1、概率論基礎復旦第二章2.1 條件概率條件概率 在第一章計算任何事件的概率都是在實驗條件下考慮問題，而在實際中，人們在考慮某一事件概率問題時不僅要考慮實驗條件，而且還要考慮一些附加條件，如在一個事件發生下考慮另一個事件發生的概率。我們稱前者為無條件概率，后者稱為條件概率。).(,BAPABBBA記為的概率即使條件概率，發生下，事件件在事的概率不為零，那么，為兩個事件，事件設 由于無條件概率和條件概率實在不相同條件下所確定的概率，因此，一般情況下二者的值是不盡同的，它們是不可比的，只能針對不同的情況考慮它們的大小關系。下面通過一個實例來看看二者間的差異。 例例2.1 假定生男生女是等可能。若已知某

2、一個家庭有倆孩子，求這個家庭有一個男孩，一個女孩的概率；若已知這個家庭至少一個女孩，求這家有一個男孩，一個女孩的概率。 解：解：設 表示“這個家庭有一個男孩，一個女孩”； 表示“這個家庭至少一個女孩”。 于是，所求概率分別AB)(, )(BAPAP由題意知樣本空間和事件分別可表示為 所以有 ),(), ),(),(),(), ), ),(女女男（女女男男女女男女（女男（女女）（男男男BA32)(21)(BAPAP過程可進行如下轉換中注意：求解例)(2.1BAP)()(4/34/232)(BPABPBAP 雖然，這個公式是以一個特例形式引入的，但可以證明，對第一章所講的確定概率方法，該公式總是成

3、立的。 條件概率的概念條件概率的概念發生的條件概率。發生條件下事件為事件并稱，記則對于任意，而且是一個概率空間，設ABBAPBPABPBAPABPBPDef)()()()(0)(),()(1)()4(BAPBAP)()()()()5(CABPCBPCAPCBAP等概率性質均成立。 概率 與概率 的區別和聯系 聯系：它們都是在 發生下求概率。 區別：求 時，事件 同時發生； 而求 時，事件 先發生，事件 后發生；)(ABP)(BAPBA,)(ABPBA,)(BAPBA 條件概率的性質條件概率的性質 條件概率具有概率的一切性質，譬如：0)() 1 (BAP1)()2( BP11)()()3(iii

4、iAPBAP 求 時，樣本空間為 ；而求 時，樣本空間為 ，即樣本空間發生變化，如圖所示。 一般總有 成立，但 與 不可比 3. 條件概率的計算 一般利用條件概率的定義轉化為無條件概率計算； 對于具有等可能性的古典概型、幾何概型采用壓縮樣本空間法計算，即用下式計算：)(ABP)(BAPB()()P A BP AB AB()P AB(|)P A B圖B A)()()(BABBAPB發生條件下，A發生的次數或度量 B發生的次數或度量)(BAP)(AP 例例2.2 某種動物出生之后能活到20歲的概率為，能活到25歲的概率為， 已知現有一只年齡為20歲的這種動物，求其能繼續活到25歲的概率。 解：解：

5、設 表示“該動物能活到20歲”； 表示“該動物能活到 25歲”。 顯然有 ，由題設條件知： 由于有 ，由條件概率的定義有即年齡為20歲的這種動物，能繼續活到25歲的概率為。 注意：該題是一個典型的利用條件概率定義式將條件概率計算問題轉化為無條件概率的解題方法。 應用這種方法計算條件概率時，一定要注意概率 與概率 的區別和聯系，而且概率 和概率 要容易求算。ABAB ( )0.7, ( )0.56P AP BBAB ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP A)(ABP)(BAP)(ABP)(AP 例例設100件產品中有70件一等品，25件二等品，規定一、二等品為合格品。

6、從中任取1件，試求解下列問題： （1）取得一等品的概率； （2）已知取得的是合格品，其是一等品的概率。 解：解：設 表示取得一等品， 表示取得合格品，則有 （1）因為100 件產品中有 70 件一等品，所以 （2）所求概率為 ，由古典概型易知 從而由條件概率定義有 注意：該題的第二問也可以采用壓縮樣本空間法求解。AB70( )0.7100P A 10095)(,10070)(BPABP)(BAP7368. 09570)()()(BPABPBAP 例例2.4 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗鈔機上檢驗發現是假鈔。求所抽出2張都是假鈔的概率。 解：解：設 表示“抽出的

7、2張都是假鈔”； 表示“抽出的2張中至少有1張假鈔”。 顯然有 ，所求概率為 。 由古典概型有 所以ABBABAP220115152522025)()(CCCCBPCCAPABP8510)()(115152525CCCCBPABPBAP例例2.5 體檢發現，某地區自然人群中，每10萬人內平均有40人還原發性肝癌，有34人甲胎球蛋白含量高，有32人患原發性肝癌又出現甲胎球蛋白含量高。現從這一地區隨機抽查一人，發現其甲胎球蛋白量高，求其患原發性肝癌的概率有多大？若在這個人群中，已知一人患原發性肝癌，求該人甲胎球蛋白含量高的概率？)(),(ABPBAPBA于是，所求概率分別為含量高”表示“所抽人甲球

8、蛋白肝癌”表示“所抽人患原發性解：設8 . 0)()()(,9412. 0)()()(00032. 0)(,00034. 0)(,0004. 0)(APABPABPBPABPBAPABPBPAP由題設知 概率乘法公式概率乘法公式 利用條件概率定義容易獲得積事件概率的計算公式，即概率乘法公式 設 為隨機試驗 的任意兩個事件，且滿足 和 ，則有 概率乘法公式可以推廣到任意有限個事件積情況： 設 任意 個事件，且 ，則必成立： 個事件的概率乘法公式并不只有上面這種形式。 事實上，對于 事件 ，這樣形式的公式一定有 個。請大家對 的情況寫出這些公式，并注意觀察其規律。BA,E0)(AP0)(BP0)(

9、)()(0)()()()(BPBAPBPAPABPAPABPnAAA,21n121()0nP A AA)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPnnnAAA,21! n3n 例例2.6 在一批產品中，甲廠生產的產品占60%，根據以往的經驗，甲廠產品的次品率為10%，現從這批產品中隨意的抽取一件，求該產品是甲廠生產的次品的概率。 解：解：設 表示事件“產品是甲廠生產的”； 表示事件“產品是次品”。 由題設知 概率的乘法公式有 例例1.21 某人打算外出旅游兩天, 需要知道兩天的天氣情況，據預報，第一天下雨的概率為，第二天下雨的概率為，兩天都下雨的概率為0

10、.1. 求第一天下雨時，第二天不下雨的概率. 解：解：設 與 分別表示第一與第二天下雨，于是AB%60)(AP%10)(ABP%6%10%60)()()(ABPAPABP1A2A656 . 01 . 06 . 0)()()()()()(121112112APAAPAPAPAAPAAP例例2.7 甲、乙、丙3位求職者參加面試，每人的試題通過不放回抽取方式確定。假設被抽的10個試題卡中有4個是難題卡，抽取按甲先，乙次，丙最后的次序進行。試求解下列事件的概率：（1）甲抽到難題卡；（2）甲沒抽到難題簽而乙抽到難題卡；（4）甲、乙、丙都抽到難題卡。 解：解：設 分別表示“甲、乙、丙抽到難題卡” ， 于是

11、，所求概率分別為 CBA,3018293104)()()()(15494106)()()(52104)(ABCPABPAPABCPABPAPBAPAP全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 在計算較復雜的事件的概率時，根據事件在不同原因或不同情景下發生，將它分解成若干互斥事件的和，進而分別計算概率，然后求和。這就是全概率公式全概率公式所體現的思想，全概率公式是概率論中的一個基本公式，它使一些復雜事件的概率計算問題得以化簡。貝葉斯公式貝葉斯公式則是在已知一事件發生下，重新認識導致該事件發生的原因事件的概率，即有了試驗結果后對原因事件認識的調整。 全概率公式全概率公式 定理：定理：設 為互斥

12、事件完備群， 為任意事件，且 ，則有該公式稱為全概率公式。 證明 因為 為互斥事件完備群，必有 kAAA,21BkiAPi, 2 , 10)(kiiiABPAPBP1)()()(kAAA,21kjijiAAAAAjik, 2 , 1,21 于是有 且有 兩兩互斥，所以有 從證明過程不難看出，全概率公式在較弱的條件下也是成立的。 全概率公式的推廣形式：設 為一組兩兩互斥事件，為任意事件， ， ，則有BABABAAAABBBkk2121)(BABABAk,21kiiinkkkABPAPABPAPABPAPBAPBAPBAPBABABAPBP1112121)()()()()()()()()()()(

13、kAAA,21BiiABkiAPi, 2 , 10)(kiiiABPAPBP1)()()( 例例2.8 為了掌握一支股票未來一定時期內價格的變化，人們往往會去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化?，F在假設經分析估計利率下調的概率為60%，利率不變的概率為40%。人們根據經驗估計，在利率下調的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率。 解：解：設 表示“利率下調”，那么 為“利率不變” ， 表示 “股票價格上漲”。 據題設知 于是有AAB%60)(AP%40)(AP%80)(ABP%40)(ABP64. 040. 040. 0

14、80. 060. 0)()()()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP 例例2.9 設播種用小麥種子中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占，2，1，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率。 解：解：設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是 ，則它們構成互斥完備事件群，又設 表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，于是，由題設條件有則由全概率公式： 4321,AAAAB%1)(%5 . 1)(%2)(%5 .95)(4321APAPAPAP05. 0)(10. 0)

15、(15. 0)(5 . 0)(4321ABPABPABPABP4825. 0)()()(41iiiABPAPBP例例2.10 設甲袋有3個白球2個黑球，乙袋有 4個白球 4個黑球，先從甲袋取出2個球放入乙袋， 再從乙袋取出1個球，求該球為白球的概率。白球。表示從乙袋中取出的是；個白球，個球中恰有表示從甲袋取出的解：設AiiAi2 , 1, 0225232251312125220210)(,)(,)(,CCAPCCCAPCCAPAAA不難計算為互斥事件完備群，且于是有110162110151110140)(,)(,)(CCAAPCCAAPCCAAP2513)()()()()()()(221100

16、AAPAPAAPAPAAPAPAP所以貝葉斯公式（逆概率公式）貝葉斯公式（逆概率公式） 定理：定理：設 為互斥事件完備群， 為任意事件，且 ，則有該公式稱為貝葉斯公式。其中 成為先驗概率， 稱為后驗概率。 由條件概率定義式和全概率公式不難證明此結果。 貝葉斯公式是1763年由 T. B. Bayes 在他的一篇重要文章（該文章是在他死后，由他的朋友發表的）中提出來的。起初該公式并沒有得到應有的重視，直到后來P. S. Gauss 用它推導出“相繼律”才引起了人們的研究興趣，并依次為出發點形成了統計學上重要統計思想貝葉斯統計。貝葉斯公式是先驗概率與后驗概率轉化工具。kAAA,21B0)(, 2

17、, 10)(BPkiAPikiAiBPAPABPAPBAPkiiii, 2 , 1)()()()()(1i)(iAP)(BAPi 例例每箱產品共有10件，在一箱產品中次品件數出現0,1,2件的可能性是均等的。開箱檢驗時，從中依次抽取兩件(不重復)，如果發現有次品，則拒收該箱產品。試計算： （1）一箱產品通過驗收的概率； （2）已知一箱產品通過驗收,則該箱產品中有2個次品的概率。 解：解：設 表示一箱產品中有 件次品， ； 表示一箱產品通過驗收。 于是有 所以有 （1）iAi2 , 1 , 0iB2102822102910)()(1)(2 , 1 , 031)(CCABPCCABPABPiAPi

18、807. 0)()()(20iiiABPAPBP （2） 例例2.12 由于隨機干擾，在無線電通訊中發出信號“”，收到信號“”，“不清”，“-” 的概率分別為；發出信號“-”，收到“”，“不清”，“-”的概率分別為。已知在發出的信號中，“”和“-”出現的概率分別為和， 試分析當收到信號“不清”時，原發信號是“”還是“-”的可能性大？ 解：解：設 表示原發出的信號“”； 表示原發出的信號“-”； 表示收到信號“不清”。于是有257. 0)()|()()|(222BPABPAPBAP1A2AB2121,AAAAB4 . 0)(, 6 . 0)(21APAP16. 0)()()()()(2211AB

19、PAPABPAPBP41)()()()(43)()()()(222111BPABPAPBAPBPABPAPBAP12()0.2()0.1P B AP B A 2.2 事件的獨立事件的獨立 事件獨立的概念事件獨立的概念 先看一個例子 一個盒子中有只黑球、只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。 設 表示“第一次摸到黑球”； 表示“第二次摸到黑球”。 容易計算得： （1） （2） 從例子可以看出：第一次抽到黑球并沒有影響到第二次抽到黑球的概率，即在這個試驗中，有 。AB6()0.610P B A ( )0.6P B )()(BPA

20、BP Def 設 為任意兩個隨機事件，如果滿足則稱事件 與事件 統計獨立，簡稱獨立。，簡稱獨立。 由定義顯然有： 事件 與任意事件 相互獨立。 如果 ，則有 事件 與事件 相互獨立 事件 相互獨立的實質是： “ 事件 發生不影響事件 發生的概率?！?事件獨立性的判定事件獨立性的判定 （1）利用定義判定； （2）利用 或 判定； （3）利用問題的實際意義來判定。BA,)()()(BPAPABPAB,A0)(APAB)()(BPABPBA,AB)()(BPABP)()(APBAP定理：定理：下列四組事件具有相同的獨立性 ； ； ； ；證明：證明：這里只證明 相互獨立 相互獨立。 先證 相互獨立 相

21、互獨立。 因為 ，且 相互獨立， 所以由概率的性質有 即說明 相互獨立。 再證 相互獨立 相互獨立。 因為 ，且 相互獨立， 所以由概率的性質有 即說明 相互獨立 所以 相互獨立 相互獨立。 BA,BA,BA,BA,BA,ABABA)()()()()()()()()(BPAPBPAPAPABPAPABAPBAPBA,BA,BA,BA,BA,BA,BAAABBA,)()()()()()()()()(BPAPBPAPAPBAPAPBAAPABPBA,BA,BA,BA, 有限多個事件獨立性（事件獨立性的推廣）有限多個事件獨立性（事件獨立性的推廣） Def 設 任意 個事件，如果對所有可能組合滿足則稱

22、事件 相互獨立。如果 只滿足 ，則稱 兩兩相互獨立。 顯然， 相互獨立必兩兩相互獨立，但兩兩相互獨立未必相互獨立。 例例2.13 設一均勻堆成的四面體，第一面涂為紅色，第二面涂為黃色，第三面涂為籃色，第四面紅黃藍三種顏色各涂一部分。旋轉上拋，下落到地面后，觀察接觸地面面的nAAA,21n)()()()()()()()()()()(2121knkjikjijijiAPAPAPAAAPAPAPAPAAAPAPAPAAP2nC3nCnnCnAAA,21nAAA,21)()()(jijiAPAPAAPnAAA,21nAAA,21顏色。記 表示接觸地面面有紅色； 表示接觸地面面有黃色； 表示接觸地面面有

23、藍色。試判斷的獨立性。 解：解：由題設條件與古典概率定義有 從而 所以， 兩兩相互獨立。 又因為有 所以， 相互不獨立41)(41)()()(21)()()(321323121321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP1A2A3A)()()()()()()()()(323231312121APAPAAPAPAPAAPAPAPAAP321,AAA)(4181212121)()()(321321AAAPAPAPAP321,AAA例例2.14 設有一個均勻8面體，其第1面紅、白、黑色個涂一部分，第2、3面紅、白色個涂一部分，第4面全部涂為紅色，第5面全部涂為白色，第6、7、8面全部涂黑色，將其旋轉

24、上拋，落到地面后觀察與地面接觸面上的顏色。若以 表示接觸地面面有紅色， 接觸地面面有白色， 接觸地面面有黑色。試確定三個事件的獨立性。1A2A3A解：解：由題設條件與古典概率定義有2184)()()(321APAPAP)()(4183)(2121APAPAAP說明三個事件不獨立，但有)()()(81)(321321APAPAPAAAP 事件獨立性與概率計算事件獨立性與概率計算 從事件獨立性定義立刻可以看出：若能判定事件是獨立的，則許多復雜事件概率計算就可以大大簡化。一組相互獨立事件中至少有一個事件發生的概率的計算)()()(1)(1)(1)(,21211121nnniiniinAPAPAPAA

25、APAPAPAAA件概率計算：相互獨立，則它們和事若系統可靠性計算在生產實踐中，人們往往希望知道一個系統的可靠性，即系統正常運行的概率。如果能判定構成系統的元件能否正常工作是獨立的，且知道各個元件的可靠性，就不難計算系統可靠性。 例例2.15 一批玉米種子在某地的土壤及氣候條件下，出苗率為。如農民采用穴播法播種，為了保證每穴99%以上有苗，問每穴至少播多少粒種子？ 解：解：設每穴至少需播 粒種子， 表示第 粒種子出苗， 表示每穴有苗，則有 相互獨立 于是有 ，即有 所以有 ，解得 。niAiB8 . 0)()()(2121nnAPAPAPAAABnAAA,21%99)()()(1)(1)(1)

26、(21212121nnnnAPAPAPAAAPAAAPAAAP01. 0)()()(21nAPAPAP01. 02 . 0n01. 0lg2 . 0lgn38614. 2n 例例2.16 加工某一種零件需要經過三道工序，設三道工序的次品率分別為2%，1%，5% ，如果各道工序之間相互不影響。求加工出來的零件的次品率。 解：解：設 表示加工的 道工序出現次品， ； 表示加工出來的產品是次品。于是有 ， 相互獨立。 （解法一） （解法二）0783. 0)()()()()()()()()()()()()()(321323121321321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAAAPBPi

27、Ai3 , 2 , 1iB321AAAB%5)(%1)(%2)(321APAPAP321,AAA0783. 0)()()(1)(1)()(321321321APAPAPAAAPAAAPBP例例設系統由可靠性完全相同的若干元件組裝而成。已知個元件的可靠性為 ，現有如圖所示的甲乙兩個系統，試分析比較兩系統的可靠性。 r1122nn甲1122nn乙。于是有系統可靠性分別記為；甲乙兩正常工作分別記為解：設甲系統各條通路乙甲RRGG,21nnnnrrrrrrrrRrrGGPGPGPGGPRrGPGP)2()2()2)(2(2)()()()()()(2222221212121乙甲2(2)2nnnrrRR乙

28、甲由于當時，總有所以，即乙系統比甲系統可靠。 復合試驗與試驗的獨立性復合試驗與試驗的獨立性).,(,)()2()1(2121)()2(22)1(11nnnnnnEEEEEEEDef，其樣本點為試驗。其樣本空間為成為復合所形成的試驗則依次進行試驗的樣本空間為，試驗，空間為的樣本，試驗的樣本空間為設試驗。黑反白反，紅反黑正白正紅正個球，其樣本空間為拋擲一枚硬幣，再摸一為先，則復合試驗黑白紅觀察顏色樣本空間為球的袋子摸出一個球的是從裝有紅白黑三個，試驗反正空間為是拋擲一枚硬幣，樣本設試驗例 ),(),(),(),(),(),(,42.12211EEE是相互獨立的。則稱隨機試驗均成立對于任意如果。其樣

29、本空間為的復合試驗所形成，則試驗，其事件域為空間為的樣本，試驗，其事件域為的樣本空間為，試驗，其事件域為的樣本空間為設試驗nnnnnnnnnnEEEAPAPAPAAAPAAAEEEEEEEDef,)()()()(,.,21)()2()1()()2()1()(2)2(1)1(2121222111驗。試驗是所謂的貝努利試單的重復獨立為重復獨立試驗。最簡稱復合試驗是相互獨立，則，且如果個試驗一定獨立。立，則其中個試驗獨知：由試驗獨立性定義和EEEEnmmnninni,)(, 2 , 1,21212.3 貝努利試驗與直線上隨機游走貝努利試驗與直線上隨機游走貝努利概型貝努利概型在實踐中，人們又是總是關心

30、實驗中某一事件A是否發生。例如產品質量抽樣檢測中注意的是否抽到的次品，在擲硬幣試驗中注意的是否出現正面等。這種問題歸結在以下模型下：,AA事件域取為并稱試驗出現事件A為“成功”，反之稱為“失敗”。這種只有兩個結果的試驗為貝努利(Bernoulli)概型。 貝努利概型可以作為許多實際問題抽象模型。例如：在信息傳輸中，既要傳輸英文字母，又要傳輸其他符號，而我們只關心字母在傳輸中的比例，而不區分傳輸的具體是什么字符，則就可以把傳輸字符看作成功從而將這個問題歸結在貝努利概型下討論。 重貝努利概型重貝努利概型 Def 設 為一隨機試驗，其僅有結果 和 ，將 獨立重復 次形成隨機試驗 ，則稱 為 重貝努利

31、概型。 貝努利概型是一類特殊的隨機試驗，其特點是： （1）是由簡單試驗復合而的復合雜試驗； （2）基本試驗結果是 和 部分或全部形成的長度為 的序列，樣本點數為 。 下面以3重貝努利概型為例說明其特點以及與其有關的概率問題。 樣本空間： 最關心的問題： 3重貝努利概型 的一次試驗中， 出現 次的概率，也即重復3次 ，出現 次 的概率。 顯然， 得不同取值為0,1,2,3，所對應的基本結果為： 當 時，就是基本結果 發生；n0EAA0EnEEnAAnn2)(),(),(),()(),(),(),(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAEAk0EkAk0k)(AAA當 時，就是基本結果

32、或 或 發生；當 時，就是基本結果 或 或 發生；當 時，就是基本結果 發生。 所以，若令 ，則有 不難看出以上概率計算時可寫為 二項概率式二項概率式 定理：定理：設隨機試驗 為 形成的 重貝努里概型， 的結果有 和 且 ，則試驗 中 發生 次的1k)(AAA)(AAA)(AAA2k)(AAA)(AAA)(AAA3k)(AAA3003 03113 13223 233333 33(0,3,)()( ( )(1,3,)()()()(2,3,)()()()(3,3,)()( ( )bpP AAAP AC p qbpP AAAP AAAP AAAC p qbpP AAAP AAAP AAAC p qb

33、pP AAAP AC p qqAPpAP)()(33( ,3,)0,1,2,3kkkb kpC p qkEn0E0EAAqAPpAP)(,)(EAk概率為 ， 并稱該公式為二項概率式。 二項概率式是處理重復試驗概率問題的有效工具。 例例2.15 臨床統計表明增效聯磺片對輕度上呼吸道感染的治愈率為80%，現有10位患輕度上呼吸道感染的患者服用了此藥，求10位患者中至少有6位患者病愈的概率。 解：解：設 表示10位患者中有 為患者病愈； 表示10位患者中至少有6位患者病愈。于是有 且 兩兩互斥 從而有 即10位患者中至少有6位患者病愈的概率約為97%( , ,)0,1,2,kkn knb k n

34、pC p qkniAiB1010()0.8 0.20,1,2,10kkkiP ACk1076AAAB97. 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 0)()()()()(0101010377104661010761076CCCAPAPAPAAAPBP10, 2 , 1iAi 例例2.16 某車間一個工人同時看管4臺同類型的機器。已知一段時間內4臺機器中至少1臺正常工作的概率為，試求在這段時間內機器需要維護修的概率和4臺機器中最多1臺處于維修狀態的概率。 解：解：設 表示4臺機器中有 臺機器需要維修 ； 表示4臺機器中最多1臺處于維修狀態； 表示這段時間內機器需要維護修的概率

35、。 于是有 所以有 解得iAi4 , 1 , 0 iBp4 , 3 , 2 , 1 , 0)1 ()()(444kppCkPAPkkki0016. 09984. 01)(1)(304iiAPAP9984. 0)(30iiAP0016. 0)()1 (40444APppC2 . 0p8192. 08 . 02 . 08 . 02 . 0)()()(3114400410CCAPAPBP相繼相繼貝努利概型貝努利概型貝努利試驗中，人們有時關心的是首次成功出現在第k次試驗的概率。首次成功出現在第k次試驗對應的事件AAAAK-1首次成功出現在第k次試驗的概率, 2 , 1 , 0)1 ()()(1kppA

36、AAAPkpk這一模型給出了等待事件A出現等待了k次試驗的概率。這種概率規律稱為幾何分布幾何分布。下面是一個模型化例子： 一個人要開門，它共有n把鑰匙，其中僅有一把能打開門。他隨機地選取一把鑰匙開門，這人在第s次能把門打開的概率是多少？不難求算出nknnkpk, 2 , 1 , 01)11 ()(1 貝努利試驗中，人們有時也關心的是要多長時間才會出現第r次成功的概率。其概率。次試驗，并以次成功發生在第第次試驗，則顯然有次成功發生在第設第),(;prkfkrCrXXrk, 1,)1 (),(11111rrkppCprkfkrkrkCrkrrkk次試驗成功。于是失敗，而第次次成功，次試驗中有發生當

37、且僅當前這一模型給出了要多長時間才會出現第r次成功的概率。這種概率分布規律稱為巴斯卡分布巴斯卡分布。 這個分布與著名的分賭注問題有關。這一模型也可以解決巴拿赫火柴盒問題，請大家自己閱讀課本p80. 直線上的隨機游動直線上的隨機游動動。運動稱為直線上隨機游種動一個單位，質點的這向坐標軸正向或負向移及概率生變化，分別以概率機作用，使位置發生發隨它總是受到一個外力的，以后每隔單位時間，數為整處時，它在初始位置頓，在初始時刻它只能在整數點上停軸上有一個質點，假定設ppaatxDef1)(0無限制隨機游動有吸收壁隨機游動分類分類稱為對稱隨機游動時當pp1直線上無限制隨機游動直線上無限制隨機游動為便于討論

38、，不是一般性，假定質點的初始位置在原點。就不可能成立。必須同奇偶，否則與是整數，所以，因為不難解的發生，則有數。于是次游動中向左移動的次在前數，次游動中向右移動的次表示質點在前設的概率。時的位置，我們來確定記質點在時刻以kSknxknyknxkyxnyxkSnynxkSntSnnnn2,20222kSPknqpCkSPknkSnknknknnnn奇偶相異時時，與當同奇偶時，與當成立的概率為從而，貝努利概型推廣與多項分布貝努利概型推廣與多項分布二項分布計算與泊松分布二項分布計算與泊松分布二項分布計算與性質二項分布計算與性質二項分布計算nkppCpnkbknkkn, 1 , 0)1 (),(nkpnknbpnkb, 1 , 0)1 ,(),(顯然，對二項分布成立下式因此，對于二項分布人們僅編制了5 . 0p的表供給算用。例例2.20 一大批電子管有10%已損毀?，F從這批電子管中隨機選取20只組成電路，問這個電路能正常工作的概率有多大？ 解：解：由題設所選電子管全部完好，電路才能正常工作。而一個電子管完好的概率為，由n重貝努利概型這個電路能正常工作的概率為2002020209 . 01 .