1、初中數學中的折疊問題、矩形中的折疊1 .將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BGBD為折痕,折疊后BG和BH在同一條直線上，/CBD=度.2 .如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點A落在點A處,再過點A折疊使折痕DEBG若AB=4AC=3則ADE的面積是3 .如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折痕DG,求AG的長.根據對稱的性質得到相等的對應邊和對應角，再在直角三角形中根據勾股定理列方程求解即可.把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著BF折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開后如圖所示，則/DFB等于（）D注意折疊前后

2、角的對應關系4 .如圖，沿矩形ABC面對角線BM疊，點C落在點E的位置，已知BC=8cmAB=6cm求折疊后重合部分的面積.重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形C初中數學中的折疊問題監利縣第一中學度；4EFG5 .將一張矩形紙條ABCD$如圖所示折疊，若折疊角/的形狀三角形.對折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫出對折前后的圖形，便于尋找對折前后圖形之間的關系，注意以折痕為底邊的等腰GEF6 .如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進行折疊：對折，展平，得折痕EF（如圖）；延CG折疊，使點B落在EF上的點B'處，（如圖）；展平，得折痕GC（如圖）；沿GH折疊，使點C落

3、在DH上的點C'處，（如圖）；沿GC'折疊（如圖）；展平，得折痕GC',GH（如圖）.（1）求圖中/BCB'的大??；（2）圖中的GCC'是正三角形嗎？請說明理由.理清在每一個折疊過程中的變與不變.忸圖，正方形紙片ABCD勺邊長為8,將其沿EF折疊，則圖中四個三角形的周長之和為折疊前后對應邊相等.如圖，將邊長為4的正方形ABCD&著折痕EF折疊，使點B落在邊AD的中點G處，求四邊形BCFE勺面積注意折疊過程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對應邊與對應角相等10.如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上不與A、D重合.MN

4、為折痕，折疊后B'C'與DN交于P.（1）連接BB',那么BB'與MN的長度相等嗎？為什么?（2）設BM=y,AB'=x,求y與x的函數關系式；（3）猜想當B點落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNC'B'面積最?。坎Ⅱ炞C你的猜想.、紙片中的折疊11.如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則/a的度數等于（）及對稱的性質,折疊的角與其對應角相等，和平角為180度的性質，注意EAB是以折痕AB為底的等腰三角形.如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC,使/CAB=45°,則后重合部分的面積為在折疊問題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯系，將圖

5、形補充完整，對于矩形（紙片）折疊,折疊后會形成“平行線+角平分線”的基本結構，即重疊部分是一個以折痕為底邊的等腰三角形ABC.將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是注意掌握折疊前后圖形的對應關系.在矩形（紙片）折疊問題中，會出現“平行線+角平分線”的基本結構圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形APQ.如圖a是長方形紙帶，/DEF=20°,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的/CFE的度數是（）本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變.由題意知/DEF=/EFB=20&#

6、176;圖b/GFC=140°,圖c中的/CFE=/GFC-/EFG.將一張長為70cm的長方形紙片ABCD,沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后,AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬AB是()J6.一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊(陰影部分表示紙條的反面)，為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點P的長度相等，則最初折疊時，求MA的長三、三角形中的折疊.如圖，把RtAABC(/C=90),使A,B兩點重合，得到折痕ED再沿BE折疊，C點恰好與D點重合，則CEAE.在ABC中，已知AB=2a/A=30°,CD是AB邊的中線，若將ABOCD對折

7、起來,1折疊后兩個小ACDBCD1疊部分的面積恰好等于折疊前ABC勺面積的二.|4(1)當中線CD等于a時，重疊部分的面積等于;(2)有如下結論(不在“CD等于a”的限制條件下)：AC邊的長可以等于a；折疊前的ABC的面積可以等于乎a2;折疊后，以AB為端點的線段AB與中線CD平行且相等.其中，結論正確(把你認為正確結論的代號都填上，若認為都不正確填“無”).注意“角平分線+等腰三角形”的基本構圖，折疊前后圖形之間的對比，找出相等的對應角和對應邊.在4ABC中，已知/A=80°,/C=30°,現把CDE沿DE進行不同的折疊得C(1)如圖(1)把4CDE沿DE折疊在四邊形AD

8、EB內，則求/1+/2的和;CDE,72=180°-2ZCED,再根據三角形內角和定理比可求出答案；(2)連接DG,將/ADG+/AGD作為一個整體，根據三角形內角和定理來求；(3)將/2看作180°-2ZCED,/1看作2/CDE-180。，再根據三角形內角和定理來求.圖DE,對折疊后產生的夾角進行探究:由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折疊三角形時常常會出現等腰三角形17 .觀察與發現：將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,展開紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎上第二次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF,展

9、平紙片后得到AEF（如圖）.小明認為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.實踐與運用：（1）將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D'處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）.求圖中/a的大小.由于角平分線所在的直線是角的對稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關。要抓住折疊前后圖形之間的對應關系（2）將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點E,與BC邊交于點F;將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，

10、此時恰好有MP=MN=PQ（如圖），求/MNF的大小.在矩形中的折疊問題，通常會出現“角平分線+平行線”的基本結構，即以折痕為底邊的等腰三角形18 .直角三角形紙片ABC中，/ACB=90°,AC<BC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D,設折痕與AB、AC邊分別交于點E、點F.計算過程，并畫出符合條件的后的圖形.探究：如果折疊后的CDF與4BDE均為等腰三角形，那么紙片中/B的度數是多少？寫出你的先確定CDF是等腰三角形，得出/CFD=/CDF=45°,因為不確定BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，DE=DB,BD=BE,DE=

11、BE,然后分別利用角的關系得出答案即可.下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片（圖1）的全過程：首先對折，如圖2,折痕CD交AB于點D;打開后，過點D任意折疊，使折痕DE交BC于點巳如圖3;打開后，如圖4;再沿AE折疊，如圖5;打開后，折痕如圖6.則折痕DE和AE長度的和的最小值是（）本題經過了三次折疊，注意理清折疊過程中的對稱關系，求兩條線段的和的最小值問題可以參見文章本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現.對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的.如圖，矩形紙片ABC砰，AB=J6,BC邛0.第一次將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕與BD

12、交于點Q;QD的中點為口，第二次將紙片折疊使點B與點D重合，折痕與BD交于點Q;設QD的中點為E2,第三次將紙片折疊使點B與點D2重合，折痕與BD交于點Q,.按上述方法，第n次折疊后白折痕與BD交于點Q,則BQ=,BQ=問題中涉及到的折疊從有限到無限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運算的詳細過程。在找規律時要把最終的結果寫成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數據與折疊次數之間的關系.如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點Pi；設PiD的中點為Di,第2次將紙片折疊，使點A與點Di重合，折痕與AD

13、交于點P2；設P2D1的中點為D2,第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合,折痕與AD交于點P3；設Pn-iDn-2的中點為Dn-i,第n次紙片折疊，使A與點Dn-i重合，折痕與AD交于點Pn(n>2),則AP6長()此題考查了翻折變換的知識，解答本題關鍵是寫出前面幾個有關線段長度的表達式，從而得出一般規律，注意培養自己的歸納總結能力.閱讀理解如圖i,ABC43,1才/BAC勺平分線AB折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/BiAiC的平分線AB2折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/MAC的平分線AnBn+i折疊，點3與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BACABC勺好角.小麗展

14、示了確定/BABABC勺好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC勺平分線AB折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/BiAiC的平分線AiB2折疊，此時點Bi與點C重合.探究發現(1) ABC中，/B=2/C,經過兩次，/BAB不是ABC勺好角？(填“是”或“不是”).(2)小麗經過三次折疊發現了/BAC4ABC的好角，t#探究/B與/C(不妨設/B>/C)之間的等量關系.根據以上內容猜想：若經過n次折疊/BAB4ABC的好角，則/B與/C(不妨設ZB>/C)之間的等量關系為.ZB=n/C應用提升(3)小麗

15、找到一個三角形，三個角分別為i5。、60。、i05°,發現60°和i05。的兩個角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.19 注意折疊過程中的對應角和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和的運用，理解三角形中如果有一個角是好角之后，另兩個角之間的關系，通過這樣的問題培養歸納總結能力.我們知道：任意的三角形紙片可通過如圖所示的方法折疊得到一個矩形.(1)實踐：將圖中的正方形紙片通過適當的方法折疊成一個矩形(在圖中畫圖說明).(2)探究：任意的四邊形紙片是否都能通過適當的方法折疊成一

16、個矩形？若能，直接在圖中畫圖說明；若不能，則四邊形至少應具備什么條件才行？并畫圖說明.(要求：畫圖應體現折疊過程,用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無縫隙又無重疊部分)折疊即對稱628 .如圖，雙曲線y=-(x>0)經過四邊形OABC勺頂點A、C,/xABC=90,OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB/x軸，將ABC行AC翻折后彳#到4AB'C,B'點落在OA±，則四邊形OABC勺面積是多少？明白折疊中的對應邊就行29 .已知一個直角三角形紙片OAB,其中/AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折

17、痕與邊OB交于點C,與邊AB交于點D.(1)若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；(2)若折疊后點B落在邊OA上的點為B',設OB'=x,OC=y，試寫出y關于x的函數解析式，并確定y的取值范圍；(3)若折疊后點B落在邊OA上的點為B，且使BD/OB,求此時點C的坐標.四、圓中的折疊.如圖，正方形ABCD勺邊長為2,。的直徑為AD將正方形的BC邊沿EC折疊，點B落在圓用對稱關系構造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折疊問題中求線段長度的常用方法.如圖，將半徑為8的。O沿AB折疊，弧AB恰好經過與AB垂直的半徑OC的中點D,則折痕AB長為（）注意折疊過程中形成的對應邊，利用勾股定理求解32.如圖，將弧BC沿弦B0f疊交直徑AB于點D,若AD=5DB=7則BC的