1、第1章波函數與波函數與SchrdingerSchrdinger方程方程 1E h,h p并稱之為物質波并稱之為物質波.E與動量為與動量為 和能量為和能量為 的粒子相應的波的波長的粒子相應的波的波長 和頻率和頻率 為為p1.1.1 實物粒子的波動性實物粒子的波動性0m 在在Planck-Einstein的光量子論（光具有的光量子論（光具有波粒二波粒二象性象性）的啟發下，面對）的啟發下，面對Bohr的原子的量子論取得的的原子的量子論取得的成功和碰到的困難，成功和碰到的困難，de Broglie(1923)提出了實物粒提出了實物粒子（靜質量子（靜質量 的粒子，例如電子），也具有波的粒子，例如電子），

2、也具有波粒二象性粒二象性（wave-particle duality）的假設的假設.即即 為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現的量子特征，先對比一下用經典粒子（例如子的量子特征，先對比一下用經典粒子（例如子彈）與經典波（例如聲波）來做類似的雙縫實驗彈）與經典波（例如聲波）來做類似的雙縫實驗的結果的結果。 粒子的雙縫干涉是最直觀地展現粒子的雙縫干涉是最直觀地展現波粒二象性的實驗波粒二象性的實驗,也是量子力學中也是量子力學中最難理解的現象最難理解的現象.We can not explain how it works; We will just tell yo

3、u how it works.1.3(a)圖圖 中，一挺機槍從遠處向靶子進行點射，機槍與中，一挺機槍從遠處向靶子進行點射，機槍與靶子之間有一堵子彈不能穿透的墻，墻上有兩條縫靶子之間有一堵子彈不能穿透的墻，墻上有兩條縫.當當只開縫只開縫 時，靶子上子彈的密度分布為時，靶子上子彈的密度分布為 . 1.3 a 1x1 當雙縫齊開時，經過縫當雙縫齊開時，經過縫 的子彈與經過縫的子彈與經過縫 的子的子彈，各不相干地一粒一粒地達到靶上，所以靶上子彈，各不相干地一粒一粒地達到靶上，所以靶上子彈密度的分布簡單地等于兩個密度和彈密度的分布簡單地等于兩個密度和21 1212xxx子彈經過縫子彈經過縫 的運動軌道的

4、運動軌道, 與縫與縫 存在與否，存在與否，并無關系并無關系. 1 2 2 1 2x2當只開縫當只開縫 時時,靶上子彈的密度分布為靶上子彈的密度分布為 ；結論結論1.3(b)圖圖 給出聲波的雙縫干涉圖像給出聲波的雙縫干涉圖像. 表示一個具有表示一個具有穩定頻率穩定頻率 的聲源的聲源,聲波經過一個具有雙縫的隔音板聲波經過一個具有雙縫的隔音板,在它后面有一個在它后面有一個“吸音板吸音板”,到達板上的聲波將被吸到達板上的聲波將被吸收收,并把聲波強度分布表示出來并把聲波強度分布表示出來. 1.3 bS1212III當只開縫當只開縫 時，顯示出聲波強度分布用時，顯示出聲波強度分布用 描述描述.當當只開縫只

5、開縫 時時,強度分布用強度分布用 描述描述.當雙縫齊開時，當雙縫齊開時，強度分布用強度分布用 描述描述.1 1Ix 2Ix2 12IxBA當只開一條縫時聲音很強的地方（例如當只開一條縫時聲音很強的地方（例如 點和點和 點）點）,在雙縫齊開時在雙縫齊開時,聲音可能變得很弱聲音可能變得很弱.實驗表明實驗表明原因是由于出現了聲波的干涉現象原因是由于出現了聲波的干涉現象.下面通過對其干涉項的研究下面通過對其干涉項的研究,來具體找出經典來具體找出經典和量子的區別和量子的區別! 22121221h xhxh x hxhx hx 21212Ixhxhx 1212IxIxIxIx干涉項 2由于干涉項的影響，經

6、典波的強度分布與經典粒由于干涉項的影響，經典波的強度分布與經典粒子的密度分布大不相同子的密度分布大不相同. i22ethx設分別打開縫設分別打開縫 和縫和縫 時的聲波用時的聲波用 和和 描述，雙縫齊開時的聲音則用描述，雙縫齊開時的聲音則用 描述描述 ，因此聲波強度分布，因此聲波強度分布為為1 i21ethx2 i212ethxhx波的相干疊加性波的相干疊加性人們可以設想，如在圖人們可以設想，如在圖 所示實驗中，用所示實驗中，用 分子束來代替聲波，則觀測到的雙縫干涉圖像應分子束來代替聲波，則觀測到的雙縫干涉圖像應該沒有什么差異該沒有什么差異.但此時波的強度是代表被測到的但此時波的強度是代表被測到

7、的 60C 分子的計數單位時間 1.3 b60C人們應如何理解在干涉實驗中人們應如何理解在干涉實驗中 分子所展現出的這種波粒二象分子所展現出的這種波粒二象性呢性呢？60C 人們對物質粒子波動性的理解，曾經經歷過一人們對物質粒子波動性的理解，曾經經歷過一場激烈的爭論，包括波動力學創始人場激烈的爭論，包括波動力學創始人Schrdinger, de Broglie等在內的一些人，對于物質粒子波動性等在內的一些人，對于物質粒子波動性的見解，都曾經深受經典概念的影響，他們曾經把的見解，都曾經深受經典概念的影響，他們曾經把電子波理解為電子的某種實際結構，即看成三維空電子波理解為電子的某種實際結構，即看成三

8、維空間中連續分布的某種物質波包，因而呈現出干涉與間中連續分布的某種物質波包，因而呈現出干涉與衍射等現象，波包的大小即電子的大小，波包的群衍射等現象，波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度速度即電子的運動速度.1.1.2 波粒二象性的分析波粒二象性的分析 522dd0ddgvkkm2= k2m=2k 3稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。例如，在例如，在非相對論情況非相對論情況下，自由粒子能量下，自由粒子能量 利用利用de Broglie關系，可得關系，可得2E= p2mddgvkk mp mv 4所以波包的群速度（見附錄所以波包的群

9、速度（見附錄 ）為）為A1即經典例子的速度即經典例子的速度.但由于但由于 依賴于依賴于gvk自由粒子的物質波包必然要擴散自由粒子的物質波包必然要擴散,即使原來的波包即使原來的波包很窄很窄,在經歷一段時間后在經歷一段時間后,也會擴散到很大的空間中也會擴散到很大的空間中去去;或者形象地說或者形象地說,隨時間的推移隨時間的推移,粒子將越來越粒子將越來越“胖胖”.這與實驗是矛盾的這與實驗是矛盾的.物質波包的觀點顯然夸大了波動性一面物質波包的觀點顯然夸大了波動性一面,而實際而實際上抹殺了粒子性的一面上抹殺了粒子性的一面,是帶有片面性的是帶有片面性的。與物質波相反的另一種看法是與物質波相反的另一種看法是:

10、波動性是由于大波動性是由于大量電子分布于空間形成的疏密波量電子分布于空間形成的疏密波.它類似于空氣它類似于空氣振動出現的縱波振動出現的縱波,即由于分子密度疏密相間而形即由于分子密度疏密相間而形成的一種分布成的一種分布.這種看法也與實驗矛盾這種看法也與實驗矛盾. 實際上可以通過做這樣的電子衍射實驗實際上可以通過做這樣的電子衍射實驗,讓入射讓入射電子流極其微弱電子流極其微弱.電子幾乎一個一個地通過儀器電子幾乎一個一個地通過儀器.但但只要時間足夠長，底片上仍將出現衍射花樣只要時間足夠長，底片上仍將出現衍射花樣.這表明這表明電子的波動性并不是很多電子在空間聚集在一起時電子的波動性并不是很多電子在空間聚

11、集在一起時才呈現的現象才呈現的現象.單個電子就具有波動性單個電子就具有波動性.事實上事實上,正是正是由于單個點在具有波動性由于單個點在具有波動性,才能理解氫原子（只含一才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象樣一些量子現象. 因此因此,把波動性看成大量電子分布于空間所形成把波動性看成大量電子分布于空間所形成的疏密波的看法也是不正確的的疏密波的看法也是不正確的,它夸大了粒子性的一它夸大了粒子性的一面面,而實際上抹殺了粒子波動性一面而實際上抹殺了粒子波動性一面,也帶有片面性也帶有片面性. 然而電子究竟是什么東西？是

12、粒子？還是波？然而電子究竟是什么東西？是粒子？還是波？“電子既不是粒子電子既不是粒子,也不是波也不是波”.更確切地說更確切地說,它既不是它既不是經典例子經典例子,也不是經典的波也不是經典的波.我們也可以說我們也可以說,電子既是粒電子既是粒子子,也是波也是波,它是粒子性和波動性兩重性矛盾的統一它是粒子性和波動性兩重性矛盾的統一.但但這個波不再是經典概念下的波這個波不再是經典概念下的波,粒子也不是經典概念粒子也不是經典概念中的粒子中的粒子.在經典概念下在經典概念下,粒子與波的確是難以統一到同一客體粒子與波的確是難以統一到同一客體上去上去然而究竟應該怎樣理解波然而究竟應該怎樣理解波粒二象性呢？粒二象

13、性呢？ 把粒子性與波動性統一起來，更確切地說，把把粒子性與波動性統一起來，更確切地說，把微觀粒子的微觀粒子的“原子性原子性”與波的與波的“相干疊加性相干疊加性”統統一起來的一起來的是是M.Born(1926)提出的概率波提出的概率波. 仔細分析一下實驗可以看出，仔細分析一下實驗可以看出，電子所呈現的粒電子所呈現的粒子性，只是經典粒子概念中的子性，只是經典粒子概念中的“原子性原子性”或或“顆粒顆粒型型”，即總是以具有一定質量和電荷等屬性的客體，即總是以具有一定質量和電荷等屬性的客體出現在實驗中，但并不與出現在實驗中，但并不與“粒子有確切的軌道粒子有確切的軌道”的的概念有必然的聯系概念有必然的聯系

14、.而而電子呈現的波動性，也只不過電子呈現的波動性，也只不過是波動最本質的東西是波動最本質的東西波的相干疊加性，波的相干疊加性，但并不但并不一定與某種實在的物理量在空間的波動聯系在一起一定與某種實在的物理量在空間的波動聯系在一起.1.1.3 概率波，多粒子體系的波函數概率波，多粒子體系的波函數 現在來分析電子的雙縫干涉實驗，設入射電子現在來分析電子的雙縫干涉實驗，設入射電子流很微弱，流很微弱，電子幾乎是一個一個地經過雙縫電子幾乎是一個一個地經過雙縫，然后，然后在感光底片上被記錄下來在感光底片上被記錄下來.起初，當感光時間較短時，起初，當感光時間較短時，底片上出現一些點子，它們的分布看起來沒有什么

15、底片上出現一些點子，它們的分布看起來沒有什么規律規律.當感光時間足夠長時，底片上感光點子愈來愈當感光時間足夠長時，底片上感光點子愈來愈多，就會發現有些地方點子很密，有些地方幾乎沒多，就會發現有些地方點子很密，有些地方幾乎沒與點子與點子.最后，底片上的感光點子的密度分布將構成最后，底片上的感光點子的密度分布將構成一個有規律的花樣，與一個有規律的花樣，與X光衍射中出現的花樣完全相光衍射中出現的花樣完全相似似，就強度分布來講，與經典波（例如聲波、壓強，就強度分布來講，與經典波（例如聲波、壓強波）是相似的，而與機槍子彈上的密度分布完全不波）是相似的，而與機槍子彈上的密度分布完全不同同.這種現象應怎樣理

16、解呢？這種現象應怎樣理解呢？原來，在底片原來，在底片 點附近干涉花樣的強度點附近干涉花樣的強度r在在 點附近感光點子的數目點附近感光點子的數目r在在 點附近出現電子的數目點附近出現電子的數目r設干涉波波幅用設干涉波波幅用 描述，與光學中相似，干涉花描述，與光學中相似，干涉花樣的強度在空間的分布則用樣的強度在空間的分布則用 來描述來描述.但這里干但這里干涉強度涉強度 的意義與經典波根本不同，它是刻畫電的意義與經典波根本不同，它是刻畫電子出現在子出現在 附近的概率大小的一個量附近的概率大小的一個量. 2 x 2rr r電子出現在電子出現在 附近的概率附近的概率r更確切的說，更確切的說， 表示在表示

17、在 點處的體積元點處的體積元 中找到中找到粒子的概率粒子的概率.這就是這就是Born提出的波函數的提出的波函數的概率詮釋概率詮釋. 2xx y z rx y z 23d1r全r3dd d drx y z 6這稱為這稱為波函數的歸一化條件波函數的歸一化條件.但應該強調，對于但應該強調，對于概率分布來說，重要的是概率分布來說，重要的是相對概率分布相對概率分布.根據波函數的統計詮釋，很自然要求該粒子根據波函數的統計詮釋，很自然要求該粒子（不產生，不湮沒）在空間各點的概率之總和（不產生，不湮沒）在空間各點的概率之總和為為 ，即要求波函數，即要求波函數 滿足下列條件滿足下列條件. r1 221122CC

18、rrrr 7不難看出，不難看出， 與與 （ 為常數）所描述的相對概為常數）所描述的相對概率分布是完全相同的。因此在空間任意兩點率分布是完全相同的。因此在空間任意兩點 和和 處，處， 描述的粒子相對概率為描述的粒子相對概率為1r CrC2r r Cr r與與 描述的相對概率完全相同描述的相對概率完全相同.換言之，換言之， 與與 描述的是同一個概率波描述的是同一個概率波.所以，波函數有一個所以，波函數有一個常數因常數因子不定性子不定性.在這一點上，在這一點上，概率波概率波與與經典波經典波有本質的差有本質的差別別.一個經典波的波幅若增大一倍，則相應的波動的一個經典波的波幅若增大一倍，則相應的波動的能

19、量將為原來的能量將為原來的4倍，因而代表完全倍，因而代表完全 r Cr不同的波動狀態不同的波動狀態.正因為如此，正因為如此，經典波根本談不上經典波根本談不上“歸一化歸一化”，而概率波則可以進行歸一化，而概率波則可以進行歸一化.因為，因為，假設假設則顯然有則顯然有但但 與與 描述的同一個概率波描述的同一個概率波. 沒有歸一沒有歸一化，而化，而 是歸一化的是歸一化的. 稱為稱為歸一化因子歸一化因子. -1 2Ar r-1 2A -1 2Ar r 23d0rA全實常數r平方可積 8 9 231d1rA全r 波函數歸一化與否，波函數歸一化與否，并不影響概率分布有何變化并不影響概率分布有何變化. 還應提

20、到，即使加上歸一化條件，波函數仍然還應提到，即使加上歸一化條件，波函數仍然有一個模為有一個模為1的相因子的不定性，或者說，相位不定的相因子的不定性，或者說，相位不定性性.因為，假設因為，假設 是歸一化的波函數，則是歸一化的波函數，則 （為常實數）也是歸一化的，而（為常實數）也是歸一化的，而 與與 描述描述的是同一概率波的是同一概率波. ra r eiar eiar2331212,ddrrr r以上討論的是單個粒子的波函數以上討論的是單個粒子的波函數.設一個體系包含設一個體系包含兩個粒子，波函數用兩個粒子，波函數用 表示，其物理意義是表示，其物理意義是12,r r1012,Nr rr注意注意表示

21、測得粒子表示測得粒子 1 在空間體積元在空間體積元 中、同時粒中、同時粒子子 2 在空間體積元在空間體積元 中的概率中的概率.111,dr rr222,dr rr 描述的不是描述的不是 維空間中某種實在維空間中某種實在物理量的波動，而是物理量的波動，而是 維空間中的概率波維空間中的概率波.這個這個 維維空間只不過是標記一個具有空間只不過是標記一個具有 個自由度的體系的坐個自由度的體系的坐標的抽象空間標的抽象空間. 3612,r r66對于對于 個粒子組成的體系，它的波函數表示為個粒子組成的體系，它的波函數表示為N其中其中 分別分別表示各粒子的空間坐標表示各粒子的空間坐標.此時此時1111x ,

22、y ,z,r2222,xyzr,NNNNrxyz23331212,dddNNrrrr rr表示表示 粒子粒子1出現在出現在 中，中，111,dr rr 同時粒子同時粒子 2 出現在出現在 中，中，222,dr rr同時粒子同時粒子N出現在出現在 中，中，,dNNNrrr23331212ddd=1NN, ,rrr全r rr2d=d 全全，11歸一化條件表示為歸一化條件表示為以后，為了表述方便，引進符號以后，為了表述方便，引進符號其中其中 代表對體系的全部坐標空間進行積分代表對體系的全部坐標空間進行積分.d全所以所以 描述的是抽象的描述的是抽象的 維維位形空間位形空間（configuration

23、space)中的中的概率波概率波.3N12,Nr rrd =dx全111d=ddddddNNNxyzxyz全,1 12d =d d dx y z全這樣，這樣，歸一化條件歸一化條件就可以簡單表示為就可以簡單表示為對于一維粒子對于一維粒子對于三維粒子對于三維粒子對于對于N維粒子組成的體系維粒子組成的體系按照已為衍射實驗證實的按照已為衍射實驗證實的de Broglie關系，若關系，若 為一個平面單色波（波長為一個平面單色波（波長 ，頻率，頻率 ），則相應的），則相應的粒子動量為粒子動量為 ，能量為，能量為 .在一般情況下，在一般情況下， 是一個是一個波包波包，有許多平面單色波疊加而成，即含，有許多平

24、面單色波疊加而成，即含有各種波長（頻率）的有各種波長（頻率）的分波分波.因而相應的粒子動量因而相應的粒子動量（能量）有一個分布，與測量的位置相似，也可（能量）有一個分布，與測量的位置相似，也可以設計某種實驗裝置來測量粒子的動量，晶體衍以設計某種實驗裝置來測量粒子的動量，晶體衍射實驗就是其中的一種射實驗就是其中的一種.=p=E h不難想象，與不難想象，與 表示粒子在坐標空間中的概率表示粒子在坐標空間中的概率密度相似，密度相似， 表示粒子的表示粒子的動量分布動量分布的概率密度的概率密度. 2p 2r1.1.4 動量分布概率動量分布概率 i33 21ed2pp rrp13 i33 21ed2rp r

25、pr14這里這里 是是 按平面波展開（按平面波展開（Fourier展開）的展開）的波幅，即波幅，即 r p其逆表示為其逆表示為 代表代表 中含有平面波中含有平面波 的成分，所以粒的成分，所以粒子動量為子動量為 的概率與的概率與 成比例是自然的，即粒成比例是自然的，即粒子動量在子動量在 范圍中的概率為范圍中的概率為 . 2p 2p riep r 23d ppp, +dp pp不難證明不難證明 2233dd1prpr15 3d ppp 33d drrrrrr i33331dd de2prrpr rrr 23d1rr16因為利用公式因為利用公式 及及Fourier積分公式，可得積分公式，可得1417

26、sin,nnnhapa=1,2,3,n1.4下面來分析電子衍射實驗（圖下面來分析電子衍射實驗（圖 ）.設電子（動設電子（動量為量為 ）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具有一定波長有一定波長 的平面波，則衍射波將沿一定的平面波，則衍射波將沿一定的角度的角度 出射，出射， 由下式（由下式（Bragg公式）決定公式）決定n=h ppn17式式 給出了衍射角給出了衍射角 （特別是（特別是 ）與入射粒子動）與入射粒子動量量 的確定關系的確定關系.如果入射波是一個如果入射波是一個波包波包，它的，它的每一個每一個Fourier分波（平面波）將各自按照一定的分波（平面波）將

27、各自按照一定的角分布角分布 出射出射.p1nn沿沿 角出射的波的幅度角出射的波的幅度 正比于入射波包中相正比于入射波包中相應的應的Fourier分波的幅度，因而沿分波的幅度，因而沿 方向的衍射方向的衍射波強度波強度 .在衍射過程中，波長未在衍射過程中，波長未改變，即粒子動量的值未改變（雖然方向改變改變，即粒子動量的值未改變（雖然方向改變了）了）.所以，對于一個例子，它在所以，對于一個例子，它在 方向被測到的方向被測到的概 率概 率 ， 即 粒 子 動 量 為即 粒 子 動 量 為 的 概 率的 概 率 f 22fpp 22fp 2p1616 Born對波函數的統計詮釋，把波粒二象性統對波函數的

28、統計詮釋，把波粒二象性統一到概率波的概念上一到概率波的概念上.在此概念中，經典波的概念在此概念中，經典波的概念只是部分地（只是部分地（波的疊加性波的疊加性）被保留下來，而另一部）被保留下來，而另一部分內容則被摒棄分內容則被摒棄.所以經典粒子運動的圖像和概念所以經典粒子運動的圖像和概念對于微觀粒子不可能全盤適對于微觀粒子不可能全盤適.Heisenberg的不確定的不確定關系（關系（uncertainty relation）對此做了做集中和）對此做了做集中和最形象的概括最形象的概括.不確定關系不確定關系Heisenberg于于1927年根年根據逆向思維，并對一些理想實驗進行分析和利用據逆向思維，并

29、對一些理想實驗進行分析和利用De-Broglie關系而得出的關系而得出的.1.1.5 不確定關系不確定關系不確定關系表明，微觀粒子的位置（坐標）和動量不確定關系表明，微觀粒子的位置（坐標）和動量不能同時具有完全確定的值，這是波粒二象性的反不能同時具有完全確定的值，這是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照映，在物理上可以如下理解：按照de Broglie關關系系 ，由于波長，由于波長 是描述波在空間變化快慢是描述波在空間變化快慢的量，是與整個波動關系聯系的量，因此正如的量，是與整個波動關系聯系的量，因此正如“在在空間某一點空間某一點 的波長的波長”的提法是沒有意義一樣，的提法是沒有意義一

30、樣，“微粒子在空間某一點微粒子在空間某一點 的動量的動量”的提法也同樣的提法也同樣沒有意義沒有意義.這樣，這樣，粒子運動軌道的概念就沒有意義粒子運動軌道的概念就沒有意義. xx=p h與經典不與經典不同！同！18 2+3-=dxxrr19 2+3-=dVVrrr粒子處于波函數粒子處于波函數 所描述的狀態下，雖然不是所描述的狀態下，雖然不是所有力學量都具有確定的值，但它們都有所有力學量都具有確定的值，但它們都有確定的確定的分布分布，因而有確定的，因而有確定的平均值平均值.例如位置例如位置 的平均值的平均值為為 rx這里假定了波函數已歸一化這里假定了波函數已歸一化.又例如勢能又例如勢能 的平的平均

31、值為均值為 V r1.1.6 力學量的平均值與算符的引進力學量的平均值與算符的引進 23dprprr20 33 21 ed2irp rpr21前面已提到，由于前面已提到，由于波粒二象性波粒二象性，“粒子在空間某粒子在空間某一點的動量一點的動量”的提法是沒有意義的的提法是沒有意義的.因此不能像求因此不能像求勢能平均值那樣來求動量平均值，即勢能平均值那樣來求動量平均值，即我們必須換一種方法來處理這問題我們必須換一種方法來處理這問題.按前面所述，給定波函數按前面所述，給定波函數 之后，測得粒子之后，測得粒子動量在動量在 中的概率為中的概率為 ，其中，其中, +dp pp r 23d pp 33i 3

32、 21d die2rp p rrp 33i 3 21d de2prp rrpp 233=ddpppppppp 3=dir rr22注注意意因此可以借助因此可以借助 來間接計算動量的平均值（利用式來間接計算動量的平均值（利用式 （13）和）和 （14）p 這樣，我們就找到了用這樣，我們就找到了用 來直接計算動量來直接計算動量平均值的公式，而不必借助于平均值的公式，而不必借助于 的的Fourier變換變換 來間接計算（見式來間接計算（見式 ， ）.但只是就出現了但只是就出現了一種新的數學工具一種新的數學工具 .算符算符21 p r r22令令=-i p23則式則式 可表成可表成22 3= d rp

33、rpr24 稱為稱為動量算符動量算符. p 上式表明，動量平均值與波函數上式表明，動量平均值與波函數 的梯度密的梯度密切相關切相關.這是可以理解的，因為按照這是可以理解的，因為按照de Broglie關關系，動量與波長的倒數（波數）成比例，所以系，動量與波長的倒數（波數）成比例，所以波波函數的梯度愈大函數的梯度愈大，即波長愈短（波數愈大），即波長愈短（波數愈大），動動量平均值也就愈大量平均值也就愈大. r 3= d,TTrrr2522=-2Tm（動能算符（動能算符） 動能動能 和角動量和角動量 的平均值也可的平均值也可類似求出類似求出2=2Tpm= l rp 3= d , rlrlr26（角動

34、量算符）（角動量算符）= l rpxizylypzpyzzy yixzlzpxpzxxz ziyxlxpypxyyx 27 是一個矢量算符，它的三個分量可以表示為是一個矢量算符，它的三個分量可以表示為l 3 d,AArArr2928=,AA 一般來說，粒子的力學量一般來說，粒子的力學量 的的平均值平均值可如可如下求出下求出:A 是力學量是力學量 相應的算符相應的算符.如波函數未歸一化，如波函數未歸一化，則則AA 統計詮釋統計詮釋賦予了波函數確切的物理含義賦予了波函數確切的物理含義.根據根據統計詮釋統計詮釋（a）根據統計詮釋，要求）根據統計詮釋，要求 取有限值似取有限值似乎是必要的，即要求乎是必要的，即要求 取有限值，但應注取有限值，但應注意，意， 只是表示概率密度，而在物理上只要只是表示概率密度，而在物理上只要求