1、2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題參考公式：錐體的體積公式: V錐體=Sh，其中S是錐體的底面積，h是高。一、填空題1設(shè)集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，則實數(shù)a=_解析 考查集合的運算推理。3B, a+2=3, a=12設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（2-3i）=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為_解析 考查復(fù)數(shù)運算、模的性質(zhì)。z（2-3i）=2（3+2 i）, 2-3i與3+2 i的模相等，z的模為2。3盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_ 解析考查古典概型知識。4某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取

2、了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_根在棉花纖維的長度小于20mm。解析考查頻率分布直方圖的知識。100×（0001+0001+0004）×5=305設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex+ae-x）,xR，是偶函數(shù)，則實數(shù)a=_解析考查函數(shù)的奇偶性的知識。g（x）=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g（0）=0，得a=1。6在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是_解析考查雙曲線的定義。，為點M到右準線的距離，=2，MF=4。7右圖是一個算法

3、的流程圖，則輸出S的值是_ 解析考查流程圖理解。輸出。8函數(shù)y=x2（x>0）的圖像在點（ak,ak2）處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。在點（ak,ak2）處的切線方程為：當時，解得，所以。9在平面直角坐標系xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5yc=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_解析考查圓與直線的位置關(guān)系。 圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，的取值范圍是（-13，13）。10定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P

4、作PP1x軸于點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_解析 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段P1P2的長為11已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是_解析 考查分段函數(shù)的單調(diào)性。12設(shè)實數(shù)x,y滿足38，49，則的最大值是_解析 考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想。，的最大值是27。13在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，則_ 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b

5、具有輪換性。當A=B或a=b時滿足題意，此時有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式=14將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_解析 考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。，當時，遞減；當時，遞增；故當時，S的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當時，S的最小值是。二、解答題15（14分）在平面直角坐標系xOy中，點A（-1,-2）,B（2,3）,C（-2,-1） （1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長 （2）設(shè)實數(shù)t滿足

6、（）·=0，求t的值解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解能力。滿分14分。 （1）（方法一）由題設(shè)知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、。 （方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則:E為B、C的中點，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4）故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=； （2）由題設(shè)知：=（2,1），。由（）·=0，得：，從而所以。或者：，16（14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900 （1）求證：PCBC （2）求點

7、A到平面PBC的距離解析 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分14分。 （1）證明：因為PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因為PC平面PCD，故PCBC。 （2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=

8、FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。 （方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。因為ABDC，BCD=900，所以ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因為PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面積。由，得，故點A到平面PBC的距離等于。17（14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位m），如示意圖，垂直放置的標桿BC高度h=4m，仰角ABE=，ADE= （1）該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1

9、.24,tan=1.20,請據(jù)此算出H的值 （2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位m），使與之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125m，問d為多少時，-最大解析 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。 （1），同理：，。ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。 （2）由題設(shè)知，得，（當且僅當時，取等號）故當時，最大。因為，則，所以當時，-最大。故所求的是m。ABOF18（16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右焦點為F，設(shè)過點T（）的直線TA,TB與橢圓分別交于點M，其中m&g

10、t;0,設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡設(shè)，求點T的坐標設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識。考查運算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。 （1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。 （2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。 （3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。 （方

11、法一）當時，直線MN方程為：令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。 （方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。19（16分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列求數(shù)列的通項公式（用表示）設(shè)為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關(guān)知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 （

12、1）由題意知：， ，化簡，得：，當時，適合情形。故所求 （2）（方法一）， 恒成立。又，故，即的最大值為。 （方法二）由及，得，。于是，對滿足題設(shè)的，有。所以的最大值。另一方面，任取實數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當時，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。20（16分）設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì) （1）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)求證：函數(shù)具有性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （2）已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定，且，若|<|,求的取值范圍解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合

13、、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。 （1）（i）時，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)； （ii）（方法一）設(shè)，與的符號相同。當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增； （方法二）當時，對于，所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而當時，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；當時，在上遞減；在上遞增。 （2）（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的

14、取值范圍是（0，1）。 （方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當時，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設(shè)。當時，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當時，同理可得，進而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。數(shù)學(xué)【附加題】21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分） （1）幾何證明選講AB是O的直徑，D為O上一點，過點D作O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證AB=2BC解析 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。 （方法一）證明：連結(jié)OD，則：ODDC，又OA=OD

15、，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）證明：連結(jié)OD、BD。因為AB是圓O的直徑，所以ADB=900，AB=2 OB。因為DC 是圓O的切線，所以CDO=900。又因為DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。 （2）矩陣與變換在平面直角坐標系xOy中，A（0,0）,B（-3,）,C（-2,1）,設(shè)k0，kR，M=,N=,點A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點A1,B1,

16、C1,A1B1C1的面積是ABC面積的2倍，求實數(shù)k的值解析 本題主要考查圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。解：由題設(shè)得由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。計算得ABC面積的面積是1，A1B1C1的面積是，則由題設(shè)知：。所以k的值為2或-2。 （3）參數(shù)方程與極坐標在極坐標系中，圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實數(shù)a的值解析 本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解：，圓=2cos的普通方程為：，直線3cos+4sin+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。 （4）不等式證

17、明選講已知實數(shù)a,b0，求證：解析 本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。（方法一）證明：因為實數(shù)a、b0，所以上式0。即有。（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得當時，從而，得；當時，從而，得；所以。22（10分）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品一等品80%，二等品20%；生產(chǎn)乙產(chǎn)品，一等品90%，二等品10%。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，如果是一等品可獲利4萬元，若是二等品則要虧損1萬元；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，如果是一等品可獲利6萬元，若是二等品則要虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立 （1）記x（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求x的分布列 （2）求生

18、產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率解析 本題主要考查概率的有關(guān)知識，考查運算求解能力。滿分10分。解：（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且P（X=10）=08×09=072， P（X=5）=02×09=018，P（X=2）=08×01=008， P（X=-3）=02×01=002。由此得X的分布列為：X1052-3P072018008002（2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件，則二等品有件。由題設(shè)知，解得，又，得，或。所求概率為答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為08192。23（10分）已知ABC的三邊長為有理數(shù) （1）求證cosA是有理數(shù) （2）對任意正整數(shù)n，求證cosnA也是有理數(shù)解析 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對