1、23卷第1期應(yīng)用擴(kuò)展F展開法求解非線性薛定鄂方程何曉瑩（廣西工學(xué)院信息與計算科學(xué)系，廣西柳州545006）摘要：考慮非線性薛定鄂方程的行波解，對方程進(jìn)行行波變化，把求解偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解常微分方程.通過應(yīng)用擴(kuò)展F-展開法，獲得了非線性薛定鄂方程的精確行波解.關(guān)鍵詞：非線性薛定鄂方程；擴(kuò)展F展開法；精確行波解中圖分類號：O17529文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A0引言自然科學(xué)領(lǐng)域中很多問題的數(shù)學(xué)模型，最終可用非線性演化方程（組）來描述由于這類方程的解析解對于洞察這些問題的物理本質(zhì)具有很重要的意義；因此，尋求非線性演化方程的孤子解一直是物理學(xué)和數(shù)學(xué)工作者的重點課題人們已經(jīng)提出了許多方法，如齊次平衡法、Darbo

2、ux變換法、Hirota雙線性變換法、Exp函數(shù)法、tanh函數(shù)法等1-4本文通過利用擴(kuò)展的F展開法來求解非線性薛定鄂方程i（ut+uy）-uxx+uv=0vt-2（u2）x=0!（1）1行波約化及方程求解令11行波約化u（x，y，t）=eiU（），v（x，y，t）=V（），=px+qy+rt，=kx+cy+dt方程（1）化為（2）!i（d+c-2pk）U+（p2-r-q）U+UV-k2U=0dV-4kUU=0d+c-2pk=0，-k2U+（p2-r-q）U+UV=0（3）由（3）第一個方程得（4）（5）（6）由（3）第二個方程可得V=2KU2帶入（5）化為-k2dU+d（p2-r-q）U+2

3、kU3=012利用擴(kuò)展F展開法求解（7）收稿日期：20110815基金項目：廣西工學(xué)院自然科學(xué)基金項目（院科自0977104）；廣西自然科學(xué)基金項目（2011GXNSFAO18137；廣西區(qū)教育廳科研立項項目（201010LX250）資助作者簡介：何曉瑩，講師，理學(xué)碩士，研究方向：微分方程，Email：hexiaoying0331yahoocomcn第1期何曉瑩：應(yīng)用擴(kuò)展F展開法求解非線性薛定鄂方程83設(shè)U（）可表示為F（）的有限冪級數(shù)：U（）=a0+aiFi（）+biFi（）F（）i=-ni=-nnn（8）F（）滿足Riccati方程：（9）F（）+A+BF（）+CF2（）其中an0，ai（

4、i0，1，2，n），A，B和C為待定常數(shù)通過平衡方程（7）的最高階導(dǎo)數(shù)U與最高非線性項U3得到n=1從而方程（7）的解一般表示式為：（10）U（）=a-1F-1（）+a0+a1F（）+b-1F-1（）F（）+b1F（）F（）將（10）帶入方程（7），整理成為F（）的展開式，并令F（）的各冪次項的系數(shù)為0，得到關(guān)于a-1，a0，a1，b-1，b1，p，q，r，k，c，d的代數(shù)方程組，借助Maple軟件解方程組得到3組情形：情形1：當(dāng)A=0時，方程組有如下解：22222222，k=k，p=p，q=k2B2+p2-r，r=r，a-1=0，a0=（），c=2，d=2kCkC22Ca1=a1，b-1=b

5、-1，b1=0.情形2：當(dāng)B=0時，方程組有如下解：22222222，d=，k=k，p=p，q=-2Ak2C+p2-r，r=r，a-1=a-1，a0=0，a1=-b-1C，c=22kAkAb-1=b-1，b1=0.情形3：當(dāng)A=0，B=0，C0時，方程組有如下解：22222222，k=k，p=p，q=p2-r，r=r，a-1=0，a0=0，a1=a1，b-1=b-1，b1=0.c=2，d=2kCkC將以上各解帶入（10），并結(jié)合（2）進(jìn)行分析可得精確行波解方程的類孤子解如下：（I）當(dāng)A=0，B=1，C=-1，則F（）=+tanh（），可得222sech（）2，u1（）=eia0+a12+2ta

6、nh（2）+b-11+tanh（）2sech2（）u1（）=a0+a12+2tanh（2）+b-1d1+tanh（）222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=-a+2ba-b+2pk，22d=a1-2b-1a1+b-1，q=1k2+p2-r，a0=a1+b-1，k，p，r，a1，b-1為任意常數(shù)（II）當(dāng)A=0，B=-1，C=1，則F（）=1+1coth（），可得csch2（）11，u2（）=eia0+a1+tanh（）+b-11-coth（）22csch（）11u2（）=2ka0+a1-coth（）+b-11-coth（）222842廣西工學(xué)院學(xué)報22第23卷其中=px+qy+r

7、t，=kx+cy+dt，c=，k22d=，q=1k2+p2-r，a0=，k，p，r，a1，b-1為任意常數(shù)k（III）當(dāng)A=1，B=0，C=-1，則F（）=coth（）±csch（），則或F（）=tanh（）±isech（）可得a+bcoth（）csch（），u3（）=ei（）（）2u3（）=2k或者a+bcoth（）csch（）coth（）±csch（）u3*（）=ei·（）（）+，tanh（）±isech（）tanh（）±isech（）2u3*（）=2ka+b（）（）222·（）（）tanh（）±isech（）

8、2其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k22，q=k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1為任意常數(shù)d=2k（IV）當(dāng)A=1，B=0，C=-1，則F（）=tanh（）或F（）=coth（），可得u4（）=ei（a-1+b-1）coth（），2v4（）=（a-1+b-1）coth（）d或者u4*（）=ei（a-1+b-1）tanh（），2（a-1+b-1）tanh（）v4*（）=d222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k22，q=2k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1為任意常數(shù)d=k方程的三角函數(shù)解如下：（V）當(dāng)A=，B=0，C=，則F（）=sec（）+t

9、an（）或F（）=csc（）-cot（），22可得u5（）=eiv5（）=d或者，2sec（）-tan（）2a-1-b-1（）（）2u5*（）=ei，2sec（）-cot（）v5*（）=csc（）-cot（）d2222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k2第1期何曉瑩：應(yīng)用擴(kuò)展F展開法求解非線性薛定鄂方程8522d=，q=1k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1為任意常數(shù)2k（VI）當(dāng)A=-1，B=0，C=-1，則F（）=sec（）-tan（）或F（）=csc（）+cot（），可得2a-b，u6（）=ei2sec（）-tan（）v6（）=2kd或者2sec（）-tan（）2

10、u6*（）=ei*62a-b，2csc（）+cot（）v（）=2kcsc（）+cot（）d2222其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=-4a+4ab-b+2pk，k224a-4ab+b，q=-1k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1為任意常數(shù)d=（VII）當(dāng)A=1（-1），B=0，C=1（-1），則F（）=tan（）或F（）=cot（），可得u7（）=ei（a-1+b-1）cot（），2（a-1+b-1）cot（）v7（）=2kd或者2，u7*（）=eia-1tan（）-b-12cot（）+tan（）v7*（）=a-1tan（）-b-12cot（）+tan（）d222其中=px

11、+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，k22d=，q=-2k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1為任意常數(shù)k2方程的有理函數(shù)解如下：，R為任意常數(shù)，可得C+Ru8（）=ei（），C+R2v8（）=2k（a-bC）dC+R22222-a-2baC-bC+2pkC其中=px+qy+rt，=kx+cy+dt，c=，2222C，q=-2k2+p2-r，k，p，r，a-1，b-1為任意常數(shù)d=a+2baC+b（VIII）當(dāng)A=0，B=0，C0，則F（）=2結(jié)論論文利用擴(kuò)展的F展開法求解了非線性薛定鄂方程，得到其精確解此方法不像原有的F展開法以得到Jacobi橢圓函數(shù)解為出發(fā)點，而是以直接得到物理意

12、義深刻的類孤子解和三角函數(shù)解等為出發(fā)點，使得應(yīng)用更加廣闊，其中不乏一些用其他方法沒有得到的新的精確解，這對方程的研究會有一定積極的意義（下轉(zhuǎn)第91頁）第1期吳衛(wèi)紅：紅外光譜研究十八胺、硬脂酸及氘代硬脂酸LangmuirBlodgett膜相變行為91filmofoctadecylamineJLangmuir，2000，16:661366215KRay，HNakaharaAdsorptionofsulforhodaminedyesincationicLangmuirBlodgettfilms：spectroscopicandstructuralStudiesJJPhysChemB，2002，106

13、:921006VPatil，MSastryFormationofclosepackedsilvernanoparticlemultilayersfromelectrostaticallygrownoctadecylaminecolloidnanocompositeprecursorsJLangmuir，2000，16:22072212InfraredspectroscopystudyonthephasebehavioroftheLangmuirBlodgettfilmsofoctadecylamine，stearicacidanddeuteratedstearicacidWUWeihong（D

14、epartmentofBiologicalandChemicalEngineering，GuangxiUniversityofTechnology，Liuzhou545006，China）Abstract：11monolayerLBfilmsofoctadecylamine，stearicacidanddeuteratedstearicacidwereprepared，andthephasebehaviorsofthethreekindsofLBfilmswereinvestigatedbyvariabletemperatureFTIRtransmissionspectroscopyItwas

15、found：thephasetransitionoftheoctadecylamineLBfilmsundergoesinthelongandlowtemperaturerangeof5575，andthefrequenciesoftheCH2symmetricandantisymmetricstretchingmovetohighenergyareasuccessively；theobviousorderdisordertransitionofthealkylchainsinthestearicacidLBfilmsproceedsinthenarrowtemperaturerangeof7

16、080，theCH2stretchingfrequenciesandintensityratioofa（CH2）tos（CH2）changesnotably；phasebehaviorofdeuteratedstearicacidLBfilmstakesplacebetween6575，especiallyinthetemperaturerangeof6570，thephasetransitionisremarkableKeywords：infraredspectroscopy；octadecylamine；stearicacid；deuteratedstearicacid；LangmuirB

17、lodgettfilms；variabletemperature；phasebehavior（責(zé)任編輯李彥青）!（上接第85頁）參考文獻(xiàn)1WangMLThesolitarywavesolutionsforvariantBoussinesqequationsJPhysLettA，1995，199（3）：1671722HeJH，WuXHExpfunctionmethodfornonlinearwaveequationsJChaosSolitonsFract，2006，30（3）：7007083施業(yè)瓊，韓松修正的藕合KadomtsevPetviashvili方程的精確解J廣西工學(xué)院學(xué)報，2008，19（1）：9124施業(yè)瓊應(yīng)用展開法求解高階非線性薛定諤方程J廣西工學(xué)院學(xué)報，2009，20（3）：4548TheextendedFexpansionmethodtosolvethenonlinearequationsHEXiaoying（DepartmentofInformationandComputingScience，GuangxiUniversityofTechnology，Liuzhou545006，China）Abstract：WestudythetravellingwavesolutionsforthenonlinearSchrdingerequationsWefirstc