1、立體幾何中角度距離的求法一 空間向量及其運算1 .空間向量的坐標表示及應用(1)數量積的坐標運算 設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a·b_.(2)共線與垂直的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab_ab_(a，b均為非零向量).(3)模、夾角和距離公式 設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|_， cosa，b_.設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 則dAB|_.2.空間向量的數量積及運算律(1)數量積及相關概念兩向量的夾角，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角

2、，記作_，其范圍是_，若a，b，則稱a與b_，記作ab.兩向量的數量積，已知空間兩個非零向量a，b，則_叫做向量a，b的數量積，記作_，即_.(2)空間向量數量積的運算律結合律：(a)·b_； 交換律：a·b_；分配律：a·(bc)_.2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是_.推論，如圖所示，點P在l上的充要條件是：ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為_或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表達式：p_，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達式為xy或對空間任意一點

3、O，有_或xyz，其中xyz_.(3)空間向量基本定理，如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空間的一個基底.二 用向量的方法求角度(一)知識清單1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面內兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為.2.空間向量與空間角的關系(1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角滿足cos _.(2)設直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面

4、所成角滿足sin _.(3)求二面角的大小1°如圖，AB、CD是二面角l的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小_.2°如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos _.(二) 題型題型一 求異面直線所成的角例1如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3AA12.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EBBF1.求直線EC1與FD1所成的角的余弦值.解方法一以A為原點，、分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，則有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是(1,3,2)，(

5、4,2,2)，設EC1與FD1所成的角為，則：cos ，直線EC1與FD1所成的角的余弦值為.方法二延長BA至點E1，使AE11，連接E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1E1E，D1C1E1E，則四邊形D1E1EC1是平行四邊形.則E1D1EC1.于是E1D1F(或補角)為直線EC1與FD1所成的角.在RtBE1F中， E1F.在RtD1DE1中，D1E1.在RtD1DF中，FD1.在E1FD1中，由余弦定理得：cosE1D1F.直線EC1與FD1所成的角的余弦值為.練習1 如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC.OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點，N為B

6、C的中點.(1)證明：直線MN平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大小.(1)證明作APCD于點P.如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系.A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N. ，.設平面OCD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.即取z，解得n(0,4，).·n·(0,4，)0，MN平面OCD.(2)解設AB與MD所成角為， (1,0,0)，cos ， .直線AB與MD所成的角為.題型二 求直線與平面所成的角例2如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰

7、直角三角形，ACB90°，側棱AA12，D、E分別是CC1、A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角的正弦值.解建立空間直角坐標系，坐標原點為C，設CA2a，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G，(0，2a,1)，·a20，a1，(2,2，2).為平面ABD的一個法向量，且cos，A1B與平面ABD所成角的正弦值是.練習2如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA1，點D是BC的中點，點E在AC上，且DEA1E.(1)證明：平面A1DE平面ACC1A1；(2

8、)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值.(1)證明由正三棱柱ABCA1B1C1的性質知，AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.又DEA1E，AA1A1EA1， 所以DE平面ACC1A1 .又DE平面A1DE，故平面A1DE平面ACC1A1.(2)解 如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，則相關各點的坐標分別是A(2,0,0)，A1(2,0，)，D(1，0)，E(1,0,0).易知(3，)，(0，0)，(3，0).設n(x，y，z)是平面A1DE的一個法向量，則解得xz，y0. 故可取n(，0，3).于是cosn，.故直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為.題

9、型三 求二面角例3如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值.(1)證明如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，以AD、DP、DC所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Dxyz.依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0). 所以·0，·0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1).設

10、n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即 因此可取n(0，1，2).同理，設m是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1).所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值為.練習3如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小.(1)證明如圖，建立坐標系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0). ·0，·0. BDAP，BDAC.又PAACA

11、，BD面PAC.(2)解設平面ABD的法向量為m(0,0,1)，設平面PBD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，則n(，3,2)，cosm，n. 二面角PBDA的大小為60°.二距離的求法1.點面距的求法 垂面法：借助面面垂直的性質來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關鍵等體積法，轉化為求三棱錐的高 等價轉移法；法向量法.如圖，設AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離2題型題型一 用向量法求空間距離例1在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分別為AB、SB

12、的中點，如圖所示. 求點B到平面CMN的距離.說明:點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎仍出于幾何法.如本題，事實上，作BH平面CMN于H.由及·nn·，|·n|n·|·|n|， |，即d.解 取AC的中點O，連接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz，則B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，). (3，0)，(1,0，)，(1，0). 設n(x，y，

13、z)為平面CMN的一個法向量，則，取z1，則x，y，n(，1).點B到平面CMN的距離 d.練習1 如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求點A到平面MBC的距離.解 取CD中點O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD.取O為原點，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖.OBOM，則各點坐標分別為C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2).設n(x，y，z)是平面MBC的法向量，則(1，0)，(0，)， 由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0

14、,2)， 則點A到平面MBC的距離 d.題型二 用等體積法求距離例2 已知直二面角中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB,F為CE上的點，且(1) 求證,(2) 求二面角的大小，(3) 求點D到平面ACE的距離練習2、如圖，已知正三棱柱的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為（）求此正三棱柱的側棱長；（）求二面角的大??；（）求點到平面的距離解：（）設正三棱柱的側棱長為取中點，連是正三角形，又底面側面，且交線為側面連，則直線與側面所成的角為 在中，解得此正三棱柱的側棱長為 注：也可用向量法求側棱長（）解法1：過作于，連，側面為二面角的平面角 在中，又， 又在中，故二面角的大小為

15、解法2：（向量法，）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交線為，過作于，則平面在中，為中點，點到平面的距離為 解法2：取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為過點作于，則的長為點到平面的距離解法3：等體積變換:由可求解法4：（向量法，見后）題（）、（）的向量解法：（）解法2：如圖，建立空間直角坐標系則設為平面的法向量由 得取又平面的一個法向量 結合圖形可知，二面角的大小為 （）解法4：由（）解法2， 點到平面的距離 練習題1.如圖所示，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCOABCD，AC的中點E與AB的中點F的距離為_a _.2 在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA15，A

16、B12，那么直線B1C1和平面A1BCD1的距離是_.3.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為_. 4.在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為_a _.5.設A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，則D到平面ABC的距離為_.6在空間直角坐標系Oxyz中，平面OAB的一個法向量為n(2，2,1)，已知點P(1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于( B )A. 4 B. 2 C .3 D .17已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿對角線AC