1、待定系數法分解因式待定系數法作為最常用的解題方法，可以運用于因式分解、確定方程系數、解決應用問題等各種場合。其指導作用貫穿于初中、高中甚至于大學的許多課程之中，認真學好并掌握待定系數法，必將大有裨益。將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。本講主要介紹待定系數法在因式分解中的作用。同學們要仔細體會解題的技巧。這一部分中，通過一系列題目的因式分解過程，同學們要學會用待定系數法進行因式分解時的方法，步驟，技巧等。例

2、1 分解因式 思路1 因為 所以設原式的分解式是然后展開，利用多項式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因為所以可設 比較系數，得由、解得把代入式也成立。思路2 前面同思路1，然后給x,y取特殊值，求出m,n 的值。解法2 因為所以可設因為該式是恒等式，所以它對所有使式子有意義的x,y都成立，那么無妨令得令得解、得或把它們分別代入恒等式檢驗，得說明：本題解法中方程的個數多于未知數的個數，必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗。若有的解對某個方程或所設的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程組無解，則說明原式不能分解成所設形成的因式。例2 分解因式思路 本題是關于x的四次多項式，可考慮用待定系數法將

3、其分解為兩個二次式之積。解 設 由恒等式性質有：由、解得代入中，式成立。說明 若設原式由待定系數法解題知關于a與b的方程組無解，故設原式例3 在關于x的二次三項式中，當時，其值為0；當時，其值為0；當時，其值為10，求這個二次三項式。思路1 先設出關于x的二次三項式的表達式，然后利用已知條件求出各項的系數。可考慮利用恒待式的性質。解法1 設關于x的二次三項式為把已知條件分別代入，得解得故所求的二次三項為思路2 根據已知時，其值0這一條件可設二次三項式為然后再求出a的值。解法2 由已知條件知當時，這個二次三項式的值都為0，故可設這個二次三項式為把代入上式，得 解得故所求的二次三項式為即說明要注意

4、利用已知條件，巧設二次三項式的表達式。例4 已知多項式的系數都是整數。若是奇數，證明這個多項式不能分解為兩個整系數多項式的乘積。思路先設這個多項式能分解為兩個整系數多項式的乘積，然后利用已知條件及其他知識推出這種分解是不可能的。證明：設 （m,n,r都是整數）。比較系數，得因為是奇數，則與d都為奇數，那么mr也是奇數，由奇數的性質得出m,r也都是奇數。在式中令，得由是奇數，得是奇數。而m為奇數，故是偶數，所以是偶數。這樣的左邊是奇數，右邊是偶數。這是不可能的。因此，題中的多項式不能分解為兩個整系數多項式的乘積。說明：所要證的命題涉及到“不能”時，常常考慮用反證法來證明。 例5 已知能被整除，求

5、證： 思路：可用待定系數法來求展開前后系數之間的關系。證明：設展開，比較系數，得由、，得，代入、得：，例6若a是自然數，且的值是一個質數，求這個質數。思路：因為質數只能分解為1和它本身，故可用待定系數法將多項式分解因式，且使得因式中值較小的為1，即可求a的值。進而解決問題。解：由待定系數法可解得由于a是自然數，且 是一個質數，解得當時，不是質數。當 時，是質數。=11 .練習A級1、分解因式_.2、若多項式能被 整除，則n=_.3、二次三項式當 時其值為-3，當 時其值為2，當 時其值為5 ，這個二次三項式是_.4、m, n是什么數時，多項式能被整除？B級5、多項式 能分解為兩個一次因式的積，則k=_.6、若多項式 能被整除，則_.7、若多項式當2 時的值均為0，則當x=_時，多項式的值也是0。8、求證：不能分解為兩個一次因式的積。參考答案或提示：1.提示：設原式比較兩邊系數，得由、解得將 代入式成立。原式2、-4。提示：設原式=比較系數，得由、解得代入得3、提示：設二次三項式為把已知條件代入，得解得所求二次三項式為4. 設比較系數，得 解得當m=-11，n=4已知多項式能被整除。5.-2提示：設原式.比較系數，得 解得 6.-7提示：設原式比較系數，