1、第23課時 直角三角形與勾股定理解題方法示屏 類型題展示類型一 勾股定理及逆定理例1. （2011肇慶）在直角三角形ABC中，C 90，BC 12，AC 9，則AB 方法點撥：本題考查了勾股定理的運用。由C 90得變式題一（2道）ABCE例2：（2011山東棗莊，21，8分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：（1）畫線段ADBC且使AD =BC，連接CD；（2）線段AC的長為 ，CD的長為 ，AD的長為 ；（3）ACD為 三角形，四邊形ABCD的面積為 ；（4）若E為BC中點，則tanCAE的值是 方法點撥：本題考查了基本作圖、勾股定理及

2、逆定理。（1）利用基本作圖作出圖形；（2）用勾股定理在方格中求出相關線段長度；（3）利用勾股定理的逆定理判定，再求此直角三角形面積；（4）在圖形中找出與CAE相等的角，再利用銳角三角函數求出.B例3： 某小區有一塊草坪如圖所示，已知米，米，米，米，且，這塊草坪的面積是多少？方法點撥：本題考查了勾股定理及逆定理.連接AC，用勾股定理及逆定理可解.類型二 直角三角形的判定ABCDE例4.（2011四川內江，18，9分）如圖，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合，連結BE、EC試猜想的形狀，并證明你

3、的猜想 方法點撥：本題考查了直角三角形、全等三角形的性質和判定。由題意可猜想EBC 是等腰直角三角形.分析發現：證EBC 是等腰直角三角形其實質是證BEEC，BEC=90.而證BEC=90其實質是只要證AEB=DEC.兩項均指向同一目標，即證AEBDEC即可。判定直角三角形的思路：一是證有一個角是直角，它可以通過垂直的定義或角相等（全等）來證，二是利用勾股定理的逆定理來證。ABCMDE變式題二例5：已知，如圖，ABC中，B90，AB=BC,BD=CE,M是AC邊的中點.求證：DEM 是等腰直角三角形.方法點撥：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質和判定。分析觀察圖形，本題可通過三角形全等

4、來證，因而要構造兩個全等的三角形。由M是AC邊的中點知：連接BM即可。 易錯題探究直角三角形性質的應用AEBCDP例6. 已知，如圖，在ABC中，A=90，AD是BC邊上的高，BE是角平分線，且交AD于P. （1）求證：AE=AP; (2)如果C=30，AE1，求AC的長。 錯解：(1)BAC=90,ABC=60BE平分ABC ABE =CBE= 30 AEB=60 AD是高 ADB=90 DPB=60DPB=APE= AEP= 60 AE=AP(2)由(1)得C=CBE =30 EB=EC AE=1 BE=2 易錯分析：本題考查幾種特殊直角三角形的性質。解題時易錯點：一是在非直角三角形中使用

5、直角三角形的性質；二是把非特殊直角三角形看作特殊直角三角形來用；三是直角三角形的性質識記錯誤。本題（1）中就是把ABC當作是30的特殊三角形來證題。備考滿分挑戰雙礎訓練1. （2010欽州）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC6 cm、BC8 cm，現將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（ ）（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm2. 3.（2011貴州貴陽，7，3分）如圖，ABC中，C=90，AC=3，B=30，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）74. 如圖，直角三角板ABC的斜邊A

6、B=12，A=30，將三角板ABC繞C順時針旋轉90至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使點落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板平移的距離為（ ） A. 6 B. 4 C. D.BCDA5.(2011臺灣全區改編）如圖，ABBC、ABAD,垂足為B、A,若AB=160,BC=80,CD=340.那么AD（ ）A 100 B 180 C 220 D 2606. （2011四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么”的逆命題改寫成“如果，那么”的形式： 。7.（2011德州）下列命題中，其逆命題成立的是_（只填寫序號）同旁內角互補，兩直線平行；

7、如果兩個角是直角，那么它們相等；如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形ACEDBF30458. （2011山東棗莊，15，4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積是_cm2. 9.(2011重慶綦江，16，4分) 一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長為2米，坡角A30,B90,BC6米. 當正方形DEFH運動到什么位置,即當AE 米時,有DCAEBC.10. （2011四川廣安，28，10分）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造測得兩直角邊長為6m、8m.現要將其擴建成等腰

8、三角形，且擴充部分是以8m的邊為直角邊的直角三角形求擴建后的等腰三角形花圃的周長11. （2011四川綿陽）王偉準備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養家兔.已知第一條邊長為米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.(1)請用表示第三條邊長；(2)問第一條邊長可以為7米嗎？為什么?請說明理由，并求出的取值范圍；(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數？若能，說明你的圍法;若不能，請說明理由.BAEDFC12. （2011湖北鄂州，18，7分）如圖，在等腰三角形ABC中，ABC=90，D為AC邊上中點，過D點作DEDF，交AB于E，交BC于F

9、，若AE=4，FC=3，求EF長能力提升題量要求：選擇題3道，填空題3道，解答題2道ODAEFCB13.（2011山東煙臺）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m14. （2011蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點。若EF2，BC5，CD3，則tan C等于 A B C D15. （2011湖北黃石，7，3分）將一個有45度角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，

10、另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖(3)，則三角板的最大邊的長為（ ）A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cmACBEFD16. （2011江蘇無錫，16，2分）如圖，在RtABC中，ACB = 90，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD = 5cm，則EF = _cm17. （2011淮安18）如圖，在RtABC中，ABC=90，ACB=30，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉15后得到AB1C1，B1C1交AC于點D，如果AD=2，則ABC的周長等于 18. （2011溫州）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅

11、“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1,S2，S3若S1+S2+S310，則S2的值是 19. （2011廣西玉林25改編）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H（1）求證：HGB是直角三角形.（2）若AB=2，AG=，求EB的長20. （2011長沙模擬） 如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km

12、 (1).水泵應建在什么地方，可使所用的水管最短？請在圖中設計出水泵站的位置；(2)如果鋪設水管的工程費用為每千米1500元，為使鋪設水管費用最節省，請求出最節省的鋪設水管的費用為多少元？第23課時 直角三角形與勾股定理參考答案解題方法示屏例1：【答案】15ABCED例2.【解答】解：（1）如圖； （2），5； （3）直角，10； （4）例3.【解答】解：連接AC. ABBC ABC=90 CD=12 DA=13 AC2+CD252+122169132DA2 ACD是直角三角形，ACD=90 四邊形ABCD的面積例4.【解答】解：EBC 是等腰直角三角形AC=2AB，點D是AC的中點AB=AD

13、=CDEAD=EDA=45EAB=EDC=135EA=EDEABEDCAEB=DEC，EB=ECBEC=AEB+BED=AED=90EBC 是等腰直角三角形.例5. 【解答】證：連接BM. M是AC邊的中點，B90,AB=BC MB=MC MBAC MBD=C=45 在DMB和EMC中 DMBEMC DM=EM DMB=EMC BME+EMC=90 BME+BMD=90即DME90 DEM 是等腰三角形例6. 正解：（1）BAC= ADB= 90 ABE+ AEB= 90 PBD+BPD= 90 BE平分ABC ABE =CBE即ABE =PBD APE= AEP AE=AP(2) C=30

14、AE=1ABE =CBE= 30 BE=2 EB=EC AC=AE+EC=3備考滿分挑戰1. 【答案】B 【解析】本題考查了勾股定理和圖形變換的性質。解題思路：解RtABC得AB=10cm，由圖形變換性質得BE=AE=5cm.2. 【答案】 D【解析】本題考查了勾股定理和圓錐側面面積求法.解題思路：由勾股定理得BC=5，再由圓錐側面面積求法可直接得出結果。3.【答案】D 【解析】本題考查了直角三角形的邊角關系。解題思路：由C=90，AC=3，B=30得AB=6.又點P是BC邊上，所以3AP6.故選D.4.【答案】A 【解析】本題考查了特殊直角三角形的性質，要熟練掌握好直角三角形中，30角所對的

15、邊等于斜邊的一半. 解題思路：在直角ABC中，AB=12，A=30，則，；若設平移后落在原三角板ABC的斜邊AB上的點為M，則AM中，A=30，所以.EBCDA5.【答案】【解析】本題考查了直角三角形的邊角關系和勾股定理.解題思路：如圖，作CEDA，交DA的延長線于E，由題意知DAB=B=E=90,EC=BA=160,DC=340,所以DE=300, AD220.故選D.6.【答案】如果三角形三邊長a，b，c，滿足，那么這個三角形是直角三角形. 【解析】本題考查了對勾股定理的逆定理的理解和識記。解題思路：先弄清命題的題設和結論，再寫出其逆命題即可。注意寫逆命題時a，b，c不能表示直角邊和斜邊，

16、而是任意三角形的邊。7.【答案】 【解析】本題考查了命題、逆命題的真假性. 解題思路：逆命題兩直線平行，同旁內角互補，真命題；如果兩個角相等，那么它們是直角，假命題；如果兩個實數的平方相等，那么它們相等，假命題；如果一個直角三角形的三邊長是 a，b，c，那么，真命題8.【答案】 【解析】本題考查了特殊直角三角形的性質，要熟練掌握好兩個特殊三角形的性質. 解題思路：在直角ABC中，AB=14，B=30，則由題意可知ACF為等腰直角三角形，所以.9. 【答案】： 【解析】本題考查了直角三角形的性質、勾股定理和數形結合思想。 解題思路：在ABC中，BC=6，B90，A=30，則，若設米，則米，由勾股

17、定理可得：.所以有：，解得.故當時，有DCAEBC.10. 【思路分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形和分類思想.由題意知：此等腰三角形有三種情形如下圖,再根據圖形求出等腰ABD的周長.ABCDABCDABCD （1）AB=AD (2)BD=AB (3)BD=AD解：在RtABC中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，（1）當AB=AD時，CD=6m，ABD的周長為32m；（2）當AB=BD時，CD=4m， ABD的周長是（20+）m；（3）當DA=DB時，設AD=x，則CD=x-6，則，ABD的周長是m，11.【思路分析】本題考查了直角三角形的邊的關系和勾股定理。（1）根據題意用的代數式表

18、示三角形的三邊；（2）用三角形三邊關系可以確定；（3）用勾股定理驗證。【解答】解：(1)根據題意得：第一條邊為,則第二條邊為2+2,第三條邊為30-（2+2）=28-3(2)不可以是7，當7時，2+216，28-37，即這個三角形的三邊是7、16、7.而7+716，不滿足三邊之間的關系，所以不可以構成三角形。(3)能.其理由是：根據題意得：解得：又是整數，5、6當5時，2+212，28-313，此時,可以圍成一個滿足條件的直角三角形.當6時，2+214，28-310，此時,不可以圍成一個滿足條件的直角三角形.12. 12.【解題思路】此題考查了直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半、三角形全等的判

19、定和性質和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定，解決起來并不困難。要求EF，先要求出BE、BF.所以連結BD，證BEDCFD和AEDBFD，得BF=4，BE=3，再運用勾股定理求得EF=5【解答】連結BD，ABC=90，D為AC邊上中點 AD=CD=BD，ADB=90，ABD=CDB=A=C=45DEDF EDB+BDF=90BDF+FDC=90 EDB=FDC在BED和CFD中 BEDCFD同理上AEDBFD BE=CF=3 BF=AE=4 13.【答案】C 【解析】本題考查了勾股定理和直角三角形的性質。解題思路：由勾股定理得AB=10m，再由直角三角形性質得:O是內心且

20、OD=OE=OF。所以有：,解得OD2m，所以O到三條支路的管道總長是6m.14.【答案】B 【解析】本題考查了三角形中位線定理, 勾股定理, 銳角三角函數定義。解題思路：連接BD, 在中,E、F分別是AB、AD的中點, 且EF2,BD=4.在中,BD=4, BC5，CD3, 滿足是直角三角形.所以。15.【答案】D 【解析】本題考查了特殊直角三角形的性質。解題思路：由“直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半”可求得等腰直角三角板的直角邊長是6cm.又由等腰直角三角形的性質可得斜邊（最大的邊）是6cm.16.【答案】5 【解析】本題考查了直角三角形的性質、中位線的性質。解題思路：由ACB = 90，D分別是AB的中點得：AD=DB=CD=5cm.又E、F分別是BC、CA的中點，所以.17. 【答案】 【解析】本題主要考查旋轉和直角三角形的性質，既要弄清等腰梯