1、上冊P224226習題解答1. 求下列函數的極值點 , 并確定單調區間 :.解 定義域D. , 的符號為 :十一十X可見 ，在區間和內 ，在區間內 ； 在點取極大值 ，在點取極小值 . 解 定義域D.,且使的點不充滿任何區間 ,在內. 解 定義域D. 的符號為 : 一 十X可見 ，在區間內 ，在區間內；在點取極小值 . 解 定義域D. 時 , 的符號為 : 一 十 一X可見 ，在區間和內 ，在區間內； 在點取極小值 ，在點取極大值 . 解 定義域D. 的符號為 :十 一 一 十X可見 ，在區間和內 ，在區間和內； 在點取極大值 , 在點取極小值 . 解 定義域D., 的符號為 :十 一 十X可

2、見 ，在區間和內 ， 在區間內；分別在點和取極大值和極小值 . 解 定義域D. 的符號為 :十 一 一 十X可見 ，在區間和內 ，在區間和內；分別在點和取極大值和極小值 . 解 定義域D. 的符號為 : 一 十X可見 ，在區間內 ，在區間內；在點取極小值 . 解 定義域D.是周期為的周期函數 , 因此僅在上討論 .,在上的符號為 :一 十 一 十 一 十X可見 ，在區間 , 和 內 , 在區間 , 和內. 在點,和取極大值 , 在點和取極小值.( 注意 : 在上述討論中 , 和并不是區間的端點 . ). 解 定義域D., 且僅在點有. 因此 , 在內.無極值 . 解 定義域D., 駐點為. 的

3、符號為 : 一 十X因此, 在區間內，在區間內；在點取極小值 . 解 定義域D., 在點不可導 . 的符號為 :十一X因此 ,在區間內 , 在區間內. 在點取極大值 . 解 定義域D.易見, 在區間內 , 在區間內.在點取極大值 .解定義域D.易見 , 在區間內 , 在內 . 在點取極大值 .2 求下列函數的拐點，并確定它們的保凸區間：.解 定義域為., . 可見 :在區間內下凸 , 在區間內上凸 ; 僅有一個拐點.解定義域為., . 對于,在區間內, 上凸 ; 在區間 內 ,下凸 . 拐點為.解定義域為., . 在內下凸 , 沒有拐點 .解定義域為., . 可見:在區間內 , 上凸 ; 在區

4、間 內 下凸 . 僅有一個拐點.解定義域為. .的符號為:一十一十X因此 , 在區間和內上凸 , 在區間和內下凸 ; 該曲線僅有一個拐點.解定義域為. , 在點連續 , 所以不可導 ; ,.因此函數在區間和內是線性函數 ,也是保凸的( 視為上凸或下凸均可 ). 該曲線沒有拐點 .解定義域為. , . 可見 , 在內, 下凸 ; 在內, 上凸 ; 拐點為.解定義域為., . 在其定義域內下凸 . 無拐點 .解定義域為.,.在其定義域內下凸 . 無拐點 .解定義域為. , . 的符號為:一十 一X可見 , 在區間和內,在這兩個區間內上凸 ; 在區間內, 下凸 .該函數有兩個拐點 : .解定義域為.

5、, .在區間內, 下凸 ; 在區間內, 上凸 . 有一個拐點.解定義域為. 時 , .在其定義域上上凸 ,無拐點 .3. 設函數在點處二階可導 . 證明 : 在點處取到極大值(極小值)的必要條件是且.證 設函數在點處取到極大值 . 把在點處展開為具Peano型余項的Taylor公式 , 并注意到, 就有.即.上式右端的符號由決定 , 即由決定 . 由于, ，即.同理可證: 在點處取到極小值時 , 且. 證明: 設函數在點處二階可導 , .則> 時 , 是極大值點 ;> 時 , 是極小值點 ;> 時 , 可能是極值點 , 也可能不是極值點 .證 把在點展開為具Peano型余項的

6、Taylor公式, 注意到, 就有.當且時 , 上式右端的符號由決定 . 于是> 時 ,在點的某鄰域內有.可見是函數的一個極大值 ，即是極大值點 。> 時 , 在點的某鄰域內有 .可見是函數的一個極小值 ，即是極小值點 。> 時 , 可能不變號，也可能變號，因此，可能是極值點 , 也可能不是極值點 .4. 設, 在點連續且. 討論函數在點處的極值情況 .解答 注意 和在點的某鄰域內保號 , 易見> 為偶數時 , 在鄰域內不變號 , 是極值點 . 和分別對應是極小值點和極大值點 .> 為奇數時 , 在鄰域內 , 在點的左側和右側取不同的符號 ,此時 , 點不是極值點

7、 .5. 設函數在點處有階連續導數 ,且 ,但. 討論函數在點處的極值情況 .解答 把函數在點處展開成具Peano型余項的Taylor公式 , 由于 , 就有.在點的某鄰域內 , 上式右端不變號或變號 , 完全由其第一項決定 . 于是> 為偶數時 , 在鄰域內不變號 , 因此 不變號 , 可見是極值點 .和分別對應是極小值點和極大值點 .> 為奇數時 , 在鄰域內 , 在點的左側和右側取不同的符號 , 因此 在點的左側和右側也取不同的符號 . 此時 , 點不是極值點 .6. 證明曲線有處在同一條直線上的三個拐點 .證, . 的符號為:一十 一 十X可見該曲線確有三個拐點 ,它們的橫

8、坐標依次為 , 和.這三個拐點依次為 : , 和.直線的斜率為: ,直線的斜率為:.由于直線的斜率 直線的斜率 , 因此點、和在同一條直線上 ，即曲線的三個拐點在同一條直線上 .7. 如何選擇參數, 使得曲線在點為給定的常數)處有拐點 ?解答, . 的符號為 :十一十X可見該曲線上橫坐標為的點為拐點 . 令 , 解得.8. 求曲線在其拐點處的切線方程 . 解 , . 拐點為和.在拐點處 , 切線斜率 , 切線為 , 即;在拐點處 , 切線斜率 , 切線為 , 即.10. 求下列數列的最大項:;解 設 . 考慮函數, ., 令, 解得唯一駐點.可見最大項在第14和15兩項中 . ,.該數列的最大

9、項是第15項 , . 解設. 考慮函數,.有本練習題第1題第題 , 函數在點取極大值 , 易見該極大值就是在上的最大值 . 因此 ,數列的最大項在第2項和第3項兩項中 . , .可見該數列的最大項為 .11. 對作了次測量后獲得了個近似值. 現在要取使得達到最小的作為的近似值 , 應如何選取 ?解 設, 問題是求函數的最小值點 .,令, 解得唯一駐點., 為極小值點 . 由于函數在其定義域內僅有一個極值點且為極小值點 , 因此為函數在其定義域內的最小值點 .綜上 , 取 , 即取 為 個值 的算術平均值時 , 最小 .12. 證明: 對于給定了體積的圓柱形 , 當它的高與底面直徑相等時 , 表

10、面積最小 .解 設定體積為, 并設圓柱形的高為, 底面直徑為, 由 , 得. 于是該圓柱形的表面積為, ( )., 令, 解得唯一駐點 . 該問題有最小值 , 因此 時最小 . 此時.可見 , 當它的高與底面直徑相等時 , 表面積最小 .13. 在底為高為的三角形中作內接矩形 , 矩形的一條邊在三角形的底邊上 .求此矩形的最大面積 .解 如右圖 . , 矩形的面積 , , 令, 解得 . 該問題有最大值 , 可見矩形的底邊長為時 , 此矩形的面積最大 .14. 求內接于橢圓 , 邊與橢圓的軸平行的最大矩形 . 解 設矩形中與X軸平行的邊長為, 則與Y軸平行的邊長為.于是 , 矩形的面積為, .

11、, 解得唯一駐點.該問題有最大值 , 因此為最大值點 . 最大面積為.15. 將一塊半徑為的圓鐵片剪去一個圓心角為的扇形后做成一個漏斗 . 問為何值時漏斗的容積最大 .解 設漏斗( 圓錐形 )的底面半徑為 , 由于底面周長為 , 因此 . 漏斗的高為 . 于是漏斗的容積為, .令, 解得在內有唯一駐點.該問題有最大值 , 內僅有一個可疑點 , 必為最大值點 .因此 , 當時 , 漏斗的容積最大 .16. 要做一個容積為的有蓋圓柱形容器 , 上、下兩個底面的材料價格為每單位面積元 ,側面的材料價格為每單位面積元 , 問底面直徑與高的比例為多少時造價最省 ? 解 設圓柱形容器的底面半徑為, 由,

12、有. 于是 ,總造價為, .令, 解得內唯一駐點. 該問題有最小值點 , 內的這一唯一駐點即為最小值點 . 時 ;: : .因此 , 底面直徑與高的比例為時 ,該容器的造價最省 .17. 要建造一個變電站M向A、B兩地送電（如右圖）BM與A之間的電纜每千米元 , 與B之間的電纜每千米元 . 問變電站建在何處能使總投資最小 ? A解如圖 . 1.2 1.8設CM. 則總投資L()為CM 3.2 DL(), . L().令L(), 得方程, 即 . 對和的具體值 , 求上述方程在區間內的近似解 ,即得變電站M的位置 .18. 洗過的衣服含有洗衣粉殘液 . 現用總量為A的清水漂洗 , 漂洗一遍再甩干

13、后衣服上有的水分 . 若規定漂洗兩遍 , 問如何分配兩次的用水量 , 才能使漂洗的效果最好 ?解設漂洗前衣服含有的洗衣粉殘液中洗衣粉的濃度為. 并設漂洗第一遍時的用水量為, 則充分漂洗后的水中 , 洗衣粉的濃度為. 第一遍漂洗再甩干后衣服上仍有的水分. 再加入剩余的清水 , 即加入的水 , 充分漂洗后的水中 , 洗衣粉的濃度為,., 解得 .該問題有最小值 , 且在內有唯一駐點 , 因此該點就是最小值點 . 即當第一次用水量為時, 經第二遍漂洗再甩干后殘留在衣服上的洗衣粉濃度最小 . 當洗衣粉原液的濃度很小 , 或者能充分甩干 , 即很小時 , , 可見 , 此時兩次平均用水 , 漂洗效果最好 .19. 某商店月銷某商品1萬件 , 每次進貨需運輸等費用100元 , 而每件每日的庫存費用為0. 05元 . 若銷售量是均勻的 , 且每批銷完后立即進下一批貨 , 問 : 若規定每月進貨兩次 , 問每次進貨多少才能使總費用最少 ?解 進貨費用為元 ;設第一次進貨量為 .因為每一進貨周期內初始庫存量最大 ,周期末庫存量為零 ,所以該進貨周期內日平均庫存量為, 庫存時間為