1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上完美正方 巧妙構(gòu)造例析一類形外正方形問題的解法謝文劍以三角形或梯形中的若干條邊為邊向外作正方形構(gòu)成的圖形中，證明線段、角或面積之間的關(guān)系，此類題目常見于競賽和中考題中，根據(jù)已知條件，通過仔細(xì)的觀察和分析，充分利用正方形邊角的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)、平移等變換，找出全等三角形，巧妙構(gòu)造基本圖形，是解決這類問題的有效手段一、利用旋轉(zhuǎn)平移變換，構(gòu)造全等三角形利用正方形的邊長相等，角為90°進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，找出全等三角形，從而找出解決的橋梁例1 （2002年山東省競賽試題）如圖1，在ABC中，ACB=90°，分別以AC、AB為邊，在ABC外作正方形ACEF和正方形AGB

2、H，過C作CKAB，分別交AB和GH于D、K，則正方形ACEF的面積S1與矩形AGKD的面積S2的大小關(guān)系為（ ）（A）S1=S2（B）S1S2（C）S1S2（D）不能確定分析：連結(jié)FB、GC，AFEB，AGCK，則有S正方形AFCE=2SFAB，S矩形AGKD=2SACG，而ACG可由FAB繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°而得，它們是全等三角形，SACG=SFAB，所以可得S1=S2，故選（A）。例2 （2003年北京市競賽題）如圖2，以ABC的三邊為邊，向形外分別作正方形ABDE、CAFG、BCHK，連接EF、GH、KD，求證：以EF、GH、KD為邊可構(gòu)成一個三角形，并且所構(gòu)成的三角形面積

3、等于ABC的面積的3倍。分析：可以利用正方形的對邊平行而且相等，作出一個以EF、GH、KD為邊的三角形，把AEF沿AB平移，HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，DBIAEF，BIKHCG，且可得EAF+GCH+DBK=360°，因此可拼成一個三角形，然后再證明SDIK=3SABC，把GCH繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，得到BCG，可得A，C，G在一條直線上，且C為AG的中點(diǎn)。所以SBCG=SABC，因此SBIK= SABC，同理SDBK= SDBI= SABC，因此由DK、EF、GH為三邊構(gòu)成的DIK的面積SDIK=3SABC。二、利用中點(diǎn)，構(gòu)造梯形的中位線一般是利

4、用中點(diǎn)這一已知條件，構(gòu)造直角梯形的中位線。例3 （2005年北京市競賽題）如圖3，分別以ABC的邊AC和BC為一邊向三角形外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，PHAB，垂足為H，如果AB=10，那么PH= 。分析：考慮到P是EF的中點(diǎn)，且PHAB，可分別過E、F向AB邊所在的直線作垂線EJ、FK交直線AB于J、K，則有EJPHFK，所以PH=（FJ+FK），再把EJ、FK的長度和與AB長度聯(lián)系起來，過C作CIAB于I，則有1，3與2互余，所以1=3，EA=AC，可得RtEJARtACI，得出EJ=AI，同理FK=IB，所以PH=（FJ+FK）=AB=5。例4 （2004年全國初中數(shù)

5、學(xué)聯(lián)賽）如圖4，梯形ABCD，ADBC，以兩腰AB、CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，連接EF，設(shè)線段EF的中點(diǎn)為M，求證：MA=MD。分析：過M作MPAD，只要能證AP=PD，就能根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)證得MA=MD。過E、F分別向AD所在的直線作垂線，交AD與L、I，使MP為梯形EGIF的中位線，再證AL=DI，構(gòu)造與FAL、DIF的全等的三角形BKA、DCJ，可知AL=BK，DI=CJ，而BK=CJ，因此LP-LA=PI-DI，即AP=PD，獲證AM=MD。三、利用兩個正方形的對應(yīng)邊成比例，構(gòu)造相似三角形利用正方形的對邊平行，兩個正方形的對應(yīng)邊、對角線成比例來找出相似三

6、角形。例5 在RtABC中，以AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG，AB與CD，AC與BF交點(diǎn)為M、N，求證：AM=AN。分析：設(shè)正方形ABDE、ACFG的邊長分別為a、b則AMDE可得，所以AM=。ANGF可得，所以AN=。因此AM=AN。例6 如圖6，在RtABC中，以斜邊BC為邊向外作正方形BDEC，又以AB、AC為邊向外作正方形，設(shè)各正方形的中心分別為P、Q、R。求證：QPR+DAE=Rt。分析：利用正方形的邊與對角線之比為定值，構(gòu)造出相似三角形。連結(jié)BP、PC、BQ、RC。因為BPC=90°，只要證1+2=DAE，因為QBP=45°+ABP，ABO=45&

7、#176;+ABP所以QBP=ABD。又因為可得BQPDBA。得3=1，同理有4=2。因此只要證3+4=DAE，過點(diǎn)A作AHDE于A，利用平行線的性質(zhì)即可得。四、利用旋轉(zhuǎn)的角度構(gòu)造高線此類圖形中的全等三角形往往是通過旋轉(zhuǎn)90°而得的，對應(yīng)邊相等且互相垂直。例7 以ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE，ACBC，求證：AH、BF、CD交于一點(diǎn)。分析：構(gòu)造出三角形的三條高，就能證明它們交于一點(diǎn)。延長HA交P，使得PA=BC，1、3與2都互余，所以1=3，從而有DBC=PAB，因此DBCPAB，PAB可看作由DBC繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后沿線段AB平移而得，可知PB與DC

8、是相等且互相垂直。因此CI為PBC的高線，同理BJ也為PBC的高線，所以CD、AH、BJ交于一點(diǎn)。五、利用旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造中線例8 如圖8，以ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE、ACFG。求證：EG2+BC2=2（AB2+AC2）。分析：將AEG繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°使E到E的位置，EAG+BAC=180°，因此EAC+BAC=180°，即B、A、E在同一條直線上，且CA為EBC的中線。則兩式相加得例9 如圖9，ABC的邊AB=3，AC=2，、分別表示以AB、AC、BC為邊的正方形，求圖中三個陰影部分的面積之和的最大值是多少。分析：把CFH繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，使