1、模型組合講解: “彈簧最值”模型太原市第十二中學 姚維明模型建構：在高考復習中，常常遇到有關“彈簧最值”問題，由于彈簧總是與其他物體直接或間接地聯系在一起，彈簧與其“關聯物”之間總存在著力、運動狀態、動量、能量方面的聯系，因此學生普遍感到困難，本文就此類問題作一歸類分析。【模型】彈簧及其關聯體【特點】研究力與速度的最值，往往建立動力學方程、能量守恒方程；研究高度的最值，往往建立能量守恒、運動學方程；簡諧運動的最值，往往用到對稱點，兩端點。模型典案：一、最大、最小拉力問題圖1 【典案1】一個勁度系數為k600N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質量均為m15kg的物體A、B，將它們豎直靜止地放在水平地

2、面上，如圖1所示，現加一豎直向上的外力F在物體A上，使物體A開始向上做勻加速運動，經0.5s，B物體剛離開地面（設整個加速過程彈簧都處于彈性限度內，且g10m/s2）。求此過程中所加外力的最大和最小值。 解析開始時彈簧彈力恰等于A的重力，彈簧壓縮量，0.5s末B物體剛要離開地面，此時彈簧彈力恰等于B的重力，故對A物體有，代入數據得。剛開始時F為最小且，B物體剛要離開地面時，F為最大且有，解得。二、最大高度問題圖2 【典案2】 如圖2所示，質量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，平衡時彈簧的壓縮量為x0。一物體從鋼板正上方距離為3x0的A處自由下落打在鋼板上，并立即與鋼板一起向

3、下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動。已知物塊質量也為m時，它們恰能回到O點；若物體質量為2m仍從A處自由下落，則物塊與鋼板回到O點時還有向上的速度，求物塊向上運動到達的最高點與O點的距離。 解析物塊碰撞鋼板前作自由落體運動，設表示物塊與鋼板碰撞時的速度，則： 物塊與鋼板碰撞后一起以v1速度向下運動，因碰撞時間極短，碰撞時遵循動量守恒，即： 剛碰完時彈簧的彈性勢能為，當它們一起回到O點時，彈簧無形變，彈性勢能為0，根據機械能守恒有： 設表示質量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始向下運動的速度，由動量守恒有： 碰撞后，當它們回到O點時具有一定速度v，由機械能守恒定律得： 當質量為2m的物塊與鋼

4、板一起回到O點時兩者分離，分離后，物塊以v豎直上升，其上升的最大高度： 解式可得。三、最大速度、最小速度問題圖3 【典案3】如圖3所示，一個勁度系數為k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質量為m的平板B相連而處于靜止狀態。今有另一質量為m的物塊A從B的正上方h高處自由下落，與B發生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運動到速度最大時，系統增加的彈性勢能與動能相等，求系統的這一最大速度v。 解析A下落到與B碰前的速度v1為： A、B碰后的共同速度v2為： B靜止在彈簧上時，彈簧的壓縮量為x0，且： A、B一起向下運動到最大速度v時的位移為x，此時A、B的加速度為0，即有： 由機械能

5、守恒得： 解得： 【典案4】在光滑水平面內，有A、B兩個質量相等的木塊，中間用輕質彈簧相連。現對B施一水平恒力F，如圖4所示，經過一段時間，A、B的速度等于5m/s時恰好一起做勻加速直線運動，此過程恒力做功為100J，當A、B恰好一起做勻加速運動時撤除恒力，在以后的運動過程中求木塊A的最小速度。圖4 解析當撤除恒力F后，A做加速度越來越小的加速運動，彈簧等于原長時，加速度等于零，A的速度最大，此后彈簧壓縮到最大，當彈簧再次回復原長時速度最小，根據動量守恒得： 根據機械能守恒得： 由以上兩式解得木塊A的最小速度v0。四、最大轉速和最小轉速問題 【典案5】有一水平放置的圓盤，上面放一個勁度系數為k

6、的輕彈簧，其一端固定于軸O上，另一端系著質量為m的物體A，物體A與盤面間最大靜摩擦力為Ffm，彈簧原長為L，現將彈簧伸長后置于旋轉的桌面上，如圖5所示，問：要使物體相對于桌面靜止，圓盤轉速n的最大值和最小值各是多少？圖5 解析當轉速n較大時，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即： 當轉速n較小時，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即： 所以圓盤轉速n的最大值和最小值分別為： 。五、最大加速度問題圖6 【典案6】兩木塊A、B質量分別為m、M，用勁度系數為k的輕質彈簧連在一起，放在水平地面上，如圖6所示，用外力將木塊A壓下一段距離靜止，釋放后A做簡諧運動，在A振動過程中，木塊B剛好始終未離開地面，求木塊A的最大加速度

7、。圖4 解析撤去外力后，A以未加外力時的位置為平衡位置作簡諧運動，當A運動到平衡位置上方最大位移處時，B恰好對地面壓力為零，此時A的加速度最大，設為am。 對A：由牛頓第二定律有 對B： 所以，方向向下。六、最大振幅問題圖7【典案7】 如圖7所示，小車質量為M，木塊質量為m，它們之間靜摩擦力最大值為Ff，輕質彈簧勁度系數為k，振動系統沿水平地面做簡諧運動，設木塊與小車間未發生相對滑動，小車振幅的最大值是多少？ 解析在最大位移處，M和m相對靜止，它們具有相同的加速度，所以對整體有： 對m有： 所以由解得：。七、最大勢能問題 【典案8】 如圖8所示，質量為2m的木板，靜止放在光滑的水平面上，木板左側固定著一根勁度系數為k的輕質彈簧，彈簧的自由端到小車右端的距離為L0，一個質量為m的小木塊從板的右端以初速度v0開始沿木塊向左滑行，最終回到木板右端，剛好不從木板右端滑出，設木板與木塊間的動摩擦因數為，求在木塊壓縮彈簧過程中（一直在彈性限度內）彈簧所具有的最大彈性勢能。圖8 【解析】彈簧被壓縮至最短時，具有最大彈性勢能，設m在M上運動時，摩擦力做的總功產生內能為2E，從初狀態到彈簧具有最大彈性勢能及從初狀態到末狀態，系統均滿足動量守恒定律，即： 由初狀態到彈簧具有最大彈性勢能，系統滿足能量