1、微專題12數(shù)列求通項的方法2020高考數(shù)學(理)二輪復習微專題聚焦【考情分析】由數(shù)列的遞推公式求通項公式是數(shù)列的重要問題之一，是高考考查的熱點，常用累加法、累乘法、構造法等來解決問題，題型以選擇題、填空題、解答題都可能出現(xiàn)，分值 512分，解答題則以數(shù)列的遞推公式和前 n項和公式命題，歷年高考考題低、中、高檔試題 均有出現(xiàn)，要重視方程思想、函數(shù)思想的應用，考查考生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)?？键c一利用恒等式求數(shù)列的通項【必備知識】1、累加法(疊加法)若數(shù)列an滿足an 1 an f(n) (n N*),則稱數(shù)列an為變差數(shù)列"，求變差數(shù)列an的通項時，利用恒等式 an a (a2 &

2、) a2)(an an 1) a f(1) f(2) f(3) f(n 1) (n 2)求通項公式的方法稱為累加法。2、累乘法(疊乘法)若數(shù)列an滿足曳f(n) (n N*),則稱數(shù)列a0為變比數(shù)列"，求變比數(shù)列a0的通項時， an利用an a1曳包包 ' a1 f(1) f(2) f(3) f(n 1) (n 2)求通項公式的方法稱為累 a a? a3 an 1乘法。【典型例題】n+ 1n+ 1【例1】已知數(shù)列an輛足：a1 = 1, an+1 = n-an+_2nr.設bn = an,求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn. fIL. rn+1n+1 _.

3、an+1 an 1【解析】(1)由an+1 = -an+2n,可得言彳=+2n,an1又 bn= n ,bn+1 bn = 2ni,由 a1 = 1,得 b1 = 1,111由累加法可得(b2b1)+(b3b2)+ - +(bn-bn 1)=21 + 22+ +2n-1,1 ,1、2 (12n 1 )11即 bn- b1 =1= 1 - 2nF1, bn = 2一 2,-1.1 2(2)由(1)可知an = 2n21n-1,設數(shù)列n2n 1的前n項和為Tn,123n 不則Tn=2+亍+呼+ 2nn ,-1111一得2=20+ 2+廢+2門-1Tn2n 12n 22n，1 _ 一1 2易知數(shù)列2

4、n的前 n 項和為 n(n+1),.Sn=n(n+1) 4+1:2.【方法歸納提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是轉化與化歸、函數(shù)思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.利用累加法、累乘法求數(shù)列的通項的解題關鍵是：(1)化簡.當n 2時，先要準確寫出恒等式中各加項(各因式)，然后利用相關數(shù)列知識及指 數(shù)、對數(shù)運算法則加以化簡；(2)驗證.注意驗證當n=1時是否滿足上述一般情形(當n 2時的情形).11,、，【類比訓練11在數(shù)列an中，a1 -，an1烝 -,(n N*),則a語的值為2019n(n 1)1【解析】因為* an E，(n N)所以an 1 an1n(n 1)六，a2 a1 1 1，a3 a2n 121111.

5、-, a2019a2018-2 32018 2019各式相加，可得a2019a12019口口11即 a20191,20192019所以，a2019 1 ,故答案為1.【類比訓練2】在數(shù)列為中，且d 1, am an 2n 1 ,則4的通項公式為.【答案】an n2 2n 2【解析】在數(shù)列an中，a1 1 , an 1 an 2n 1,a2 a1 2 1 1 1 ,a3 a2 2 2 1 3,an an 12 n 112n 3,一一1 2n 3以上式子累加得：an a1 13 n 1 .222ann 11 n 2n 2.【類比訓練3設數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=1,Sn+nan為常數(shù)列，則

6、an=()A. 17B.-2C;6D.5-2n3n-1n(n+1 )(n+1 )( n+2 )3【解析】選B.由題意知，Sn+nan=2,當 n>2時,Sn-1+(n-1)an-1=2，所以(n+1)an =(n-1)an-1,a2 a3 a4an1 2n-1從而由累乘法得, '-" = 一 一 ,a1 a2 a3an_13 4n+12則an=n(n+1 當n=1時上式成立，2所以 an=.n(n+1 )考點二 由數(shù)列的前n項和Sn與an的關系求通項公式【必備知識】1、若已知數(shù)列an的前n項和Sn f(n),則不論數(shù)列an是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，當n 2 S. n 1

7、時，都有Snf(n 1),可利用公式an求通項。Sn Sn 1,n 2(1) “和”變 “項” 構造方程組 .首先根據(jù)題目條件,得到新式(與條件相鄰),然后作差，將“SnSn 1 ”用 “an(n2)”替換，轉化為只含 an,an 1 的關系式,再求解.(2) “項”變 “和”.首先將20用S, S-(或ani用Sni a )替換，得到&與a 1 (或a 1與& )的關系式，然后求&.注:關于數(shù)列的式子中，如果含有如ani,Sni,必須注明n>2.【例2】設數(shù)歹Ian的前n項和為Sn,數(shù)列Sn的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n N*.(1)求 a1 的值

8、 .(2)求數(shù)列an 的通項公式.【解析】(1)令 n=1,T1=2S1-1,因為 Ti=Si=ai,所以 ai=2ai-1,所以 ai=1.(2)n時,Tn-i=2Sn-i-(n-1)2,則 Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因為當n=1時,ai=Si=1也滿足上式，所以 Sn=2an-2n+1(n >1),當 n2時,Sn-i=2an-i-2(n-1)+1,兩式相減得an=2an-2an-1-2,所以 an=2an-i+2(n >2),所以an+2=2(an-1+2),因為ai+2=3w(W以數(shù)歹Ia

9、n+2是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列.所以an+2=3X2n-1,所以 an=3>2n-1-2,當n=1時也成立，所以an=3>2n-1-2.【方法歸納 提煉素養(yǎng)】 數(shù)學思想是轉化與化歸、函數(shù)思想，核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.已知數(shù)列an的前n項和Sn的遞推式或Sn與an的關系式，求數(shù)列an的通項公式的問題，破解此類題的關鍵是：第一步:令n=1,則ai Si ,求得ai ；第二步:令n>刎an Sn Sni；第三步:驗證ai與an的關系：(1)若 a1 適合 an,則 an Sn Sn 1.若a1不適合an,則an，工【類比訓練11已知數(shù)列的前 n 項和 Sn= 2an1

10、(n C N*),設 bn= 1+logzan,則數(shù)列bnbn 1的前n項和Tn=【解析】因為Sn = 2an1(nC N*), 所以當n=1時，a=1.當 n12時,an SnSn-1,得 an 2an 1所以 an= 2n 223,n所以bn3,n n,從而 bn= 1 + log2an=n.故Tn =; ; + ; + + b1b2b2b3bnbn+1111=(1 2) (2 3)nn+ 1.【類比訓練2】已知數(shù)列an的前n項和為a#21,數(shù)列bn滿足bn -；,則bnan 1【解析】當n 1時，ai=&=2,因為Sn n2 1,Sn 1(n 1)21(n 2),兩式相減得an

11、Sn Sn12n 1(n 2),所以當n 2時，an 2n 1 ,又闞=2不符合上式,所以an2, 2nn1,因為bnan _ 1【類比訓練3】數(shù)列an滿足上2127a21*32n1,寫出數(shù)列an的通項公式【解析】因為la21"2127 a327an2n1,所以-a1a?2221a3231- an2n277 an 1 2(n1)1,答案：an6,n 12n 1,n 26,n 12n1,n 21兩式相減得ani 2,即an 2n1,n 2,2一 1 一 一、，一又2a1 3,所以a 6,因此an考點三構造新數(shù)列法求通項【必備知識】類型1:用特定系數(shù)法”構造等比數(shù)列形如an1 kan p

12、 (k,p為常數(shù)，kp 0)的數(shù)列，可用 待定系數(shù)法”將原等式變形為an 1 m k(an m)(其中：m p-),由此構造出新的等比數(shù)列 an m ,先求出an m的通項， k 1從而求出數(shù)列an的通項公式。類型2:用 同除法”構造等差數(shù)列(1)形如an1 qan p qn 1(n N*),可通過兩邊同除qn 1 ,將它轉化為之4駕p ,從而q q構造數(shù)列 二為等差數(shù)列，先求出 "的通項，便可求得an的通項公式。 qq(2)形如an an 1 kan 1an(k 0),的數(shù)列，可通過兩邊同除以an 1an,變形為二 k的an 1 an形式，從而構造出新的等差數(shù)列-,先求出的通項，便

13、可求得an的通項公式anan類型3:用"倒數(shù)變換法”構造等差數(shù)列形如an1 ”(p,q為常數(shù)，pq 0)的數(shù)列，通過兩邊取 倒"，變形為' -衛(wèi)， pan qan 1 an q即：，工R,從而構造出新的等差數(shù)列 工，先求出工的通項，即可求得an.an 1 an qanan【例3】設a1 2, a2 4,數(shù)列bn滿足：bn 1 2bn 2且an an bn.(1)求證：數(shù)列bn 2是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式.【解析】(1)由題意知：F2 2b： : 2 2,bn 2bn 2又 Q6 a? ai 4 2 2, . . b 2 4 ,. bn 2是以4為首項，

14、2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)可得 bn 2 4 2n1,故 bn 2n1 2.Q an 1 an bn,a2 ai bi ,a3 a2 b2 ,a4 a3 b3 , an an 1 bn 1 .累加彳馬:an a b1 b2 b3 Lbn 1 ,an 2 2 2 22 3 224 2 L 2n 22n 12 1 2=2+ 2 n 11 22n 1 2n,即 an 2n 1 2n n 2 .1 1n 1而 a1 2 21 1 2 1,.-. an 2 2n(n N ).【例4】已知數(shù)列an的前n項和Sn=3n-1,其中nC N*.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)若數(shù)列bn滿足 b1=1,

15、 bn=3bn-1+an(n >2)證明：數(shù)列翡為等差數(shù)列；求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】(1)因為數(shù)列an的前n項和Sn=3n-1,所以 an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2 n-1(n >2).因為n=1時，a1=S1=2,也適合上式，所以 an=2 卯(nCN*).(2)當 n2時，bn=3bn-1+2 -甲，l>n工bn-1兩邊同時除以3n 1,將其變形為不二產(chǎn)正三T+2,即3nGHWT=2.所以，數(shù)列/M是首項為黑=1，公差為2的等差數(shù)列.由得， =1+2(n-1)=2n-1, 所以 bn=(2n-1) n31(nN*),因為 Tn=1 X

16、?+3X 1+5X 2+(2n-1) n31, 所以 3Tn=lX j+3X?+5X3+ - +(2n-1) -n3兩式相減得 2Tn=-1-2(31+32+3n-1)+(2n-1)n3 整理得 Tn=(n-1) n+1(nC N*).【例5】在數(shù)列 an中，已知a1 2an2 an 1an 1【解析】將等式2an 1an 12B. 21兩邊取倒數(shù)得到一anC.an 11an1an 1D.1an、,1 一是公差為-的等211- =a12,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的求法得到1an故答案為B.【方法歸納提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是構造函數(shù)思想，核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.1、利用構造法求數(shù)列的通項公式的解

17、題思路是：(1)適當?shù)葍r變形，構造特殊數(shù)列(構造等差或等比數(shù)列)；(2)求出構造新數(shù)列的通項公式；(3)通過變形、轉化后求出所求數(shù)列的通項.2、利用遞推數(shù)列求數(shù)列中的項時，當所求的項的序數(shù)較小時，逐步遞推求解即可；當所求的 項的序數(shù)較大時，可考慮先證明數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列、構造法構造新數(shù)列或周期數(shù)列【類比訓練11 (1)已知數(shù)列an中,ai=-1,an+1 an=an+1-an,則數(shù)列通項an=【解析】因為an+1 an=an+1-an,兩邊同時除以an+1 an得1 1 1 11=- 即-=-1.an%-L小1縣1 an所以數(shù)列工是首項為1公差為-1的等差數(shù)列，3n1所以一=-1+(n-

18、1) (xi)=-n, an故an=-(n C N ).1 *答案:-(n N )Tl【類比訓練2已知數(shù)列an中,ai=1,an+an(1-nan+i),則數(shù)列an的通項公式為()氾f+L B.an"2D.ani廣一律+2【解析】選D.原數(shù)列遞推公式可化為=n+1 an1令bn=-，則bn+1-bn=n,因此由累加法得冗3一州+2bn=(bn-bn-i)+(bn-i-bn-2)+ - - - +(bB-b2)+(b2-bi)+bi=(n-1)+(n-2)+ -+2+1+1=22從而an=E，故選D.【類比訓練3已知正項數(shù)列an滿足ai=1 ,(n+2)碎”-(n+1/+anan+i=

19、O,則ai二【解析】由(n+2) j：4-i-(n+1)(n +anan+i=O,得(n+2)2 an+i©I-L 丁十工+豆5+1,所以77小21 = n+1,0n Oli又 ai=1加 an= an-l an-2故數(shù)列a n的通項公式an二訐里.【類比訓練4】數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sn+an=4-（n C N*）,則an=.【解析】因為Sn+an=4三，所以Sn-l+On-1 =4一大,兩式相減得,2an-an-1=-y-=-p,兩邊同乘以 2n-1 得 2nan-2n-Ian-1=2,所以2nan是等差數(shù)列，又令 n=1,得 ai=1，所以 2nan=2+2（n-1）=2

20、n.所以an=；（ai=1也符合此式）.答案：一T.【類比訓練5在數(shù)列an中向=1,an+1=2an+2n.設bn=.證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列an的前n項和.【解析】（1）證明：由已知an+1=2an+2n，得bn+1強等豐投*+ 1=bn+1.所以 bn+1-bn=1,又b1=a1 = 1.所以bn是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.解:由（1）知,bn=n，君=bn=n.所以 an=n ，1.所以 Sn=1+2 , 1+3 , 2+n , n-1兩邊乘以 2 得 2Sn=1 , 1+2 , 2+（n-1） ,n-1+n , n,兩式相減得-Sn=1+21+22+ - +2n-1-

21、n n=2n-1-n n=（1-n）2n-1,所以 Sn=（n-1） n+1.【自我總結】近幾年的全國卷對數(shù)列通項問題降低了一定的難度，對于遞推關系較復雜的問題， 往往先搭橋”（即低（1）問先證某數(shù)列是等差或等比數(shù)列，第（2）問再利用第（1）問的結 論），再利用等差或等比數(shù)列的通項公式，求出 橋數(shù)列”（即第（1）問中所證數(shù)列）的通項公 式，進而求出所求數(shù)列的通項公式.做高考真題 提能力素養(yǎng)【選擇題組】1、(2016浙江高考理科 T6)如圖，點列An,B n分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+l| = |An+lAn+2|,AnWAn+2,nC N*,|BnBn+l| = |Bn+lBn+2|,

22、BnW Bn+2,n N N*(PQ 表示點 P 與 Q 不 重合).右 dn = |AnBn|,Sn 為AnBnBn+1 的面積，則 ()flj 8； fl. ”乩凡7A.Sn是等差數(shù)列B. Sn 是等差數(shù)列C.d n是等差數(shù)列D. d2 是等差數(shù)列【解析】選A.先求出三角形的面積，再利用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列.作AiCi,A2c2,A 3c3,AnCn,垂直于直線 BiBn,垂足分別為 Cl,C2,C3,G,則AlCl / A2c2/ / AnCn/ ，因為 |AnAn+1 | = |A n+1 An+2 |，所以 |CnCn+1 | = |Cn+lCn+2 |,設 |AiC

23、i|=a,|A2c2|=b,|BiB2|=c,則|A3c3|=2b-a,，冏心尸/何-2)a(n >3),所以 Sn= 1 c(n-1)b-(n-2)a= ： c(b-a)n+(2a-b),所以 Sn+i -Sn= 2c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)=2 c(b-a),又 Si= 2 ac,S2= 2 bc,S3= 2 c(2b-a),S2-Si = 2 c(b-a),S3-S2=2 c(b-a), 所以數(shù)列Sn是等差數(shù)列.【非選擇題組】1、(2015新課標全國卷II理科 T1鼓Sn是數(shù)列an的前n項和，且ai=-1,an+1=SnSn+1,則 Sn=.1

24、1【解析】由已知得an 1Sn1SnSn 1Sn,兩邊同時除以SniSn,得 1 ,Sn 1 Sn故數(shù)列 1 是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則 1 (n 1) n,所以Sn-.SnSnnn2、(2015江蘇高考 T1數(shù)列an滿足ai=1，且an+i-2=n+1(nCN),則數(shù)列 1的前10項和an【解析】an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+ +(a-ai)+ai=n+(n-1)+(n-2)+ +2+1 = n(n 1),2一 1所以1 an2 一一 .1 一、. 一一.E，所以£的前10項和為21(1 1)22L 2(2 1) 3(3 1)2111111120=2(

25、1L )=10(10 1)2 2 3 3 410 111120113、(2016浙江高考理科T13)設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.若 S2=4,an+i =2Sn+1,n N*,則 a i =,S5=.【解析】由題意得 ，ai+a2=4,a2=2ai+1,解得ai=1,a2=3,再由 an+i =2Sn+1,an=2Sni+1(n 12所以 an+i-an=2an,an+i=3an,又 a2=3ai, 135所以 an+i =3an(n n 1S5= - =121.答案:1121 4、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列an和bn滿足ai=1, bi=0, 4an i 3an bn 4

26、, 4bn 1 3bn an 4.(I)證明：an+bn是等比數(shù)列，an On是等差數(shù)列；(II)求an和bn的通項公式.1【解析】(1)由題設得 4(an1bni)2(anbn),即an1bn 1bn).1 一 -又因為ai+bi=l,所以an bn是首項為1,公比為一的等比數(shù)列.2由題設得 4(anibn i)4(anbn)8,即anibn1 anbn2 .又因為ai力i=l,所以an bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.,八1(2)由(1)知，an bn 矛，an bn 2n 1 .,111bn 21(an H) (an bn)2 n 25、(2017江蘇高考 T1斯于給定的正整數(shù)k,若

27、數(shù)列an滿足an-k+an-k+i+-Tan-i+an+i+-Tan+k-i+an+k=2kai 對任意正整數(shù) n(n>k)總成立，則稱數(shù)列an是 “P(瞰 列”.(1)證明:等差數(shù)列an是“P(嗽列”.(2)若數(shù)列an既是“P(欲列”又是“P(翻列”證明:an是等差數(shù)列.【證明】(1)因為an是等差數(shù)列，設為公差為d,則an=a1+(n-1)d,從而，當 n>4時,ai-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k- 1)d=2ai +2(n- 1)d=2&,k=1,2,3,所以 an-3+an-2+an-1+an+1 +an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列an是“P3數(shù)列”.數(shù)列an既是“P2數(shù)列”又是“P3數(shù)列”因此，當 n>3時,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,當 n>4時,an-3+an-2+an-1 +an+1 +an+2+an+3=6an. ®由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=43n+1-(an-1+3n),將代入，得an-1+an+1=2an,其中n>4,所以a3,a4,a5, 是等差數(shù)列，設其公差為d.在中，取 n=4M