1、2013屆畢業設計（論文） 利用數形結合處理數學問題的技巧 分 院計算機科學與技術學院專 業信息與計算科學班 級信計本0901學 號09404029姓 名溫政套指導教師張衛標（講師）完成時間2013年05月目錄緒論11數形結合思想的產生與發展21.1數形結合思想的引入21.2數形結合思想的概念22數形結合思想在解題中的應用技巧42.1解決集合問題的技巧42.2解決函數問題的技巧52.3解決方程與不等式的應用技巧62.4解決三角函數問題的技巧73結束語84參考文獻85致謝9摘 要數學是一門為多學科服務的課程，數學啟迪著我們的智慧。而如今，很多初高中學生卻為學習數學中進行的解題而頭疼。為了更多的學

2、生能夠從數學中獲得一定的受益。本文對數學中數與形的發展以及如何在解題中利用數形結合思想以達到解題的目的進行詳細的闡述。使更多學習數學的人明白數學美，解題的便易過程給人們帶來的方便。 隨著社會的發展與教育改革步伐的加快，日常工作中人們都需要效率。何況我們在考試中僅有那短短的兩個小時。所以說了解數與形的關系，學習一種新的解題方法數形結合思想是多么必要。學好任何一種解題思路，必須要濾清它的來源與發展史。只有這樣我們才能夠有興趣地去學習它，學好它。數形結合思想是一種重要的數學思想，通俗地說就是代數與幾何相結合的思想。目前我們使用的新課本，不再把數學課劃分為“代數”、“幾何”，而是綜合為一門數學課。因為

3、這樣更利于我們開發思維，培養解決問題能力，本文將主要對數形結合在解決集合，函數及三角函數，不等式，解方程等應用中的技巧。使廣大的數學愛好者更好的發掘“數”與“形”關系的揭示與轉化關系，運用數形結合的方法，幫助學生類比、發掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學生深化思維，擴展知識，提高能力都有很大的幫助。關鍵詞：數形結合思想，函數，三角函數，解方程，不等式 AbstractMathematics is a multiple discipline service courses, math is inspiring our wisdom. Nowadays, many high school s

4、tudents is a headache for the study of mathematical problem solving. In order to more students to gain certain benefits fromMathematics. In this paper, the mathematics in the development of Numbers and forms and how to problem solving in using the number form combining ideas in order to achieve the

5、goal of problem solving in detail in this paper. Mathematical beauty, make more people understand math problem solving of the easy process bring convenience to people. With the development of the society and speed up the pace of education reform, people need efficiency in daily work. How much more w

6、ill we in the examination only that in just two hours. Understand the relationship between Numbers and forms, so study a new method for the problem solving several form combining ideas is necessary. Well any way, must be with its source and development. Only in this way can we have the interest to l

7、earn it, learn it well. Several form combining ideas is a kind of important mathematics thought, popular culture is the combination of algebra and geometry. Currently we are using the new textbook, no longer take math classes are divided into "algebra" and "geometry", but is inte

8、grated as a math class. Because it is more conducive to our development thinking, cultivating ability to solve the problem, this paper combines main logarithmic form in solving the collection of functions andtrigonometric functions, inequality, solving equations, such as application of the technique

9、. Make the math lovers better explore "number" and"shape" relationship to reveal and transformation, using the number form combining method, analogy, to help students explore and analyze the geometric model with which to help students deepen thinking, expanding knowledge, improve

10、 the ability to have very big help. Key words: Several form combining ideas, functions, trigonometric functions, solving equations, inequalities 緒論數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。初高中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種研究數學思想的方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來

11、闡明數之間某種關系。例如，在研究集合的包含情況圖像的演示是直觀的，再如在解方程與不等式的過程，繪出圖像來便可以知道區間的情況及解的情況等等。 由于“數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數”的對應“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”，這種模式是指數與形的一種特定關系或結構。這種把數量問題轉化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數量問題的方法，就是圖形分析法。雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，

12、特別是對于較復雜 的“形”，不但要正確的把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。1數形結合思想的產

13、生與發展 1.1 數形結合思想的引入十六世紀以后，隨著生產和科學技術的發展與人民要求的日益提高加之航海，天文，地理的推進幾何學提出了新的需要。許多科學家不斷的提出新的概念，新的設想。如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發現投擲物體是沿著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。即初步次年形成了數形的原結構。1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作 幾何學中簡要的闡述了數與形的應用規律與方法。在這篇幾何學提到了尺規作圖，曲線性質，立

14、體幾何等為今后的數形發展奠定了初步的基調與模型；其中的代數問題，探討了方程的根的性質。后世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的幾何學作為解析幾何的起點。從這篇幾何學中可以看出，他的中心思想是建立起一種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他設想，把任何數學問題化為一個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。為了實現上述的設想，笛卡爾從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對(x,y)的對應關系。x,y的不同數值可以確定平面上許多不同的點。這樣就可以用代數方法描述曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。同時數形結合思想在人民的心目中得到了進一步提升。1.2 數形結合思想的概念“數

15、”和“形”是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發我們的思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀     數形結合包括：函數與圖象、方程與曲線、復數與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等 中學數學研究的

16、對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關

17、系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”?！耙詳到庑巍本褪怯行﹫D形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等。數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合的思想，可以解決以下問題：一、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。二、解決函數問題：借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。三、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問

18、題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。四、解決三角函數問題：有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖象來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。五、解決線性規劃問題：線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用。六、解決數列問題：數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。七、解決解析幾何問題

19、：解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。八、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算。2數形結合思想在解題中的應用技巧 2.1解決集合問題的技巧 為了大家可以清晰地了解數形結合思想在處理集合問題的便捷易懂，在這里我簡單的列兩道具有代表性的例題。例1. 設命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） ：充分不必要條件 ：必要不充分條件：充要條件：不充分也不必要條件 從上圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件所以選A對于處理集合的問題，可以用

20、數形結合的方法，如果含字母參數的，可以畫韋恩圖，如果是具體的書記，可以畫數軸，可以是集合間的關系直觀化。例2. 為集合的非空真子集，且不相等，若,則 ( ). . . .2.2解決函數問題的技巧 函數與圖像的對應關系例1.設b>0，二次函數的圖像為下列之一，則a的值為（ ）A.1 B.1 C. D.解析:有形去找數只有先認識圖形，并選定正確的圖形，才能進一步選定正確的答案.由于b>0，拋物線的對稱軸不可能是y軸，排除前兩圖；后兩圖都通過原點，故必，若，則拋物線開口向上，且，即對稱軸應在y軸左方，排除第四圖，因而第三圖正確，只能，選B例2.如圖，定圓半徑為,圓心為，則直線與直線的交點

21、在（ ）.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限解析：為形配數。根據“圖形語言”予以賦值，可使抽象的問題具體化。由條件知道，且，于是，取，所以選。2.3解決方程與不等式的應用技巧 例1. 若關于的方程的兩根都在之間，求的取值范圍。 分析：令，其圖象與軸交點的橫坐標就是方程的解，由的圖象可知，要使二根都在之間，只需同時成立，解得，故例2. 解不等式。 常規解法：原不等式等價于（）或（II） 解（）得；解（II）得 綜上可知，原不等式的解集為 數形結合解法：令，則不等式的解就是使的圖象在的上方的那段對應的橫坐標。 如下圖，不等式的解集為，而可由解得，故不等式的解集為。通過以上兩道方程與不等式的例題

22、我們對數形結合的思路進一步的剖析和深究。更使我們明白的在考試過程中掌握一定的方法與技巧是多么的重要，而數形結合思想在解題中的運用往往可以起到事半功倍的結果。2.4解決三角函數問題的技巧例1. 從小到大的順序是 解析：首先可以看出這些角都不是特殊的角，果斷的求值去比較是行不通的，若注意到，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數區分他們各自函數值的大小，設，可知例2.若，則（ ）, . . . 解：令，由題易知圖像為（如圖所示），從圖像上可以看出P的橫坐標，再令，則，由題易知圖像通過這兩道簡單的例題我們可以看到，作三角函數之類的題目。往往用純代數的理論是很難解決的，可使結合圖像的描述可以很直觀的看到結果。其單位圓的方法就是我們在解三角函數題目中常常用到的。結束語通過本文的講解以及例題的演示，我希望這篇論文能夠為大家帶來益處。本文主要介紹了數形結合思想的