1、因式分解的教材分析 塘沽十五中 王守娟一、 知識結構梳理 定義 整 因 提公因式法 式 式 兩項式平方差公式 方法 完全平方公式 公式法乘 分 三項式 十字相乘法法 解 多余三項的多項式分組分解法 一“提” 二“套”步驟 三“分” 四“查”二、 本章在代數中的地位和作用因式分解是代數中又一種重要的恒等變形，而本章的因式分解的內容是多項式因式分解中一部分最基本的知識和基本方法，它包括因式分解的概念，整式乘法與因式分解的區別和聯系；因式分解的四種基本方法，即提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法（本書中只介紹了二次項系數為1的二次三項式的十字相乘法）多項式的因式分解是代數中一部分重要內容，

2、它是在學完有理數和整式乘法之后給出的，它與前一章整式乘除和后一章分式聯系極為密切。這部分內容在將分式通分和約分時有著直接應用，在解方程以及將三角函數進行恒等變形等方面也經常涉及到它的應用，因此本章內容對進一步學習數學有重要的作用。三、 教學目標1、通過學習因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯系，提高對代數式的辨別能力。2、學習提公因式法，了解提公因式法分解因式是乘法對加法的分配律的逆用；學習了公式法，進一步明確公式法分解因式是乘法公式的逆用。從而提高代數式的恒等變形能力。3、在小學數學中學習分解質因數是為分數運算打基礎，進而計算算術應用題。同樣道理，在代數中學習因式分解是為后面學習分式運算打

3、基礎，進而可以列方程解應用題，從而提高分析問題和解決問題的能力。4、通過分組分解法提高學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力。注意觀察式子的結構特點，提高合理選擇式子變形的方法，注意提高綜合處理因式分解的能力。5、加強把一個式子看作一個字母的換元思想的練習，在因式分解時對于比較復雜的問題能夠通過變形整理使之轉化為所熟悉的因式分解的基本形式或把某一部分式子看作一個整體以適應某種基本方法，從而了解等價轉化的思想和方法。6、尋求因式分解的方法具有探索性，要有猜想、試探、思辨的過程，所以要培養學生的探索精神和探索能力，提高解題的靈活性和創造性。四、 教學重點：多項式的因式分解的四種方法。五、 教學難點

4、：多項式因式分解方法靈活多變，分組方案的篩選技巧六、 教學建議1、對因式分解這一概念本人認為不宜要求學生一次了解徹底，可以通過舉例及后面的幾節課的因式分解過程逐步加深理解。特別是講授四個因式分解的基本方法時，結合具體例題的分析過程、分解結果，說明因式分解的概念，以達到明確這個概念的目的。2、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理論依據是乘法分配律。在講解時可以先復習單項式乘以多項式，再把它逆轉過來運算就是提公因式法。用這個方法，首先對要分解的多項式認真觀察，確定公因式是至關重要的。3、運用公式法的關鍵是熟悉各公式的形式和特點。對初學者來說，如何根據要分解的多項式的形式特點

5、（項數、系數、指數）來選擇用什么公式，往往不是很容易，這也是運用公式的難點。因此在教學中應注意分析實例，指明思路、交待方法，以便克服難點。4、分組分解法是前兩種方法的綜合。教材中分兩類：一類是分組后能直接提公因式的；一類是分組后能運用公式的。由于多項式的形式各異，分組的方法也比較靈活，要具體問題具體分析，并且要預見到分組后是否能將整個多項式繼續分解，相對來說分組分解法比前兩種方法難，教學時要根據教材的層次，先易后難，最后講綜合性的因式分解。5、運用公式進行因式分解，讓學生注意觀察該二次三項式的特征：二次項系數為1；常數項能分解成；恰好為一次項系數，則一定能分解為的形式，只有滿足這樣特征的二次三

6、項式才能用它進行正確的因式分解。6、綜合運用以上四種方法進行多項式的因式分解安排在本章的最后，對這部分內容的教學要根據不同的題目，進行具體分析，靈活地運用各種方法來分解因式。通過這部分內容可綜合地培養學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力。這部分內容又是教學的難點，要從教學要求學生水平出發安排這部分的例題和練習。7、因式分解的一般步驟是總結各種分解方法后講述的，教學時要強調結合題目的形式和特點來選擇，確定采用哪種方法分解。四種方法是彼此聯系的，并不是一種類型的多項式只能用一種方法來分解因式，教學時要讓學生學會具體問題具體分析的方法。8、先分組分解，再最后完成整個分解的方法，既依賴于解題能力的提

7、高，也是解題能力的培養。要認真組織學生討論，發揮實驗探索精神，養成探索習慣，以尋求分組途徑，所以這種解法應在學生的研討中產生，而不宜簡單地“傳授”給學生，讓學生不僅享受正確分組的成功，也要經歷錯誤分組的失敗，然后從失敗中走向成功。七、 課時安排：§8.1 提公因式法（5課時）§8.2 運用公式法（8課時）§8.3 分組分解法（8課時）八、 具體安排：§8.1 提公因式法（第一課時）引出因式分解這一概念的方法很多。本人在課前先讓學生完成如下的題目（課本第7頁練習）（ ）（ ）（ ）（ ）更能體會整式乘法與因式分解互為逆變形，同時也為提公因式法作準備。提公因

8、式法分解因式的關鍵是確定多項式各項的公因式，即當多項式各項系數為整數時，應取各項系數的最大公約數與各項相同因式的最低次冪的積。此種方法分解的步驟是：確定公因式，把它放在括號前。確定另一個公因式（用提出的公因式去除原多項式，把所得的商作為另一個因式，并把它寫在括號里）。安排例1、（含一個字母）例2、（含兩個字母）例3、（含三個字母）顯然例題是由易到難，這樣安排符合學生的認知規律，也使學生易于掌握。（第二課時）講解課本上的例3、（易出現漏“1”的問題，此時可用整式乘法來檢驗）。 補充：已知，求的值。 分析：學生先階段還不能從已知中求出、的值，因此就需要學生探索求解的方法，即先把多項式分解因式得，再

9、把代入。（第三課時）添括號法則及例5（將多項式的后兩項添括號）例6、將多項式分解因式（在這里又一次應用了添括號法則，即多項式的最高次項系數為負，在分解之前應先提出“”號，再對對括號內的多項式分解因式，這樣比較簡單）補充：按要求對多項式添括號 將多項式的中間兩項放到前面帶有“”的括號里； 將多項式的四次項放到前面帶有“+”的括號里，二次項放到前面帶有“”的括號里。（例5之后練習）（第四課時）公因式是多項式（這里滲透換元思想） 例7、把分解因式 例8、把分解因式（課本例9） （兩個例題中括號內的多項式是相同的）（第五課時）公因式仍是多項式，但需在分解前變形，這也是學生容易錯的地方?；谶@樣在講例題

10、之前讓學生先完成P12的練習第1題，并通過此題的練習讓學生歸納出與的關系： 當為偶數時= 當為奇數時=從而為例9、把分解因式例10、把分解因式作了鋪墊。 （在這里盡量讓學生用不同的方法來分解）§8.2運用公式法（這種方法的關鍵是弄清公式的形式和特點，熟練地掌握公式）平方差公式的特點：左邊：多項式為二項式；兩項的符號相反；每項都可化為某數（或某式）的平方形式。右邊：這兩個數（或式）的和與這兩個數（或式）的差的積。即：（）2（）2=（+）（）（第一課時）應充分重視引例與的因式分解過程的分析。在講解例題之前先完成課后練習1、練習4（判斷能否用平方差公式分解，從而加深對公式的理解，同時也有助

11、于學生邏輯思維能力的培養）。例1、 把下列各多項式分解因式：（1） （2） （3）通過例題的講解歸納步驟先判斷能否用此公式，并確定、；再套用公式分解；化簡。（第二課時）相當于公式中的、是多項式，又一次體現了換元的思想，分析時就可以采用換元法。例2、 把下列多項式分解因式： （分解時讓學生注意系數、指數的變化）。（第三課時）綜合運用提公因式法和公式法分解多項式（有助于培養學生分析問題能力）初次讓學生體會到因式分解方法的考慮順序是一“提”二“套”。例3、 分解下列多項式： （兩次運用公式，強調分解要徹底。這里又一次體現換元的思想）（第四課時）完全平方公式：公式特點：（左邊）、多項式為三項式；、有兩

12、個平方項且同號，又能寫成兩數（或式）的平方形式；、另一項是這兩數（或式）的積的二倍，符號可正可負。（右邊）這兩數（或式）的和或差的平方形式。運用此公式的關鍵是會判斷一個三項式是否為完全平方式即：（）2±2*+（）2補充下面的練習：1、 下列各式是否為完全平方式： 2、 填空： 完成以上練習后再講例1把多項式分解因式及引例和的分解因式。（第五課時）例5、（首項系數為負，先提出“”，使字母的平方項系數為正）（）例6、（含公因式的）（又一次體現一“提”二“套”的步驟）（第六課時）例7、把分解因式（此題中既含有公因式2，又把看作整體，進一步滲透換元思想）補充：分解 （第七課時）補充因式分解的

13、一些應用（如簡便計算： 證明數的整除：為整數，則）能被8整除等問題）（第八課時）公式法的小結課，綜合運用兩個公式和提公因式法。從而培養學生觀察問題、解決問題的能力。§8.3分組分解法（關鍵是分組后能繼續分解）一） 分組后直接提公因式（等項分組）分組的原則是：可按相同的系數或相同的系數比進行分組如：多項式可有兩種分組方法，（方法一）（也可說是按、分組）（方法二）（也可說是按、分組）可根據字母的次數來分組（如可把二次項、一次項和常數項分別分組即，當然它還有其它的分組方法這里就不介紹了） （第一課時）例1、 例2、（第二課時） 例3、 例4、 （例1例4由同學們互相討論尋求）二） 分組后直

14、接運用公式（第三課時） 例5、（還是分組后提公因式，只是前兩項為一組需用平方差公式） （第四課時） 例7、 （啟發學生用多種方法分解）（第五課時）分組分解法的小結課補充打散原有組合重新分組例如，要想對它分解須先去掉括號得，再按前面的例1那樣類似地分組。（書中這樣的題目還有如P37 B組的第3題、P43的第6題）三） 十字相乘法形如形式，若且則=（）（）（第六課時）常數項為正數例8、把下列各式分解因式：（1） （2）（第七課時）常數項為負數例9、把下列各式分解因式：（1） （2） （3）由此總結分解因式的規律即、與常數項、一次項系數的關系（盡量由學生說出）：0，0時，、同為正；0，0時，、同為負

15、；0，0時，、異號且絕對值較大的數為正；0，0時，、異號且絕對值較大的數為負。（第八課時）通過例題綜合運用前面幾種方法及前幾節的學習總結步驟如下（P34黑體字），本人把它總結成如下“順口溜”：首先要提公因式，然后考慮用公式；十字相乘試一試，分組分得要合適；四種方法反復試，結果應是連乘式。補充說明：1對形如型的多項式分解因式的方法（十字相乘法應給學生介紹）其原理：且 則=通常借助十字交叉線： 代數學習質量監測P17第8題（這種方法需要大膽嘗試）2配方法（P37讀一讀應給予重視，因在今后的二次函數中仍有應用）3拆項、添項的方法（1） 拆項法（即把某一項拆成兩個同類項）例如：然后分組分解（2） 添項法（添出兩個系數互為相反數的同類項）例如： 4待定系數法 5因式分解的應用整除性（例如P43B組的1、2等）對某些