1、必修二立體幾何典型例題【知識要點】1空間直線和平面的位置關(guān)系：(1)空間兩條直線：有公共點：相交，記作：abA，其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交無公共點：平行或異面平行，記作：ab異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直(2)空間直線與平面：有公共點：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交直線在平面內(nèi)，記作：aa 直線與平面相交，記作：aa A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交無公共點：直線與平面平行，記作：aa (3)空間兩個平面：有公共點：相交，記作：a b l，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交無公共點：平行，記作：a b 2空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個公理與等角定理：公理1：如果一條直線上的兩

2、點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面

3、互相垂直性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行垂直于同一個平面的兩條直線平行如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直(3)我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：【例題分析】例2 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，求證：MN平面PAD 【分析】要證明“線面平行”，可通過“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明證明：方法一，取PD中點E，連

4、接AE，NE底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，MACD，E是PD的中點，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四邊形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中點F，連接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【評述】關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：ac，bc，a，aa，bbg a，g babababab(2)證明線面平行：aabb，aaaaa(3)證明面面平行：a，ba，ag ，g a，b，abA例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求證：A1CBC1 【

5、分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過BC1的平面即可證明：連接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，側(cè)面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【評述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABAC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化例4 在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求證：平面PAC平面PBC【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)

6、化，而“線面垂直”又 可以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【評述】關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：ac，bc，ababab(1)證明線面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaaa(1)證明面面垂直：a，a例5 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點 ()求證：直線EF平面A1ACC1；()在線段AB上

7、確定一點G，使平面EFG平面ABC，并給出證明證明：()連接A1C，A1E側(cè)面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點，E也是A1B的中點，又F是BC的中點，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直線EF平面A1ACC1(2)解：當(dāng)時，平面EFG平面ABC，證明如下：連接EG，F(xiàn)G側(cè)面A1ABB1是菱形，且A1AB60°，A1AB是等邊三角形E是A1B的中點，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC例6 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中點()求證：平面BEC1平面ACC1

8、A1；()求證：AB1平面BEC1【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考證明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中點，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()證明：連接B1C，設(shè)BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中點， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1例7 在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8，

9、()設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD；()求四棱錐PABCD的體積【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動點分析知，MB，MD隨點M的變動而運動，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動”的直線BD是否垂直平面PAD證明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：過P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長為4的等邊

10、三角形因此在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故練習(xí)一、選擇題：1已知m，n是兩條不同直線，a ，b ，g 是三個不同平面，下列命題中正確的是( )(A)若ma ，na ，則mn(B)若ma ，na ，則mn(C)若a g ，b g ，則a b (D)若ma ，mb ，則a b 2已知直線m，n和平面a ，b ，且mn，ma ，a b ，則( )(A)nb (B)nb ，或nb (C)na (D)na ，或na 3設(shè)a，b是兩條直線，a 、b 是兩個平面，則ab的一個充分條件

11、是( )(A)aa ，bb ，a b (B)aa ，bb ，a b (C)aa ，bb ，a b (D)aa ，bb ，a b 4設(shè)直線m與平面a 相交但不垂直，則下列說法中正確的是( )(A)在平面a 內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直(B)過直線m有且只有一個平面與平面a 垂直(C)與直線m垂直的直線不可能與平面a 平行(D)與直線m平行的平面不可能與平面a 垂直二、填空題：5在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ABBC，BAC30°，則PC_6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件_時，有A1CB1D1(只要求寫出一種條件即可)7設(shè)a ，b 是

12、兩個不同的平面，m，n是平面a ，b 之外的兩條不同直線，給出四個論斷：mn a b nb ma 以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出正確的一個命題_8已知平面a 平面b ，a b l，點Aa ，Al，直線ABl，直線ACl，直線ma ，mb ，給出下列四種位置：ABm；ACm；ABb ；ACb ，上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號是_三、解答題：9如圖，三棱錐PABC的三個側(cè)面均為邊長是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點()求MN的長；()求證：PABC10如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分別是AB、BD的中點求證：()直線EF平面AC

13、D；()平面EFC平面BCD11如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點()證明：四邊形BCHG是平行四邊形；()C，D，F(xiàn)，E四點是否共面?為什么?()設(shè)ABBE，證明：平面ADE平面CDE專題七 立體幾何參考答案練習(xí)一、選擇題：1B 2D 3C 4B二、填空題：5 6ACBD(或能得出此結(jié)論的其他條件)7、；或、 8三、解答題：9()解：連接MB，MC三棱錐PABC的三個側(cè)面均為邊長是1的等邊三角形，且底面ABC也是邊長為1的等邊三角形N為BC的中點，MNBC在RtMNB中，()證明：M是PA的中點，PAMB，同理PAMCMBMCM，PA平面MBC，又BC平面MBC，PABC10證明：()E、F分別是AB、BD的中點，EF是ABD的中位線，EFAD又EF平面ACD，AD平面ACD，直線EF平面ACD()EFAD，ADBD，EFBDCBCD，F(xiàn)是BD的中點，CFBDCFEFF，BD平面CEFBD平面BCD，平面EFC平面BCD11()由題意知，F(xiàn)GGA，F(xiàn)HHD，GHAD，又BCAD，GHBC，GHBC，四邊形BCHG是平行四邊形()C，D，F(xiàn)，E四點共面理由如下：由BEAF，G是FA的