1、 第七屆全國大學生數學競賽決賽試題 答案（非數學類） 2016年3月27日一填空題（5×6分=30分）1. 程微分方的通解是_解：令,則，則，積分得到，即，積分得（為常數）.2. 設D:，則積分的值是_解：（對稱性和極坐標）. 3. 設二階連續可導，且，若 ， 則解：，所以，則得4. 設，是n階方陣A的特征值，為多項式，則矩陣的行列式的值為_解：5. 極限的值為_解：，為整數，所以結果。編者注：填空題考察基礎，簡易，穩扎穩打，唾手可得！2 （本題滿分14分）設在全平面上有連續的偏導數，試證明：曲面的所有切平面都交于點.證明：記，求其偏導數得到其法向量： -6分（得分比高中數學聯賽都容

2、易)為方便取曲面的法向量.記為曲面上的點，為切面上的點，則曲面上過點的切平面方程為-12分容易驗證，對任意，都滿足上述切平面方程.結論得證。編者注：此題入手容易，拿分也容易，主要的就是一個思路，不在于過多的計算，恰到好處的體現了一個很淺顯但用數學化的語言描述的一個證明或者定理。3 （本題滿分14分）設在上連續，試證明：證明：由在上連續，知在可積.令.則.-5分根據要證明試的左邊，則-14分 得證. 編輯者注：此題屬于送分題，很容易上手，非常基礎但不失大氣！四（本題滿分14分）設A是矩陣，B是矩陣，C是矩陣，試證明：R(AB)+R(BC)-RB)R(ABC),其中R(X)表示矩陣R的秩.證：即證

3、明R(AB)+R(BC)R(ABC)+R(B)=R -3分由于 = -7分 = -10分且 ， ， 可逆，所以R=R R(AB)+R(BC) -14分五（本題滿分14分）設，n為正整數.（1） 若（2） 設p為實數，討論級數的絕對收斂性和條件收斂性.編輯者注：第一問送分題，不予置評；第二問就是高中的分類討論思想，注意其區別性，掌握好概念，也有放縮的意蘊，只要基礎扎實，得滿分不是問題.解：（1）= -6分（2） 由于<<,所以0<<1,.因此故.根據的取值不同，分類討論當p>1時，由于收斂，所以絕對收斂.-10分當0<p1時，由于單調減少，并趨近于0，由萊布尼

4、茲判別法，知收斂.而發散，所以是條件收斂的.當0時，則1，由級數收斂的必要條件可知，是發散的. -14分六（本題滿分14分）設和在空間上有連續偏導數，設上半球面，方向向上，若對任何點和，第二型曲面積分 試證明：.證明：設上半球面的底平面為,方向向下，和圍成的區域記為，由高斯公式得 -4分由于底平面為負面，所以，再由題設條件得 注意到上試對任何r>0都成立，由此證明反證法：若不然，設由于.而當 ，因此左端為一個二階的無窮小.類似地，當時一個三階的無窮小，而當，該積分趨于0的階高于3.因此式右端階高于左端，從而當r很小，則 ，這與（*）式矛盾. -10分因此在任何點都有,故=0.帶入（*）式得 重復前面的證明可知 .由得任意性知.編輯者注：可以說這道題證明點細微，用到反證法這一重要思想，通過比較階次的高低來比較大小，這應該是我們平常不是很注意到的，在這道題中恰恰得到了很好的體現。細致推理，拿10分左右不是問題，滿分也未嘗不可.總： 從本屆試題看出，填空題沒有啥大變動之處，解答題新增了空間幾何問題，題都不是很難，對于曾經參加過全國高中數學聯賽的學生來說，這些題相應于一個認識階段來看，不是很難。考察基礎，但卻能體現厚重基礎，思維清晰的良好素養.估計起碼參加這個決賽的起碼獲得70分左右，也考慮到大學學生事情繁雜，沒有多大精