1、斐波那契螺旋 異調斐波那契(Leonardo Fibonacci, 約1175-約1240)也許是在生活在丟番圖(Diophantos)之后費爾馬(Pierre de Fermat)之前這2000年間歐洲最杰出的數論學家。我們對他的生平知道得很少。他出生在意大利那個后來因為伽里略做過落體實驗而著名的斜塔所在的城市里，現在那里還有他的一座雕像。他年輕是跟隨經商的父親在北非和歐洲旅行，大概就是由此而學習到了世界各地不同的算術體系。在他最重要的著作算盤書（Liber Abaci，寫于1202年）中，引進了印度-阿拉伯數碼（包括0）及其演算法則。數論方面他在丟番圖方程和同余方程方面有重要貢獻。坐落在意

2、大利比薩的斐波那契雕像數學中有一個以他的名字命名的著名數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 從第三項開始每一項都是數列中前兩項之和。這個數列是斐波那契在他的算盤書的“兔子問題”中提出的。在問題中他假設如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在它出生后的第三個月，又能開始生小兔，如果沒有死亡，由一對剛出生的小兔開始，一年后一共會有多少對兔子？將問題一般化后答案就是，第n個月時的兔子數就是斐波那契數列的第n項。斐波那契數列和黃金分割數有很密切的聯系。斐波那契并沒有把這個問題和這個數列看得特別重要，在算盤書中兔子問題只不過是

3、書里許多問題中并不特別的其中一個罷了。但是在此后的歲月中，這個數列似乎和題中的高產兔子一樣，引發了為數眾多的數學論文和介紹文章（本文似乎也在步此后塵）。不過在這里我不想介紹浩如煙海的有關斐波那契數列的數學文章，只想欣賞大自然的造化。在現實的自然世界中，算盤書里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數列。本期封面上是起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋。很容易想像，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時針方向的，還有些是逆時針方向的。為了仔細觀察這些螺旋，我們挑選另一種具有類似特點的植物薊，它們的頭部幾乎呈球狀。在下面這個圖里，標出了兩條不同

4、方向的螺旋。我們可以數一下，順時針旋轉的具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部（和左邊那條旋轉方向相同）螺旋一共有13條，而逆時針旋轉的則有21條。而下面這幅圖中的順逆方向螺旋數目則恰好相反。具有13條逆時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），下面的圖片是一些看起來明顯的例子（可以點擊看大圖），事實上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個特性，只是不容易觀察清楚。盡管這些順逆螺旋的數目并不固定，但它們也并不隨機，它們是斐波那契序列中的相鄰數字。這樣的螺旋被稱為斐波那契

5、螺旋。 自然界中各種各樣的斐波那契螺旋（點擊看大圖）這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該并非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數1.618033989的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。由于是自然規律而并非抽象的數學或哲學原理決定了植物各種器官的排列圖樣；另外還有具體環境的影響，比如地形、氣候或病害，你并不總能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生長得很健康的植物，也難免有這樣那