1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計主要內(nèi)容小結(jié)概率部分1、全概率公式與貝葉斯公式全概率公式：其中是空間S的一個劃分。貝葉斯公式：其中是空間S的一個劃分。2、互不相容與互不相關(guān)互不相容事件互相獨立;兩者沒有必然聯(lián)系3、幾種常見隨機變量概率密度與分布律:兩點分布，二項分布，泊松分布，均勻分布，二項分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布。即二點分布，則分布律為即二項分布，則分布律為即泊松分布，則分布律為即均勻分布，則概率密度為即指數(shù)分布，則概率密度為即正態(tài)分布，則則概率密度為.連續(xù)性隨機變量分布函數(shù)性質(zhì)：（i），, (ii)分布函數(shù)連續(xù)對連續(xù)性隨機變量，已知概率密度，則分布函數(shù)為；已知分布函數(shù)為，則概率密度.對連續(xù)性隨機變量，已知

2、概率密度, 區(qū)間概率4、連續(xù)函數(shù)隨機變量函數(shù)的概率密度設(shè)連續(xù)隨機變量的概率密度為也是連續(xù)型隨機變量，求Y的概率密度求法(i) 利用以下結(jié)論計算：如果函數(shù)處處可導(dǎo)，且恒有（或），則Y概率密度為：其中，是的反函數(shù)，且有(ii) 利用分布函數(shù)計算：先求值域，再在該值域求Y的分布函數(shù)則有.常用求導(dǎo)公式5、二維隨機變量分布律對于二維連續(xù)性隨機變量，其聯(lián)合概率密度為其聯(lián)合分布函數(shù)為則概率密度性質(zhì)：（i） (ii) 已知概率密度求區(qū)域概率有邊緣分布函數(shù)為邊緣概率密度為條件分布函數(shù)為條件概率密度為對于離散情形，設(shè)聯(lián)合分布律為邊緣概率密度為，條件概率密度為，6、二維隨機變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機變量概率密度為，分

3、布函數(shù)為(i) Z=X+Y, 則Z的概率密度為當(dāng)相互獨立時，(ii) M=maxX,Y與N=minX,Y當(dāng)相互獨立時，7、數(shù)學(xué)期望(i) 求法：連續(xù)隨機變量概率密度為，則；若, 則.離散隨機變量分布律為，則;若, 則.若有二維的隨機變量,其聯(lián)合概率密度為，若, 則.(ii) 性質(zhì)：相互獨立，則有8、方差定義：，標準差（均方差）：.計算：性質(zhì)：常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差：兩點分布：即二項分布，則即泊松分布，則即均勻分布，則即指數(shù)分布，則即正態(tài)分布，則9、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義：協(xié)方差: 相關(guān)系數(shù)：則有.性質(zhì)：如果相互獨立，則有且.10、獨立與不相關(guān)關(guān)系不相關(guān)相互獨立F為分布函數(shù)，而f為概率密度一般情

4、況下，相互獨立不相關(guān)，但反之不成立；特殊情況，當(dāng)時，相互獨立不相關(guān)并且此時.11、切比雪夫(Chebyshev)不等式：設(shè)隨機變量X的期望與方差為，則對任意正數(shù)，有, 即.進一步有：即12、兩個中心極限定理定理1（獨立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布，有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則當(dāng)n充分大時，.定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，則當(dāng)n充分大時，統(tǒng)計部分1、常用統(tǒng)計量設(shè)為總體，是來自總體的樣本，定義樣本平均值：, 樣本方差： ，樣本標準差（均方差）：樣本k階矩：2、常用正態(tài)總體相關(guān)的統(tǒng)計量（1）分布定義：設(shè)，則，特別.性質(zhì) (i) 可加性：設(shè)則.

5、(ii) 設(shè)則.(iii) 特例：設(shè)則(2) t 分布定義：設(shè), 且相互獨立，則統(tǒng)計量性質(zhì) (i) 概率密度為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱；當(dāng)n趨于無窮大，該統(tǒng)計量趨于標準的正態(tài)分布；(ii) 對于分位點有：.(3) F分布定義：設(shè), 且相互獨立，則統(tǒng)計量性質(zhì) (i) 對于分位點有：3、正態(tài)總體樣本均值與樣本方差分布單個總體情形：設(shè)為總體，且服從是來自總體的樣本，分別是樣本均值與樣本方差，有以下結(jié)論：(i) 而且有.(ii) , 即；且 兩個正態(tài)總體情形：設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本, 且兩樣本相互獨立，為兩樣本均值，為兩樣本方差，則有(i) .(ii) 當(dāng)時，(iii) 4. 點估計(1) 矩估計法

6、設(shè)概率密度或分布律中含個參數(shù)需要估計。(i) 求總體前k階矩(ii) 由以上方程解得(iii) 以樣本i階矩代替 即得估計量.(2) 最大似然估計定義：給定一組樣本觀測值，使該觀測值概率取最大的參數(shù)值為所求參數(shù)估計值。兩種求法：I 直接用最大似然法估計計算(i) 寫出似然函數(shù) 連續(xù)情形：，離散情形：(ii) 求使似然函數(shù)取最大值的參數(shù)兩種方法：取對數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0解出估計值；若求導(dǎo)不行，則用直接分析法(iii) 由上寫出估計值，再表示出估計量II 利用不變性計算若求函數(shù)的最大似然估計，其中u是單調(diào)函數(shù)，可先求最大似然估計，然后利用不變性知是的最大似然估計。5. 估計量評價標準無偏性：是的

7、估計量，如果, 則是的無偏估計量；有效性：是的無偏估計量，如果，則較更有效；一致性：是的估計量，當(dāng)樣本容量趨于無窮大，依概率收斂于.6. 置信區(qū)間基本的重要概念：置信水平：是參數(shù)落在置信區(qū)間的概率，即,兩統(tǒng)計量分別為雙則置信下限與置信上限，為置信水平。例如置信水平為95%，則置信區(qū)間幾種情形：單個總體情形當(dāng)已知，的置信區(qū)間，樞軸量雙側(cè)置信區(qū)間：,雙則置信上、下限：單側(cè)置信區(qū)間：，單側(cè)置信上、下限：當(dāng)未知，的置信區(qū)間，樞軸量雙側(cè)置信區(qū)間：,雙則置信上、下限：單側(cè)置信區(qū)間：，單側(cè)置信上、下限：，當(dāng)未知，的置信區(qū)間，樞軸量雙側(cè)置信區(qū)間：,雙則置信上、下限：單側(cè)置信區(qū)間：，單側(cè)置信上、下限：. 兩個總

8、體情形：當(dāng)未知，的置信區(qū)間，樞軸量雙側(cè)置信區(qū)間：,雙則置信上、下限：單側(cè)置信區(qū)間：單側(cè)置信上、下限：在求解置信區(qū)間時，先分清總體屬于那種情況，然后寫出置信區(qū)間，再代數(shù)值。7. 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗的基本原理：小概率事件在一次觀測實驗中幾乎不可能發(fā)生顯著性水平：小概率事件發(fā)生的概率，也是拒絕域?qū)?yīng)事件概率，顯著性水平越大，拒絕域越大。兩類錯誤：對原假設(shè)，備擇假設(shè)，第一類錯誤不真，接受，第二類錯誤不真，接受，為減少兩類錯誤，需增加樣本容量。假設(shè)檢驗的基本步驟：(i)提出假設(shè)；(ii)選取檢驗統(tǒng)計量；(iii) 確定拒絕域；(iv)計算觀測值(v) 并作出拒絕與接收原假設(shè)判斷P值檢驗：計算p值，與顯著性水平比較，p值小于拒絕原假設(shè)，否則就接收原假設(shè)；p值計算方法是將觀測值作為拒絕域臨界點，代入拒絕域事件計算其概率。假設(shè)檢驗的情形：見書中164表，請復(fù)印下來，以便記憶，重點是1、2、3、7種情形，其余的也最好熟記。特別要注意，對假設(shè)檢驗問題，首先只看總體，是單個總體，還是兩個總體，是對均值檢驗還是方差（精度）檢驗，若是均值檢驗，要看總體方差是已知還是未知，總之要分清情形；另外若是單側(cè)檢驗，要寫對原假設(shè)與備擇假設(shè)，一般問有沒顯著改變，就是雙側(cè)檢驗，有沒有顯著提高就是右單側(cè)檢驗，有沒有顯著降低就是左單側(cè)檢驗；同時，把不含等于的情形作為備擇假設(shè)，含有等于的作為原假設(shè)，如不超過多少，就