1、題目：傅里葉分析及其應用 答辯人：黃昶昊 班級：08110801 學號：0811080116 指導教師：劉芳 目 次第一章 緒論第二章 傅里葉分析的產生與發展第三章 傅里葉變換第四章 在偏微分方程中的應用 結論第一章 緒論 傅里葉分析是分析學中的一個重要分支，在數學發展史上，雖然早在18世紀初期，就有關三角級數的論述已在D.Bernoulli，DAlembert，L.Euler等人的工作中出現，但真正重要的一步是法國數學家Fourier邁出的，他在著作熱的解析理論中，系統地運用了三角級數和三角積分來處理熱傳導問題。 此后，眾多數學家，如Dirichlet，Riemann， Lipschitz以

2、及Jordan等都曾從事于這一領域的研究，不僅彌補了Fourier工作中的不足，而且極大地發展了以Fourier命名的級數理論，擴大了傅里葉分析的應用范圍，還使得這一理論成為研究周期現象（各種振動，行星運動，波動與通訊等）不可缺少的工具。第一章 緒論結構安排傅里葉分析的產生傅里葉分析的發展傅里葉變換的定義傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的主要類型傅里葉變換應用于波動方程傅里葉變換應用于非線性偏微分方程結論第二章 傅里葉分析的產生法國科學家傅里葉由于當時工業上處理金屬的需要，從事著熱傳導的研究。1807年向巴黎科學院呈交的題為熱的解析理論在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從

3、而提出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法第二章 傅里葉分析的產生01(cossin)2kkkaakx bkxikxkkc e 實型三角級數，其中 ， ， 是實數列0aka(0,1,2,)kb k 復型三角級數，其中 是復數列(0, 1, 2, )kc k 1,cos ,sin ,cos,sin,xxkxkx三角函數系(0, 1, 2,)ikxek 三角函數系（復數形式）第二章 傅里葉分析的產生01( )=(cossin)2kkkaf xakx bkx實型Fourier級數1( )cos, 0,1,2,kaf xkxdx k1( )sin, 1,2,kbf xkxdxk實型Fourier級

4、數的系數由公式決定( )=ikxkkf xc e復型Fourier級數1( )( )2ikxkkccff x edx復型Fourier級數的系數由公式決定第二章 傅里葉分析的發展早期發展概況狄利克雷是歷史上第一個給出函數 的傅里葉級數收斂于它自身的充分條件的數學家未得到嚴格的數學論證傅里葉提出任意函數可以用級數表示( )fxDirichlet-Jordan判別法黎曼在用三角級數來表示函數的論文中，為了使更廣的一類函數可以用傅里葉級數來表示，第一次明確地提出了現在稱之為黎曼積分的概念及其性質。對傅里葉系數的積分求解有重要意義第二章 傅里葉分析的發展近代以來的發展概況Lebesgue（勒貝格）積分

5、理論發散級數的求和理論推進了黎曼的工作Fejer（費耶爾）求法Luzin(盧津)猜想Lebesgue積分Lebesgue測度新的求和方法重要的進展復變函數論方法經典的 空間概念pH傅里葉級數與單位圓內解析函數的理論有著非常密切的聯系第二章 傅里葉分析的發展近代以來的發展概況極大函數50年代以后的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣考爾德倫贊格蒙奇異積分理論滿足偏微分方程等許多數學分支發展的需要標志了傅里葉分析進入了一個新的歷史時期研究一類相當廣泛的奇異積分算子0()( ) lim( )x yx yTf xf y dyx y 第三章 傅里葉變換傅里葉變換的基本定義 考慮定義在 的函數，設 稱：為 的F

6、ourier變換。同時、稱為 的Fourier積分。(, ) ( )fLR2( )( )ixtf tf x edxff2( )ixtf t edt第三章 傅里葉變換傅里葉變換的基本性質（1）線性：傅里葉變換是一種線性運算。1122( )() ( )()f tF jf tF j1212( )( )()()af tbf taF jbF j即其中a,b均為常數，其證明只需要根據傅里葉變換的定義既可以得出。第三章 傅里葉變換傅里葉變換的基本性質（2）奇偶虛實性：( )( )f tF則( )()ftF （3）對稱性：( )( ) f tF則( )2()F tf （4）尺度變換性：( )( )f tF則1

7、( )( )f atFaa第三章 傅里葉變換傅里葉變換的主要類型第三章 傅里葉變換連續傅里葉變換 一般情況下，若“傅里葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是連續傅立葉變換。連續傅里葉變換是一個特殊的把一組函數映射為另一組函數的線性算子。不嚴格地說，傅里葉變換就是把一個函數分解為組成該函數的連續頻率譜。離散傅里葉變換 離散時間傅里葉變換是傅里葉變換的一種。它將以離散時間 （其中 ，為采樣間隔）作為變量的函數（離散時間信號） 變換到連續的頻域，即產生這個離散時間信號的連續頻譜 ，值得注意的是這一頻譜是周期的。nTnZ ZT()f nT()iwF e第三章 傅里葉變換快速傅里葉變換 由于加法運算

8、通常比乘法運算快，所以快速算法的思想就是要盡量減少乘法運算。例如ab+ac=a(b+c)，用左式計算要做兩次乘法，而用右式計算則只要做一次乘法。101, 0,1,1NknnkNkaA WnNN由上式計算 時，對每個確定的n，要做N次乘法，總共要做 次乘法。若用一下快速算法（把一些相同的項合并），當 時，就可以把乘法總數由 減少到 。當數很大時，計算速度明顯提高。這種“快速傅里葉變換”的算法是1965年由Cooley-Tukey提出的na2N2mN2N2ln2NN第三章 傅里葉變換傅里葉變換數字信號處理圖像處理密碼學偏微分方程經濟學光學儀器第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用波動方程

9、 波動方程或稱波方程（wave equation）是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。波動方程抽象自聲學，電磁學，和流體力學等領域。 波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡可表達為：關于位置 和時間 的標量函數滿足222( , )ucuf x tt 求解波動方程柯西問題的通解首先限制所涉及的函數都來自一個特定的空間()dS R()():sup()( ),dddx RS RfCRxf xx 考慮d-維波動方程的Cauchy(柯西)問題：22( ,0)( ) ,()( ,0)( )dtuutu xf xf gS Ru xg x其中

10、第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用求解波動方程柯西問題的通解 假設 為該波動方程Cauchy問題的解。我們使用的技巧是對空間變量 作Fourier變換，降低求解的難度。u1,dxx 利用Fourier變換的求導性質，對原偏微分方程兩端做定義為2( )( ),dixdRff x edxR 的Fourier變換，得到關于 的一個常微分方程，易得通解為：t( , )( )cos(2)( )sin(2)utAtBt 其中 ， 是由初始條件決定的關于 的函數。( )A( )B第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用求解波動方程柯西問題的通解再對初始條件進行Fourier變換，得到：

11、在對上式關于 作Fourier逆變換，得到：(2)( , )( )cos(2)( )2tutftg 2(2)( , )( )cos(2)( )2dixRtu x tftged 之后驗證，通過Fourier變換、Fourier逆變換所得的解確實為原方程的解，即解滿足波動方程，亦滿足初始條件第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用實例，1-維波動方程柯西問題1-維的波動方程Cauchy問題可以表示為：2222( ,0)( ) ( ,0)( )tuuxtu xf xuxg x利用上面解出的通式，可以獲得解得表達式：2sin(2)( , )( )cos(2)( )2ixtu xtftged 第

12、四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用實例，1-維波動方程柯西問題利用化簡，得：221cos(2)()2itittee 22sin(2)1()24i ti tteei 11( , )( ()()( )22x tx tuxtf x tf x tg ydy 即為DAlembert公式。第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用非線性偏微分方程簡述 所謂的非線性偏微分方程，是指在偏微分方程中含有未知函數和（或）未知函數導數的高次項，而不能寫成如下線性形式（以兩個自變量的二階線性微分方程為例）的微分方程。( , )2 ( , )( , ) ( , )( , )( , )( , )xxxy

13、yyxyAx yuBx yuCx yuDx yuEx yuF x yu f x y主要類型完全非線性半線性方程擬線性方程第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用求解原理 以非線性薛定諤方程為例，非線性薛定諤方程在 （1+1）維可寫為：2222uiui uuzx假設其解的形式為:( , )( )i zu x zNU x e則方程可化為:2222102UUN U Ux傅里葉變換傅里葉逆變換( )( )itxF tf x edx( )( )itxf xF t e dt第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用求解原理對方程兩邊同時對 x 做傅里葉變換，可得：22221()02itxit

14、xUUN U U e dxe dxx應用傅里葉變換的微分性質,可得：222()( )2itxNUU edxF tt222( )2( )itxitxtNU U edxF t e dtb xU第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用數值模擬 利用快速傅里葉變化的方法，設試探解為高斯函數: 首先模擬N=1的解，這種情況的解析解為：22xUNe1( )sec ( ),2U xh x第四章 在偏微分方程中的應用在偏微分方程中的應用從左上小圖中可以明顯看出解析解和數值解兩條曲線基本重合；右上小圖顯示橫向上各點的傳播常數 ；下方小圖顯示迭代次數與誤差的變化，可以看出當迭代次數大于20次后隨迭代次數增

15、加，誤差在不斷縮小，并趨近于0。當N=1.5時，左上小圖顯示孤子解與解析解相吻合，右上小圖表示傳播常數也與解析解的傳播常數基本相一致；下方小圖顯示迭代次數與誤差的變化，可以看出隨迭代次數增加，誤差在不斷縮小，并趨近于0。當N=2時，左上小圖顯示孤子解與解析解相吻合，右上小圖傳播常數也與解析解的傳播常數 ；下方小圖顯示迭代次數與誤差的變化，可以看出隨迭代次數增加，誤差在不斷縮小，并趨近于0。第四章 傅里葉分析在偏微分方程中的應用傅里葉分析在偏微分方程中的應用 由于技術問題N2時,無法用matlab顯示出，目前還不清楚原因。綜上所述，應用傅里葉變換得到了一種比較簡單的迭代方法，而其數值模擬結果也顯示解析解和數值解基本吻合，結果也能比較快速的收斂并且隨著維數的增加迭代次數也在減少。結論 對于Fourier分析的意義和作用，應當給予相當高度的評價。Fourier分析隨著在自身領域的不斷發展，同時，也影響著其他廣闊的學科領域，從另一個角度看，也是對