1、實驗探究，讓數學概念自然生長導數的概念說課江蘇省常州市第五中學 張志勇一. 教學內容與內容解析1、教學內容：本節課的教學內容選自蘇教版普通高中課程標準實驗教科書數學選修22第一章第一節的導數的概念第2課時“瞬時變化率導數”，導數的概念包括三部分教學內容，即平均變化率、瞬時變化率、導數，其中瞬時變化率包括曲線上一點處的切線和瞬時速度、瞬時加速度，本節課之前學生已完成平均變化率的學習2、內容解析：導數是研究現代科學技術必不可少的工具，是進一步學習數學和其他自然科學的基礎，在物理學、經濟學等領域都有廣泛的應用對于中學階段而言，導數是研究函數的有力工具，在求函數的單調性、極值、曲線的切線以及一些優化問

2、題時有著廣泛的應用，同時對研究幾何、不等式起著重要作用從而導數在函數研究中的應用應是整個章節的重點，但不能僅僅將導數作為一種規則和步驟來學習，導數的概念無疑是教學的起點也是關鍵，否則學生很難體會導數的思想及其內涵事實上導數概念的建立基于“無限逼近”的過程，這與初等數學所涉及的思想方法有本質的不同囿于學生的認知水平和可接受能力，教材中并沒有引進極限概念（過多的極限知識可能會沖淡甚至干擾對導數本質的理解），而是從學生的生活經驗出發，通過實例引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，直至建立起導數的數學模型3、教學設想：導數的本質在于從平均變化率到瞬時變化率的“無限逼近”，而無限逼近有三種方式：數

3、值逼近、幾何直觀感知、解析式抽象；而達成學生極限思想形成之教學目標，需要以問題為背景，關鍵是設計活動讓學生經歷從平均變化率到瞬時變化率的過程因此教學處理時，試圖還原知識建構的完整過程，實現導數概念的“再創造”，其中數學探究環節采用數學實驗的方式，用數值逼近法感知導數作為逼近值的存在性，用解析式抽象法從數學角度加以確認；模型解釋環節則是教材中“曲線上一點處的切線”的流程再造（原來是作為導數知識的引入環節）二目標設定及目標解析1、知識與技能目標：會從數值逼近、幾何直觀感知、解析式抽象三個角度認識導數的涵義，應用導數定義求簡單函數在在某點處的導數，掌握求導數的基本步驟，初步學會求解簡單函數在一點處的

4、切線方程2、 過程與方法目標：經歷從平均變化率到瞬時變化率的過程，感知“無限逼近”與“量變到質變”、“近似與精確”的哲學思想，在實驗觀察、歸納抽象的過程中建構導數概念，在解釋應用與拓展的過程中領悟數學發現的完整過程3、情感、態度、價值觀目標：經歷數學發現過程、感受數學研究方法，提升數學學習興趣和信念；應用手持技術進行數學實驗中改善數學學習方法，從向書本學習數學轉向用技術研究數學教學重點導數概念的建構及導數的解釋應用教學難點導數的幾何解釋及切線概念的形成三教學問題診斷分析本節課需要用到的知識儲備包括平均變化率、直線的斜率、物理中物體運動的瞬時速度、解析幾何中的切線等，而所要用到的歸納、概括、類比

5、、抽象思維能力等也已具備，特別地實驗班的學生均能熟練操作圖形計算器，也多次經歷過數學再創造的過程，對“問題情境建立模型解釋應用與拓展”這樣的學習程序并不陌生，這些都是開展本節課學習的基礎可能存在的問題：一是對學生而言，“無限逼近”的思想聞所未聞，需要精心設計活動幫助學生經歷從平均變化率到瞬時變化率的過程；二是數值逼近的運算繁瑣，不能采取簡單告訴的方式而需應用技術來實現計算；三是概念建構很難一蹴而就，需要有豐富的實例作支持，于是在數學探究環節中就需要從數值計算走向解析式抽象，從而實現概念形成的“水到渠成”；四是導數概念的幾何解釋是從數走向形的基本保證，需要有幾何直觀作支持，需要創設資源支持“以直

6、代曲”；五是盡管學生的圖形計算器操作較熟練，但CAS系統還很陌生，在教學中需要有示范性講解并提供即時幫助四教學支持條件分析導數知識再創造教學設想的達成，離不開教育技術的支持，本教學案例中利用HP Prime的表征優勢，為學生提供如下支持平臺：一是數值逼近計算平臺，在電子表格中設置圖2所示的情境，其中，而則在CAS中設置（如圖1）；二是幾何直觀解釋平臺，在幾何學模塊中，設置好圖4所示的APP，學生在操作時可以改變Q點位置，觀察割線斜率的變化，然后再與相應的瞬時變化率作比較；三是導數求值驗證平臺：如圖5，導數運算對學生而言是含有字母的運算，過程中涉及因式分解問題，操作中可以讓學生先進行紙筆運算，然

7、后再作計算器驗證教學過程中前兩個平臺通過Connkit課堂管理系統發送給學生，讓他們進行自主操作、探索發現后面一個平臺用于教師演示，必要時還可開發GeoGebra用于幾何解釋演示五教學流程設計1、問題情境問題一、氣球膨脹率我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程可以發現，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢，能否從數學角度來描述這種現象呢？氣球的體積為V，半徑為r，則問題二、高臺跳水在高臺跳水運動中，運動員的助跑、起跳、空中和入水動作都是評判的依據，科學訓練時需要測量每一瞬間的運算速度如果假設某次跳水中，運動員相對于水面的高度h與起跳后的時間t存 在 函 數 關 系，那么你是否能描述該

8、運動員每一瞬間的運動狀態？設計意圖：通過實例來體會平均變化率的應用局限性，使學生有機會經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程2、數學探究教師講授：問題1、如何對瞬時變化率進行數學刻畫？當時，平均變化率就趨近于瞬時變化率問題2、如何體現？讓平均變化率的取值間隔逐漸縮小，如問題3、這么繁瑣的運算怎么實現？借助圖形計算器進行數值計算數值逼近：以計算時高臺跳水的跳水速度為例，進入“電子表格”模塊，在CAS系統中先定義兩個函數、，然后計算，可以發現當時，運動速度穩定在（如圖1）；也可以“電子表格”模塊中進行即時運算（如圖2）圖1圖2解析式抽象：當時，學生活動：借助于教師發送的APP，分組計算（共同完成下

9、表的填寫）如V=1，2時氣球的變化率，t=1，3時高臺跳水運動員的跳水速度等t值跳水瞬時速度V值氣球膨脹率0.51.60.50.328251-3.310.206781.5-8.21.50.1578052-13.120.13026設計意圖：導數概率中涉及的極限思想不能采取簡單的“告訴”方式，而是在圖形計算器的支持下，讓學生有一個親身操作的過程，通過學生的親身操作，在的取值逐漸變小（）中觀察相應的變化率的變化，從而經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，切實感知極限的涵義，以保證導數概念的建構“水到渠成”圖1-1圖2-1操作說明：在學生操作時，需要將教師提供的APP進行適當修改，先在CAS系統中拖

10、曳改動（如圖1-1），然后再在電子表格模塊中重新運算（如圖2-1，按JIEGUO列名后編輯完成）3、 模型建構教師帶領學生就操作過程中得到的表格（圖2、圖2-1或通過Connkit課堂管理系統截取的任何學生操作界面），進行歸納總結并進行形式化表述（可逐步遞進），形成導數模型：（1） 無限趨近于0時，無限趨近常數-13.1，無限趨近常數0.13026，（2） 這個常數可稱為導數，記作，即、（3）設函數在區間上有定義，若時，則稱在處可導，并稱該常數A為函數在處的導數，記作設計意圖：導數的概念比較抽象，從具體案例的歸納提煉出發，層層遞進逐步抽象，可以幫助學生實現導數概念的生成和建構；教學中一方面需要

11、需要關注形式化抽象的進階性，另一方面要關注學生的參與度，尤其是歸納的過程讓學生多參與，隨機截圖分析概括是一個比較理想的組織形式4、 模型解釋提問：我們已經知道“時，”，這是從代數的角度刻畫的，那么是不是可以從幾何角度加以描述呢？（1） 教師解釋幾何構造：如圖3，設點，則可表示曲線的割線PQ的斜率；（2） 學生活動：在幾何學的APP（如圖4）中進行操作，探索無限趨近于0（即Q向P無限靠近），那么的無限逼近值的何幾何意義；（3） 總結概括：Q向P無限靠近，割線PQ逼近曲線在點P處的切線，如圖5所示；（4） 學生驗證：在幾何學中，將圖形放大可以發現，曲線接近于一條直線，而此直線與相應的切線非常接近，

12、經計算可以發現切線的斜率即是相應的導數值圖3圖4完善結論如下：設曲線上一點，過點P的一條割線交曲線于另一點，則割線PQ的斜率為當點Q沿曲線向點P運動，并無限靠近點P時，割線PQ逼近點P的切線的斜率，即當無限趨近于0時，無限趨近于點處的切線的斜率設計意圖：“割線斜率切線斜率”是“平均變化率瞬時變化率”的“視覺化”，讓學生動手實驗感知“切線的存在性”以及“局部以直代曲”的思想5、應用拓展1、求函數在處的導數簡解：圖5時，說明：1、求導的基本步驟：求函數的增量求平均變化率無限趨近于0得瞬時變化率得到導數值2、在學生紙筆運算后可用圖形計算器CAS命令進行檢驗（如圖5），在運算時可借助于“simplif

13、y”命令將解析式化簡2、求函數在處的導數3、求曲線在點處的切線方程4（思考題）、已知酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm，上口寬6cm，水以的流量倒入杯中，當水深為4cm時，求水深的瞬時變化率設計意圖：1、采用多層次、多角度的變式訓練方式，由易到難，梯度明顯，實現了從知覺水平的應用到思維水平應用的自然過渡；2、考慮到學生在運算中可能有的問題，于是圖形計算器成了學生學習導數中的必要工作3、“函數在某一點的導數”、“導函數”以及“導數”三個不同的概念：（1）“函數在某一點的導數”是一個值，而“導函數”或“導數”是一個函數；（2）“函數在某一點的導數”就是導函數在這點的函數值與的關系知識鏈接：導數產生的背景十七世紀，有許多科學問題需要解決，歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動運動物體的瞬時速度的問題；第二類問題是求曲線的切線的問題；第三類問題是求函數的最大、小值問題；第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力這些問題成了促使微積分產生的因素十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家為解決上述幾類問題作了大