參數所受的限制在所化的一般方程中的圖像予以反映出來.1總之，在空間曲線的