1、鈕海鈕?？荚囂嵋荚囂嵋砩闲姓Ш竺娴墓こ淘O計中心工程設計中心，光纖網帶上學生證，辦卡后1元1小時。軟件網址：202.115.42.124/home/model用戶名：model聯系Email：Tel:89859857上機上機組隊組隊n編隊配組：編隊配組：建模，計算，寫作建模，計算，寫作n自己組隊：自己組隊：3人人/隊隊n自愿參加：自愿參加：300元元/隊隊 報名費報名費請發請發email：寫明：團隊每個成員的寫明：團隊每個成員的 姓名，學院，性別，手機姓名，學院，性別，手機Excel與與Matlab數據傳遞數據傳遞位于位于matlabtoolboxexlink目錄下目錄下前言前言n內容：內

2、容： 一維問題一維問題 高維問題高維問題n插值插值n擬合擬合n插值插值n回歸回歸前言前言n層次：層次： 插值與擬合插值與擬合理論理論 Matlab實現實現 應用應用實例實例前言前言問題問題n測試數據測試數據自變量自變量數據數據因變量因變量數據數據n理論研究理論研究離散函數離散函數因變量因變量f(自變量自變量)連續函數連續函數分類分類n一個自變量一個自變量一維問題一維問題n多個自變量多個自變量多維問題多維問題方法方法n1.測試數據為測試數據為精確精確數據或者數據或者誤差可以忽略誤差可以忽略 方法：方法：插值插值法法n2.測試數據含測試數據含誤差誤差，必須考慮，必須考慮誤差誤差 方法：方法：擬合擬

3、合法或法或回歸回歸一維問題一維問題插值插值一維問題一維問題-插值插值xyy1y2y3y4x1x2x3x4xy？一維問題一維問題-插值插值n插值：插值：xX1 X2 Xn yy1 y2 yn 問題問題n要求：對任意自變量要求：對任意自變量x1xxn，求，求x對應的對應的y值值插值點插值點插值插值n重點：重點：找函數關系找函數關系f，使得，使得yf(x)轉換轉換一維問題一維問題-插值插值n首要問題：首要問題： f的選取的選??？多項式函數多項式函數1110( )mmmma xaxafaxx滿足：滿足：yif(xi)，i1n小要求：小要求：多項式函數多項式函數唯一唯一！數學模型數學模型一維問題一維問題

4、-插值插值n求解：求解：11101.,.mmmmaaayxixiinaxiiyif(xi)，i1n線性方程組線性方程組未知變量個數：未知變量個數：m+1方程個數：方程個數：n唯一唯一m+1=nm=n-1一維問題一維問題-插值插值n解：解：101111. 112. 1.1nnnnxyxynxnaa一維問題一維問題-插值插值n模型分析：模型分析：Runge現象現象 測試點越多，多項式次數越高測試點越多，多項式次數越高失真失真21,(1) 5,5,11xnyx 10( )Px-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n=4n=6n=8n=10一維問題一維問題-插值插值n

5、失真失真解決辦法：解決辦法：每次采取數據點比較少每次采取數據點比較少 如如2個；個；4個個n問題：原先大量數據？問題：原先大量數據？n方法：分組（每組方法：分組（每組2個；個；4個個遞進進行遞進進行）分段線性插值分段線性插值linear分段三次插值分段三次插值cubic一維問題一維問題-插值插值n再處理！（光滑）再處理?。ü饣﹏可導可導 要求要求：（：（見后注見后注） 1.插值函數插值函數f（分段函數分段函數）在整個在整個x1,xn具有二階具有二階連續導數；連續導數； 2.在每個小區間在每個小區間xi-1,xi是三次多項式是三次多項式n新問題不夠完美，新問題不夠完美，光滑光滑？一維問題一維問

6、題-插值插值n數學模型：數學模型：yif（xi），），i1nf（x），），f （x），），f （x）在）在xi連續，連續，i2n-1進一步表示（省略）進一步表示（省略）n求解求解：省略省略一維問題一維問題-插值插值n后注：后注：取自工程中利用取自工程中利用彈性竹條彈性竹條（樣條）（樣條）進行插值的進行插值的方法方法n因此因此該插值稱為該插值稱為樣條樣條spline插值方法插值方法實現實現n編程？編程？nMatlab實現實現：插值函數插值函數（程序）（程序）插值插值=interp1(自變量數據自變量數據,因變量試數據因變量試數據,插值點插值點,方法方法)方法方法:1.省卻省卻linear分段線分

7、段線性性 2.cubic分段三次分段三次 3.spline樣條樣條實驗實驗問題問題21,(1) 5,5,10 xnyx x-5 5y 0.038 0.038分別用分別用分段線性、分段三次、樣條分段線性、分段三次、樣條插值插值與原函數比較與原函數比較實驗實驗腳本文件腳本文件n%各類一維分段插值比較腳本文件腳本文件（文件名（文件名cz.mcz.m）nx=linspace(-5,5,9);%原始自變量ny=1./(1+x.2);%原始因變量nx_o=linspace(-5,5,50);ny_o=1./(1+x_o.2);%原始函數nx_in_l=linspace(-5,5,50);ny_in_l=i

8、nterp1(x,y,x_in_l);%線性插值函數nsubplot(3,1,1)%子圖nplot(x_o,y_o,x_in_l,y_in_l)ntitle(linear)nx_in_c=x_in_l;ny_in_c=interp1(x,y,x_in_c,cubic);%三次插值函數nsubplot(3,1,2)nplot(x_o,y_o,x_in_c,y_in_c)ntitle(cubic)nx_in_s=x_in_l;ny_in_s=interp1(x,y,x_in_s,spline);%樣條插值函數nsubplot(3,1,3)nplot(x_o,y_o,x_in_s,y_in_s)nt

9、itle(spline)實驗實驗運行運行n在在matlab工作區輸入工作區輸入cz-5-4-3-2-101234500.51linear-5-4-3-2-101234500.51cubic-5-4-3-2-101234500.51spline保形保形不光滑不光滑光滑光滑不保形不保形插值方法選擇插值方法選擇n插值函數插值函數插值插值=interp1(自變量數據自變量數據,因變量試數據因變量試數據,插值點插值點,方法方法)方法方法:1.省卻省卻linear分段線分段線性性 2.cubic分段三次分段三次 3.spline樣條樣條要求保形要求保形快速粗估快速粗估要求光滑要求光滑建模實例建模實例n估計

10、水塔的水流量估計水塔的水流量(AMCM92A)n美國某州的各用水管理機構要求各社區提供以每小時多少加侖計的用水美國某州的各用水管理機構要求各社區提供以每小時多少加侖計的用水率以及每天所用的總水量。但許多社區并沒有測量流入或流出當地水塔率以及每天所用的總水量。但許多社區并沒有測量流入或流出當地水塔的水量的設備，他們只能代之以每小時測量水塔中的水位，其精度在的水量的設備，他們只能代之以每小時測量水塔中的水位，其精度在5%以內。更為重要的是，無論什么時候，只要水塔中的水位下降到某一最以內。更為重要的是，無論什么時候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位低水位L時，水泵就啟動向水塔重新充水直至某一最高水

11、位時，水泵就啟動向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也無法，但也無法得到水泵的供水量的測量數據。因此，在水泵正在工作時，人們不容易得到水泵的供水量的測量數據。因此，在水泵正在工作時，人們不容易建立水塔中的水位與水泵工作時的用水量之間的關系。水泵每天向水塔建立水塔中的水位與水泵工作時的用水量之間的關系。水泵每天向水塔充水兩次，每次約二小時。充水兩次，每次約二小時。n試估計在任何時刻，甚至包括水泵正在工作的時間內，水從水塔流出的試估計在任何時刻，甚至包括水泵正在工作的時間內，水從水塔流出的流量流量f (t)，并估計一天的總用水量和水泵的工作功率。表，并估計一天的總用水量和水泵的工作功率。表1給出了

12、某個真給出了某個真實小鎮某一天的真實數據。實小鎮某一天的真實數據。建模實例建模實例時間時間（秒）（秒）水位水位(0.01英尺英尺)時間時間（秒）（秒）水位水位(0.01英尺英尺)時間時間（秒）（秒）水位水位(0.01英尺英尺)0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579254水泵工作13937294746636335082649水泵工作1792128924995332608596834752124028505393631678995333972522

13、32797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表表1 某小鎮某天的水塔水位某小鎮某天的水塔水位 建模實例建模實例n表表1給出了從第一次測量開始的以秒為單位的給出了從第一次測量開始的以秒為單位的時刻，以及該時刻的高度單位為百分之一英尺時刻，以及該時刻的高度單位為百分之一英尺的水塔中水位的測量值，例如，的水塔中水位的測量值，例如，3316秒后，水秒后，水塔中的水位達到塔中的水位達到31.10英尺。水塔是一個垂直英尺。水塔是一個垂直圓形柱體，高為圓形柱體，高為40英尺，直徑為英尺，直徑為57英尺。通常英尺。通常當水塔的水位降至約

14、當水塔的水位降至約27.00英尺時水泵開始向英尺時水泵開始向水塔充水，而當水塔的水位生至約水塔充水，而當水塔的水位生至約35.50英尺英尺時水泵停止工作。時水泵停止工作。建模實例建模實例nt0=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636,49953,. 53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,93270;nL0=3175,3110,3054,2994,2947,2892,2850,2797,2752,2697,3550,3445

15、,3350,3260,3167,3087,. 3012,2927,2842,2767,2697,3475,3397,3340;nt=linspace(0,86400,200);nL=interp1(t0,L0,t,clubic);nplot(t0,L0,*,t,L)建模實例建模實例012345678910 x 104260028003000320034003600spline012345678910 x 104260028003000320034003600cubic一維問題一維問題擬合擬合一維問題一維問題-擬合擬合xyy1y2y3y4x1x2x3x4？323210a xa xa xa3223

16、yxxx3221yxxx一維問題一維問題-擬合擬合n擬合：擬合：xX1 X2 Xn yy1 y2 yn 問題問題參數參數n要求：要求：理論推導理論推導或或經驗估計經驗估計函數關系為函數關系為yf(x,t)n重點：重點：找最合適的找最合適的t，使理論和實際值，使理論和實際值之間的之間的總體誤差最小總體誤差最小理論理論實際實際多項式系數多項式系數一維問題一維問題-擬合擬合xyy1y2y3y4x1x2x3x4一維問題一維問題-擬合擬合n首要問題：首要問題： f的選取的選取？根據問題性質根據問題性質( , )f x t誤差：誤差：1.單點誤差：單點誤差：Ciyif(xi,t)，i1n2.總體誤差：總體

17、誤差： 或或 等等要求：要求：總體誤差總體誤差最小最小！數學模型數學模型1|niiC21niiC21min( , )niiiyf x tt最小二乘法最小二乘法n求解：求解：二次無約束規劃問題（二次無約束規劃問題（多元函數極值多元函數極值）一維問題一維問題-擬合擬合21min( , )niiiyf x tt理論上：理論上：找駐點找駐點數學模型數學模型實現實現多項式擬合多項式擬合n編程？編程？nMatlab實現實現：1.多項式多項式擬合擬合（程序）（程序）擬合多項式系數向量（高擬合多項式系數向量（高低）低）=polyfit(自變量數據自變量數據,因變量試數據因變量試數據,擬合多項式次數擬合多項式次

18、數)擬合多項式次數擬合多項式次數1，線性擬合（回歸），線性擬合（回歸）實驗實驗問題問題t00.30.81.11.62.3 y0.50.821.141.251.351.40 用用多項式多項式擬合擬合實驗實驗上機觀察上機觀察nt = 0，.3，.8 ，1.1，1.6 ，2.3; ny = 0.5，0.82，1.14，1.25，1.35，1.40; nplot(t,y,o) ngrid on二次二次實驗實驗分析分析n多項式回歸多項式回歸n由圖可以看出應該可以用二次多項式來由圖可以看出應該可以用二次多項式來表達表達：y=a2*t2+a1*t +a0實驗實驗操作操作napolyfit(t,y,2)na

19、-0.2387 0.9191 0.5318 ntf=linspace(0,2.3,50);nyf=polyval(a,x);nplot(t,y,o,tf,yf)ngrid on實驗實驗操作操作n結果令人失望，結果令人失望，但我們可以增加但我們可以增加階數來提高精確階數來提高精確度，但更明智的度，但更明智的選擇是用別的方選擇是用別的方法法 實驗實驗改進改進n用指數關系表達用指數關系表達： y=a0+a1*exp(-t)+a2*exp(-t)2 實驗實驗操作操作nxexp(-t);na polyfit(x,y,2)na 0.4097 0.8988 1.3974ntf=linspace(0,2.3,

20、50);nyf=polyval(a,x);nplot(t,y,o,tf,yf)ngrid on實驗實驗操作操作n看起來是不是看起來是不是好多了好多了 實驗實驗1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5例：美國人口數據（單位例：美國人口數據（單位1.0e+06 ）cdate pop 用多項式擬合用多項式擬合實驗實驗np = polyfit(cdate,pop,4) nWarning: Matrix is close to singular or badly sc

21、aled. Results may be inaccurate. RCOND = 5.429790e20 p = 1.0e+05 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0126 6.0020 實驗實驗n產生警告的原因是計算中的產生警告的原因是計算中的cdata值太大，在值太大，在計算中的計算中的Vandermonde行列式使變換產生了行列式使變換產生了問題，解決的方法之一是使數據標準化問題，解決的方法之一是使數據標準化n標準化方法：標準化方法：data-Mean (data)/Std(data)實驗實驗n數據的標準化數據的標準化是對數據進行縮放，以使以后的是對數據進行縮放，以使以后

22、的計算能更加精確，一種方法是使之成為計算能更加精確，一種方法是使之成為0均值：均值：nmatlab實現方法：實現方法：nsdate = (cdate mean(cdate)./std(cdate) 實驗實驗np = polyfit(sdate,pop,4) p = 0.7047 0.9210 23.4706 73.8598 62.2285npop4 = polyval(p,sdate); nplot(cdate,pop4,cdate,pop,+), grid on 實驗實驗 1.數據類型的一致化數據類型的一致化 極大型指標極大型指標: :總是期望指標的取值越大越好；總是期望指標的取值越大越好；

23、 極小型指標極小型指標: :總是期望指標的取值越小越好；總是期望指標的取值越小越好； 中間型指標中間型指標: :總是期望指標的取值既不要太大，也不要總是期望指標的取值既不要太大，也不要太小為好，即取適當的中間值為最好太小為好，即取適當的中間值為最好; ; 區間型指標區間型指標: :總是期望指標的取值最好是落在某一個確總是期望指標的取值最好是落在某一個確定的區間內為最好。定的區間內為最好。 數據的規范化處理數據的規范化處理 （1） 極小型指標） 極小型指標: 對于某個極小型指標對于某個極小型指標x， 則通過變換， 則通過變換1(0)xxx , ,或變換或變換xMx , ,其中其中M為指標為指標x

24、的可能的可能取值的最大值，即可將指標取值的最大值，即可將指標x極大化。極大化。 數據數據類型的一致化類型的一致化 （2）中中間間型型指指標標: 對對于于某某個個中中間間型型指指標標x，則則通通過過變變換換 2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm 其其中中M和和m分分別別為為指指標標x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值，即即可可將將中中間間型型指指標標x極極大大化化。 指標類型的一致化指標類型的一致化 （3）區區間間型型指指標標 對對于于某某個個區區間間型型指指標標x，則則通通過過變變換換 1,1,1,axxacxaxbx bxbc 其其中中 , a

25、 b為為指指標標x的的最最佳佳穩穩定定的的區區間間，max,ca m Mb，M和和m分分別別為為指指標標x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值。即即可可將將區區間間型型指指標標x極極大大化化。 2. 評價指標的無量綱化評價指標的無量綱化 指標的規范化處理指標的規范化處理 在在實實際際中中的的評評價價指指標標12,(1)mx xxm之之間間，往往往往都都存存在在著著各各自自不不同同的的單單位位和和數數量量級級，使使得得這這些些指指標標之之間間存存在在著著不不可可公公度度性性，這這就就為為綜綜合合評評價價帶帶來來了了困困難難，尤尤其其是是為為綜綜合合評評價價指指標標建建立立和和依依

26、據據這這個個指指標標的的大大小小排排序序產產生生不不合合理理性性。 如果不對這些指標作相應的無量綱處理，則在綜合評如果不對這些指標作相應的無量綱處理，則在綜合評價過程中就會出價過程中就會出“大數吃小數大數吃小數”的錯誤結果，從而導致最的錯誤結果，從而導致最后得到錯誤的評價結論。后得到錯誤的評價結論。 無量綱化處理又稱為指標數據的無量綱化處理又稱為指標數據的標準化標準化,或或規范化規范化處理。處理。 常用方法常用方法:標準差方法、極值差方法和功效系數方法等。標準差方法、極值差方法和功效系數方法等。 指標的無量綱化指標的無量綱化 假假設設m個個評評價價指指標標12,mx xx，在在此此不不妨妨假假

27、設設已已進進行行了了類類 型型 的的 一一 致致 化化 處處 理理 ， 并并 都都 有有n組組 樣樣 本本 觀觀 測測 值值(1,2, ;1,2, )ijx in jm，則則將將其其作作無無量量綱綱化化處處理理。 （1）標標準準差差方方法法: 令令ijjijjxxxs (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中1221111,() (1,2, )nnjijjijjiixx sxxjmnn。 顯顯然然指指標標(1,2, ;1,2, )ijx in jm的的均均值值和和均均方方差差分分別別為為0 0和和1 1，即即0,1ijx 是是無無量量綱綱的的指指標標，稱稱之之為為ijx的的標標準準觀觀

28、測測值值。 評價指標的無量綱化評價指標的無量綱化 （2）極極值值差差方方法法: 令令ijjijjjxmxMm (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中11max ,min (1,2, )jijjiji ni nMxmxjm 。則則0,1ijx 是是無無量量綱綱的的指指標標觀觀測測值值。 （3）功功效效系系數數法法: 令令ijjijjjxmxcdMm (1,2, , ;1,2, , )in jm， 其其中中, c d均均為為確確定定的的常常數數。c表表示示“平平移移量量” ，d表表示示“旋旋轉轉量量” ，即即表表示示“放放大大”或或“縮縮小小”倍倍數數，則則 ,ijxc c d 。 譬譬

29、如如若若取取60,40cd，則則60,100ijx 。 nmatlab中的歸一化處理有三種方法中的歸一化處理有三種方法n1. premnmx、postmnmx、tramnmxn2. restd、poststd、trastd實現實現曲線擬合曲線擬合nMatlab實現實現：1.最小二乘最小二乘擬合擬合程序程序參數參數=lsqnonlin(誤差函數誤差函數, 參數估計值參數估計值)誤差函數文件誤差函數文件function c=myfun(參數參數)自變量數據自變量數據=x1,xn;因變量數據因變量數據=y1,yn;c=f(自變量數據自變量數據,參數參數)-因變量數據因變量數據;擬合函數數學表達式（擬

30、合函數數學表達式（向量形式向量形式）建模實例建模實例 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c ( g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數據已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數據(t=0注射注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規律求血藥濃度隨時間的變化規律c(t).建模實例建模實例n解：解：0( )ktc tc e由機理由機理微分方程微分方程其中，其中，c0，k為待定參數為待定參數建模實例建模實例n求解：求解：n1.建立誤差函數文件：文件名為建立誤差函數文件：

31、文件名為nd_f.mfunction wc=nd_f(x)t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;wc= x(1)*exp(-x(2)*t)c;0ktc e其中：其中： c0 x(1), k x(2);擬合函數為擬合函數為建模實例建模實例n2.在工作區輸入：在工作區輸入：nx=lsqnonlin(nd_f, 1,1)nx= 20.2413 0.2420即即0.24( )20.24tc te建模實例建模實例n3.在工作區輸入：在工作區輸入：nt=0.25 0.5 1 1.5 2

32、3 4 6 8;nc=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;ntf=linspace(0,10,50);ncf=x(1)*exp(-x(2)*tf);nplot(t,c,o,tf,cf)建模實例建模實例0123456789100510152025實現實現曲線擬合曲線擬合nMatlab實現實現：2.曲線曲線擬合擬合程序程序參數參數= lsqcurvefit(擬合函數擬合函數, 參數估計值參數估計值,自變量數據自變量數據,因變量數據因變量數據)擬合函數文件擬合函數文件function y=myfun(參數參數,自變量自變量)y=f(自變

33、量自變量,參數參數);擬合函數數學表達式（擬合函數數學表達式（向量形式向量形式）nlsqcurvefit( (參數參數,自變量自變量) 擬合函數擬合函數(自變自變量量,參數參數), 參數估計值參數估計值,自變量數據自變量數據,因變量數據因變量數據)建模實例建模實例n求解：求解：n1.建立誤差函數文件：文件名為建立誤差函數文件：文件名為nd1_f.mfunction c=nd1_f(x,t)c= x(1)*exp(-x(2)*t);0ktc e其中：其中： c0 x(1), k x(2);擬合函數為擬合函數為建模實例建模實例n在工作區輸入：在工作區輸入：nt=0.25 0.5 1 1.5 2 3

34、 4 6 8;nc=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;nx= lsqcurvefit(nd1_f,1,1,t,c)nx= 20.2413 0.24200ktc e擬合好壞的依據擬合好壞的依據n在由經驗估計的擬合函數中在由經驗估計的擬合函數中n估計擬合函數好壞的評判標準有：估計擬合函數好壞的評判標準有： 1.比較總體誤差大小比較總體誤差大小n總體誤差越小越好總體誤差越小越好 2.觀察誤差觀察誤差余量分析余量分析n理想的誤差應該是理想的誤差應該是隨機隨機的的實驗實驗1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960

35、 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5例：美國人口數據（單位例：美國人口數據（單位1.0e+06 ）cdate pop 用多項式擬合用多項式擬合實驗實驗n線性擬合線性擬合np1 = polyfit(sdate,pop,1);npop1 = polyval(p1,sdate);nplot(cdate,pop1,cdate,pop,+) 實驗實驗實驗實驗n余量分析余量分析 nres1 = pop pop1;nFiguren plot(cdate,res1,+) 實驗實驗n拋物線擬合拋物線擬合np2 = polyfit(sdat

36、e,pop,2);npop2= polyval(p2,sdate);nplot(cdate,pop2,cdate,pop,+) 實驗實驗實驗實驗n余量分析余量分析 nres2 = pop pop2;nFiguren plot(cdate,res2,+) 實驗實驗n四次擬合四次擬合np4 = polyfit(sdate,pop,4);npop4= polyval(p4,sdate);nplot(cdate,pop4,cdate,pop,+) 實驗實驗實驗實驗n余量分析余量分析 nres4 = pop pop4;nFiguren plot(cdate,res4,+) 可以看出，多項式擬合即使可以看出，多