1、應變的計算方法本章介紹了幾種網格應變的計算方法，通過分析網格變形的特點及規律，將網格的變形分解為分別沿兩個主應變的方向一次變形而得，從而通過歐拉法推導了有限應變解析的方網格應變計算方法，并把三維空間網格的每個網格作為線性孔斯曲面介紹了三維空間網格的應變計算方法。此外還介紹了工程應變、等效應變和厚度的計算。 4.2 基于歐拉法和有限應變理論解析的方網格計算方法根據有限應變的理論，不同的應力加載可以獲得相同的應變結果。對于近似于平面應力狀態的板材成形來說，每個單元體的應變主方向（除去因為位移造成的轉動）在成形過程中保持不變。這樣就可以將應變分成不同的加載階段，利用真實應變的可疊加性，就可

2、以推導出方網格變形的應變計算方法。連續體的有限變形有兩種表述方法。一種方法的相對位移計算是以變形前后物體內一點作為參考點，即以變形前的坐標作為自變量，這種方法稱為拉格朗日法。另一種方法的相對位移計算是以變形后物體內一點作為參考點，以及已變形后的坐標作為自變量，這種方法稱為歐拉法48。這里給出基于歐拉法和有限應變理論解析的方網格計算原理。4.2.1 方網格內部的變形設任意方向正方形網格內接于圓網格，將其變形過程分解為兩個階段，如圖4-5所示。第一個階段沿著X方向變形，Y方向保持不變；第二個階段沿著Y方向變形，X方向保持不變，即應變主方向與坐標軸相平行。變形的結果使圓網格變形為橢圓，正方形網格變形

3、為平行四邊形（假設單元網格內沿主應變方向的變形是均勻的）  (a)初始網格        (b)橫向變形后的網格        (c)縱向變形后的網格圖4-5  基于有限應變的網格分解變形過程4.2.2 應變主方向和真實應變的計算對于方網格中心的應變，假設網格內部變形是均勻的，所以變形前后四邊形對角線的交點就是網格中心，對角線把方網格劃分成四個三角形。將變形后的網格中心和變形前的網格中心重合，建立直角坐標系，如圖4-6所示。圖

4、4-6  以歐拉法建立的變形前后網格中心重合的坐標系統根據歐拉方法，以變形之后的網格坐標來分析，將主應變方向定為坐標方向，設X方向為主應變的方向，Y方向為主應變的方向，兩個方向分別有拉形比：                               (4-20)  &

5、#160; 則兩個方向的真實應變等于兩次分別變形的疊加：                (4-21)    設變形前方網格邊長為，為所取初始三角形的直角邊長，則有：    取其中初始三角形，其變形后為，根據變形后的網格點坐標、，得到變形后三角形邊長為：           

6、60; (4-22)    沿兩個主應變方向的拉形比為：            (4-23)    已知：               (4-24)    得：         &

7、#160;               (4-25)    由此得到根據三角形計算出來的主應變的方向，進而可以求出主應變：              (4-26)    根據四邊形網格劃分的三角形分別求出來的主應變的方向和大小，就得到了方網格中心O點的真實應變值。由于進

8、行多次計算，四邊形的網格都得到了利用，平均之后，計算的精度得以提高，減小了誤差。4.2.3 網格點上的應變    以上應變的計算獲得的都是方網格中心的應變值，對于網格點上的應變值，則三角形的三個頂點都要取網格點才能計算出網格點上的應變值。圖4-7中所示有9個網格點19構成四個網格四邊形，A、B、C、D分別為四個網格的中心。通過四個網格（1、2、4、5），（2、3、5、6），（4、5、7、8）和（5、6、8、9）可以分別求出中心點A、B、C、D的應變值。那么網格點5的應變值的獲得有下面幾種方法：一種是利用（1、3、7、9）四個點構成的四邊形利用上小節所述的方法進行計

9、算，分別求出三角形（1、5、3），（1、5、7），（3、5、9），（7、5、9）的直角頂點5的應變值，然后再求平均值，從而獲得主應變和主方向。如圖4-8所示。圖4-7 網格點上應變的獲得圖4-8 由斜側方向點求網格點上應變        圖4-9 由縱橫方向點求網格點上應變另一種方法就是利用（2、4、8、6）四個點構成的四邊形同樣利用上小節所述的方法進行計算，分別求出三角形（2、5、4），（2、5、6），（4、5、8），（8、5、6）的直角頂點5的應變值，然后再求平均值，從而獲得主應變和主方向。如圖4-9所示。以上兩種方法都

10、僅利用了網格點5周圍的4個網格點，而沒有充分利用網格點5四周的8八個網格點，因此從計算精度上來說，前一種方法在45°方向上精度比較高，而后一種方法在90°方向上精度比較高。為了進一步提高計算精度，可以將以上兩種方法結合起來，再一次進行平均，由此獲得由某個網格點連同周圍8個點計算出來的網格點應變值。?顯然，這種方法所帶來的問題就是需要的計算時間相應地要增加很多。 4.3 其它應變4.3.1 工程應變    工程應變雖然不具有疊加性質，但它比較直觀，在工程實際中應用廣泛。    如圖4-10所示，是材料的原始長度，是材

11、料的伸長量。則工程應變為伸長量相對于原始長度的比值：                      (4-27)圖4-10  材料伸長變形    真實應變是伸長比（拉形比）的自然對數，可以表示為：             &

12、#160;       (4-28)    因此可以由真實應變獲得工程應變：                     (4-29)    工程應變值如果為正，可以解釋為伸長率，如果為負值，則為收縮率，而對于厚度工程應變，則可以解釋為減薄率。對于拉延成形，材料變薄情況是最需要關注的

13、，用減薄率來反映材料的變形就非常直觀。相應地，真實應變也可以表示為：                   (4-30)4.3.2 等效應變    等效應變也可以由真實最大主應變和最小主應變獲得：               (4-31)4.3.3 厚

14、向應變   由體積不變條件可以得到真實厚向應變：                        (4-32)    材料的真實厚度可由真實應變獲得：              &#

15、160;          (4-33)4.3.4 增量應變對于板材成形工序次數較多的零件，工序之間的應變變化也是需要關注的。從上一次工序到下一道工序之間的變形的增量應變的計算方法和平面應變的計算方法相似。但在這種情況下，網格已經發生了變形，原先變形的網格和再次變形的網格如圖4-11所示。    圖4-11 增量變形前后三角形網格的形狀文獻49介紹一種通過坐標變換，將變形前后的三角形的某個邊重合而獲得的增量應變三角形節點計算方法：有四個張量50,51：變形梯度張量：的轉置：柯

16、西-格林變形張量：拉格朗日應變張量變形梯度張量F是從初始三角形的坐標到再次變形的三角形的線性變換，有：                       (4-34)為了簡化，將初始三角形和變形后的三角形通過旋轉是其中一個邊和軸重合，則有，另有變形梯度張量F為：          &#

17、160;              (4-35)柯西-格林變形張量可以表達為：                             (4-36)    代入

18、前式，有                    (4-37)    則拉格朗日應變就可以通過柯西-格林變形張量計算獲得：    其中是單位矩陣，拉格朗日應變可以以如下形式給出：              

19、60;      (4-38)    有：              (4-39) 真實應變則可表達為：                       (4-40

20、) 則主應變的方位角為：                     (4-41)4.3.5 厚度和曲率修正應變可以通過節點之間的距離計算出來。初始的網格距離就是網格點之間的距離，而在兩個節點之間的新的距離在以上的計算過程中都是當作直線來計算的的。實際上工件表面是有曲率的并且是變化的，因此對于曲率形狀變化劇烈的工件，采用直線距離作為曲面上的距離所帶的誤差就比較大了。 同樣，通過圖像處理和三維

21、重建的網格點都位于板料的表面，計算的僅僅是板料表面的應變值，而板料是有一定的厚度的，因此有必要進行厚度和曲率修正，文獻49介紹了一種進行曲率和半徑修正的方法為：當節點處曲率半徑為，初始節點之間的距離為，厚度為，則修正的公式為：              (4-42)在應變分析實際應用中，為了獲得比較高精度的測量結果或者為了準確地測量應變變化梯度較大的區域，如曲率半徑比較小的區域，采用方法使用比較小直徑的網格，能夠獲得更準確的結果。4.4 三維空間網格的應變計算前面的

22、描述都是基于平面應變的假設基礎上，實際上，在沖壓后，工件的形狀是三維立體的，印制在平面板料上網格經過變形后變成了三維空間立體網格。每個網格節點都具有三維坐標，網格應變的計算就必須考慮空間坐標的問題。平面正方形網格經過變形后變成了空間網格，網格中心也從點變到了點。如圖4-12所示（斜側圖）。圖4-12  平面正方形網格變形為空間網格由于網格中心經過變形后不再是空間四邊形的幾何中心了，因此在計算網格應變時需要通過四個邊長的變化確定網格中心點的坐標。為了簡化計算，參照線性孔斯曲面的定義我們可以獲得四點構成的曲面片的方程，從而求得變形后空間網格中心點的坐標。4.4.1 線性Coons曲面19

23、64年S.A.Coons提出了一種曲面分片、拼合造型的思想，他用四條邊界構造曲面片并通過疊加修正曲面片，產生滿足用戶需要的曲面52。    線性Coons曲面，也稱之為簡單曲面，是通過四條邊界曲線構成的曲面。若給定四條邊界曲線，且。在向進行線性插值，得到直紋面為：                  (4-43)在向進行線性插值，得到直紋面為：    

24、0;             (4-44)如圖4-13所示：圖4-13  線性Coons曲面的生成則用四條邊界曲線構造的曲面可用矩陣形式表示為：         (4-45)4.4.2 基于線性Coons曲面的四點空間網格應變的計算設：已知變形后空間網格四點的坐標為，則可將變形后的空間網格看成四條邊界曲線都是直線的線性Coons曲面。如圖4-14所示。   

25、       圖4-14  變形后的空間網格根據線性Coons曲面的描述和網格區域內變形是均勻的假設前提，有變形后網格中心點坐標：               (4-46)根據4.1.3所述的方法就可以計算出點的應變值。以三角形為例，有應變主方向矢量落在三角形所在的平面內，如圖4-15所示：     圖4-15 空間坐標三角形單元的計算  

26、;                        (4-47)                     (4-48)有：    &

27、#160;                (4-49)同樣，其他三角形可以得到相類似的結果。由于四個三角形不共面，根據每個三角形計算出來的主應變矢量方向分別落在各個三角形所在的平面內，而一點的主應變方向及大小是唯一的，因此，需要對應變主矢進行平均求取網格中心點的切向應變。但是由于考慮到計算精度和計算效率的問題，本文在實現時只計算一個三角形內部的應變。應力應變的切線模量和割線模量1、初始切線模量應力值為零時的應力-應變曲線的正切. 

28、60;2、切線模量某一應力級位處應力-應變曲線的斜率. 3、割線模量以某一應力值對應的曲線上的點同起始點相連的割線的斜率. 4、回彈模量應力卸除階段應力-應變曲線的割線模量.    前三種模量取值時的應變值是包含殘余應變和回彈應變在內的總應變，而回彈模量取值時已扣除殘余應變后的回彈就變。因此，將前三種模量籠統地稱為土的彈性模量顯然是不合適的。而回彈模量能反映土所具有的那部分彈性性質，所以，在以彈性力學為理論基礎的路面設計方法中，往往將土的回彈模量視為土的彈性模量，并且作為路面設計中的一項重要計算參數。取混凝土應力應變曲線在原點O切線的

29、斜率，作為混凝土的初始彈性模量，簡稱彈性模量Ec，即:Ec = tg0 Ec初始彈性模量；a0原點切線的斜率夾角。當應力較大時，混凝土已進入彈塑性階段，彈性模量已不能正確反映此時的應力應變關系。比較精確的方法采用切線模量Ec，即在應力應變曲線任一點處作一切線。此切線的斜率即為該點的切線模量，其表達式為Ec= tg = d / d 割線模量是原點與某點連線即割線的斜率作為混凝土的割線模量，稱為變形模量Ec，它的表達式為Ec= tg1 = c / c 它們之間的大小關系為：原點切線模量>割線彈性模量>切線彈性模量。原點彈性模量也就是我們平常用的混凝土彈性模量，值大約為30000MPa左

30、右，與混凝土強度等級有關。 土基的力學強度特性及其設計參數土的非線性特性土的非線性特性土基的模量 1）初始切線模量應力值為零時的應力-應變曲線的正切，如圖所示，代表加荷開始時土的應力-應變關系。    2）切線模量某一應力級位處應力-應變曲線的斜率，如圖所示，反映土在該級位應力-應變變化的精確關系。    3）割線模量以某一應力值對應的曲線上的點同起始點相連的割線的斜率，如圖所示，反映在該應力級范圍內的應力-應變關系的平均情況。   4）回彈模量應力卸除階段應力-應變曲線的割線模量，如圖所示，反映土在回彈變形范圍內

31、的應力-應變關系的平均情況。    土基的流變性質土的變形隨時間變化的關系。土在荷載作用下的變形不僅與荷載大小有關，而且還與荷載作用的持續時間有關，是一種具有流變性質的材料。土基回彈模量測試    回彈模量能較好地反映土基所具有的部分彈性性質，可以用回彈模量表示土基在瞬時荷載作用下的可恢復變形性質。我國公路水泥混凝土路面、瀝青路面設計方法都以回彈模量E作為土基的剛度指標。    測定時宜采用逐級加載卸載法（直徑30.4cm的板）。每一級荷載經過加載和卸載，取得穩定的回彈彎沉之后，再加下一級荷載，如此施加n

32、級荷載后，即可點繪出荷載-彎沉曲線。    在多數情況下，試驗曲線呈非線性。在確定模量時，可以根據土基實際受的壓力范圍或可能產生的彎沉范圍在曲線上取值。    路面設計中，按1mm線性歸納法來確定土基的回彈模量。  土基在圓形承載板下的壓力與撓度分布曲線 a）柔性承載板 b）剛性承載板地基反應模量    文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程師文克勒(Winkler)1876年提出的，其基本假定是地基上任一點的彎沉僅與作用于該點的壓力p成正比，而與相鄰點處的壓力無關。  

33、0; 直徑76cm的剛性板測定。當地基較軟弱時，取l=0.127cm時相對應的壓力p計算地基反應模量；當地基較為堅硬時，取單位壓力p=0.07MPa時相對應的彎沉值l計算地基反應模量。 加州承載比CBR   加州承載比CBR是美國加利福尼亞州提出的一種評定基層材料承載能力的試驗方法。承載能力以材料抵抗局部荷載壓入變形的能力表征，并采用標準碎石的承載能力為標準，以相對值的百分數表示CBR值。土基的設計參數的確定我國在測定土基回彈模量時，常采用直徑30.4cm的剛性承載板用加載卸載的試驗方法。試驗通常在不利時期進行，并取有84.1概率的回彈模量值作為土基回彈模量的計算值。規范給

34、出我國土基回彈模量設計參數選用的建議值。    土基回彈模量與CBR的關系一直是世界各國在路基土研究中比較關心的內容。根據試驗給出了國內外部分土基回彈模量與CBR的關系，設計是可以根據實際參考選用。路面材料的幾種強度（1）主要材料類型     松散顆粒型材料及塊料     瀝青結合類材料     無機結合料類材料     水泥混凝土材料     由于材料（整體性材料和非整體性材料）的基本性質和成型方式的不同，各種路面結構具有不同的力學強度特性（即應力-應變關系），也使得路面具有不同的使用品質和使用壽命。（2）抗剪強度    摩爾庫侖強度理論：其中c和是表征路面材料抗剪強度的兩項參數，c是材料的粘結力（kpa），是材料內摩阻角，對于土可以通過直剪試驗得到；對于松散粒料無法做直