1、一、判定兩線平行的方法1、 平行于同一直線的兩條直線互相平行2、 垂直于同一平面的兩條直線互相平行3、 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行4、 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行5、 在同一平面內的兩條直線，可依據平面幾何的定理證明二、 判定線面平行的方法1、 據定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點2、 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線和這個 平面平行3、 兩面平行，則其中一個平面內的直線必平行于另一個平面4、 平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5、 平面外的一條直

2、線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面三、判定面面平行的方法1、定義：沒有公共點2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩面平行3 垂直于同一直線的兩個平面平行4、平行于同一平面的兩個平面平行四、面面平行的性質1、兩平行平面沒有公共點2、兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面3、兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行4、 垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面五、判定線面垂直的方法1、 定義：如果一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、 如果一條直線和一個平面內的兩條相交線垂直，則線面垂直3、 如果兩條平行直線中的一條垂直于一

3、個平面，則另一條也垂直于該平面4、 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面5、 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直它們交線的直線垂直于另一個平面6、 如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么它們的交線垂直于另一個平面六、判定兩線垂直的方法1、 定義：成角2、 直線和平面垂直，則該線與平面內任一直線垂直3、 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直4、 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直5、 一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法1、 定義：兩面成直

4、二面角,則兩面垂直2、 一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質1、 二面角的平面角為2、 在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面3、 相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面九、各種角的范圍 1、異面直線所成的角的取值范圍是： 2、直線與平面所成的角的取值范圍是： 3、斜線與平面所成的角的取值范圍是： 4、二面角的大小用它的平面角來度量；取值范圍是： 十、三角形的心1、 內心：內切圓的圓心，角平分線的交點2、 外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點3、 重心：中線的交點4、 垂心：高的交點【例題分析】例2 在四棱錐PABCD中，底面ABCD

5、是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，求證：MN平面PAD 【分析】要證明“線面平行”，可通過“線線平行”或“面面平行”進行轉化；題目中出現了中點的條件，因此可考慮構造(添加)中位線輔助證明證明：方法一，取PD中點E，連接AE，NE底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，MACD，E是PD的中點，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四邊形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中點F，連接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【評述】關于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：ac，b

6、c，a，aa，bbg a，g babababab(2)證明線面平行：aabb，aaaaa(3)證明面面平行：a，ba，ag ，g a，b，abA例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求證：A1CBC1 【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進行轉化，因此設法證明A1C垂直于經過BC1的平面即可證明：連接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，側面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【評述】空間中直線和平面垂直關系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開

7、的如本題已知條件中出現的“直三棱柱”及“ABAC”都要將其向“線面垂直”進行轉化例4 在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求證：平面PAC平面PBC【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進行轉化，而“線面垂直”又 可以通過“線線垂直”進行轉化證明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【評述】關于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：ac，bc，ababab(1)證明線面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaa

8、a(1)證明面面垂直：a，a例5 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60°，E，F分別是AB1，BC的中點 ()求證：直線EF平面A1ACC1；()在線段AB上確定一點G，使平面EFG平面ABC，并給出證明證明：()連接A1C，A1E側面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點，E也是A1B的中點，又F是BC的中點，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直線EF平面A1ACC1(2)解：當時，平面EFG平面ABC，證明如下：連接EG，FG側面A1ABB1是菱形，且A1AB60°，A1AB是等邊三角形E是

9、A1B的中點，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC例6 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中點()求證：平面BEC1平面ACC1A1；()求證：AB1平面BEC1【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據幾何體自身的性質，適當添加輔助線幫助思考證明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中點，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()證明：連接B1C，

10、設BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中點， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1例7 在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8， ()設M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD；()求四棱錐PABCD的體積【分析】本題中的數量關系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動點分析知，MB，MD隨點M的變動而運動，因此可考慮平面MBD內“不動”的直線BD是否垂直平面PAD證明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面AB

11、CDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：過P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO為四棱錐PABCD的高，又PAD是邊長為4的等邊三角形因此在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故9.如圖4,在邊長為1的等邊三角形中,分別是邊上的點,是的中點,與交于點,將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1) 證明:/平面;(2) 證明:平面;(3) 當時,求三棱錐的體積. 9. 【答案】(1

12、)在等邊三角形中, ,在折疊后的三棱錐中 也成立, ,平面, 平面,平面; (2)在等邊三角形中,是的中點,所以,. 在三棱錐中, ; (3)由(1)可知,結合(2)可得. 4. 如圖，四棱錐PABCD中，ABCD為矩形，PAD為等腰直角三角形，APD=90°，面PAD面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點（1）證明：EF面PAD；（2）證明：面PDC面PAD；（3）求四棱錐PABCD的體積 4. 如圖，連接AC，ABCD為矩形且F是BD的中點，AC必經過F 1分又E是PC的中點，所以，EFAP2分EF在面PAD外，PA在面內，EF面PAD（2）面PAD面ABCD，CDAD，面PAD面ABCD=AD，CD面PAD，又AP面PAD，APCD又APPD，PD和CD是相交直線，AP面PCD又AD面PAD，所以，面PDC面PAD （3）取AD中點為O，連接PO，因為面PAD面ABCD及PAD為等腰直角三角形，所以PO面ABCD，即PO為四棱錐PABCD的高AD=2，PO=1，所以四棱錐PABCD的體積1. 如圖，三棱柱ABCA1B