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1、抽象代數(shù)練習(xí)題一設(shè)是一個(gè)非空集合,是由的所有子集構(gòu)成的集合.則集合的并是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.證明:是一個(gè)半群.（10分）二令.證明關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.（10分）-三設(shè)是一個(gè)群,證明:,.（10分）四設(shè)是一個(gè)群,證明:是交換群的充要條件是,.（10分）五求證:循環(huán)群的商群也是循環(huán)群. （10分）六.設(shè)是群,和是的子群,(1)證明:是的子群.(2)假設(shè)是的正規(guī)子群,證明:是的子群.(3)假設(shè)和都是的正規(guī)子群,證明:是的正規(guī)子群.（20分）七設(shè)是群的子群,是的共軛子群,證明:與同構(gòu).（10分）八設(shè)是群到群的滿(mǎn)同態(tài),是的正規(guī)子群,證明:.（20分）參考答案：一證明 眾所周知,對(duì)于任意的,總有.這

2、就是說(shuō),上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,所以是一個(gè)半群.二證明 眾所周知,對(duì)于任意的,總有,.這就是說(shuō),矩陣的乘法是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,并且適合結(jié)合律,所以關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)半群.三證明 對(duì)于任意的,我們有,.所以,.四證明 必要性是顯然的.現(xiàn)在假設(shè)滿(mǎn)足該條件.于是,對(duì)于任意的,我們有,即.運(yùn)用消去律(第5題)立即可得.所以是交換群.五證明 設(shè)是循環(huán)群,是的子群.于是,我們有.這就表明,是循環(huán)群.六證明 (1)假設(shè)是的子群.于是,對(duì)于任意的,我們有存在和,使得存在和, .所以.假設(shè).為了證明是的子群,任意給定.于是,存在和,使得,.因此.由于,因此存在和,使得,從而,.這樣一來(lái),由于的任意性,我們斷言:是的子群.(2)由于是的正規(guī)子群,我們有.這樣,根據(jù)(1),是的子群.(3)根據(jù)(2),是的子群.此外,還有,.所以是的正規(guī)子群.七證明：定義到的映射如下:,.直接從的定義可以明白,是滿(mǎn)射.利用消去律容易推知,是單射.因此是雙射.其次,對(duì)于任意的總有.所以是群到群的同構(gòu),從而,.八證明：由于是的正規(guī)子群,根據(jù)定理6.7,是的正規(guī)子群.現(xiàn)在定義到的映射如下:.由是群到群的滿(mǎn)同態(tài)可知是到的滿(mǎn)射.其次,注意到是的正規(guī)子群,對(duì)于任意的,有

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